第三单元不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法B卷（能力提升）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第三单元 不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．关于x的不等式的解集是（　　　　） A． B． C． D． 5．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 6．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 7．关于x的不等式的解集为，有下列四个结论： 甲：      乙：      丙：      丁： 如果只有一个假命题，则假命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．的解集为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的解集为 D．有最小值为 11．阅读理解：是实数，我们把符号称为行列式，并且规定：，例如：．二元一次方程组的解可以利用行列式表示为其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．方程组的解集为 三、填空题 12．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 13．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 14．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题-问答题 15．关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 16．已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 17．已知、是方程的两个实数根. (1)求的取值范围； (2)求、.（结果用表示） (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．对于两个实数，规定． (1)证明：关于的不等式的解集为； (2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点公式列方程求坐标即可. 【详解】设，则线段的中点坐标为，解得，则点的坐标是． 故选：A 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的交补运算求解. 【详解】因为，， 所以或，所以． 故选：B 3．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 4．关于x的不等式的解集是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据，可得或，然后解出不等式即可． 【详解】解：． ，或， 或， 不等式的解集为或 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属基础题． 5．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 6．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用作差法逐项判断. 【详解】若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，A错误； 若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，B错误； 若先取者取和， 则 ， 根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误. 故选：C 7．关于x的不等式的解集为，有下列四个结论： 甲：      乙：      丙：      丁： 如果只有一个假命题，则假命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】假设每一个命题是假命题，再分析推理找到矛盾再判断得解. 【详解】解：假设只有甲是假命题，当，时，，所以，所以是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有乙是假命题，，时，，所以，符合题意； 假设只有丙是假命题，，，所以，所以是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题，，时，，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意. 故选：B 8．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题设先得到，应用韦达定理将目标式化为关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由题设，可得， 结合已知有，且，， ， 当时，取得最大值10. 故选：C 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 10．的解集为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的解集为 D．有最小值为 【答案】AC 【分析】根据三个二次之间的关系可得.对于A：根据结合韦达定理分析求解；对于B：举例说明即可；对于C：整理可得，结合二次不等式运算求解；对于D：代入整理可得，即可得最小值. 【详解】由题意可知：方程的根为，则， 对于选项A：因为， 整理得，故A正确； 对于选项B：例如，则，满足， 则，故B错误； 对于选项C：若，则， 不等式即为， 整理得， 令，解得或， 且，， 所以的解集为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为，故D错误； 故选：AC. 11．阅读理解：是实数，我们把符号称为行列式，并且规定：，例如：．二元一次方程组的解可以利用行列式表示为其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．方程组的解集为 【答案】ABD 【分析】根据题设新定义依次判断各项的正误即可. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：方程组的解为，对. 故选：ABD 三、填空题 12．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得不等式组的解集为，结合不等式的整数解有3个即可求解. 【详解】由题意，不等式组的解集为， 因为原不等式组的整数解共有3个，所以其整数解为， 即. 故答案为：. 13．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 【答案】14.5 【分析】由题设，令，，，设绳索长度为尺，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺，应用勾股定理列方程求长度. 【详解】根据题意，如图所示的几何图形，则，，， 设绳索长度为尺，则秋千被向前推10尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺， 此时，，刚好构成一直角三角形， 则根据勾股定理可列方程为，解得， 即绳索长度为14.5尺．    故答案为：14.5 14．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 四、解答题-问答题 15．关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据韦达定理列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可； （3）将分式不等式化简，然后转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且，解得； （2）， 所以， 所以不等式的解集为； （3），即，所以， 即，所以， 因此不等式的解集为. 16．已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答. （2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答. 【详解】（1）为三角形的三边长， 而， 显然，即，当且仅当时取等号， 因此，所以. （2）为三角形的三边长，则， 于是得：， 所以. 17．已知、是方程的两个实数根. (1)求的取值范围； (2)求、.（结果用表示） (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得出且，可求出实数的取值范围； （2）根据韦达定理可得出、关于的表达式； （3）根据结合韦达定理定理可得出关于的等式，求出的值，结合可得出结论. 【详解】（1）解：因为、是方程的两个实数根， 则，且，解得. 所以，实数的取值范围是. （2）解：因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，， 所以，， . （3）解：若存在实数，使， 即，解得，不合乎题意，舍去. 因此，不存在实数的值，使得. 18．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 19．对于两个实数，规定． (1)证明：关于的不等式的解集为； (2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或或. 【分析】（1）由题设定义有，再应用分类讨论求解集，即可证； （2）根据新定义化为，分类讨论参数，求对应解集判断是否成立，即可得. 【详解】（1）不等式可化为． 当时，不等式可化为，解得，所以； 当时，不等式可化为，恒成立，所以； 当时，不等式可化为，解得，所以． 综上所述，关于的不等式的解集为. （2）不等式，即，也即， 当时，，解得，，满足． 当时，因为，，， 所以，即，解得或． 当时，即， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以，满足． 当时，即， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以，满足． 综上，或或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $