第三单元不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法 基础达标A卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第三单元 不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法 A卷 基础达标卷 1．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 5．小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 6．小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若对任意实数都成立，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 12．已知数轴上三点，，．若中点到线段中点的距离大于1，则实数的取值范围为 ． 13．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为 ． 14．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知全集，集合，，． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 17．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 18．设甲：，乙： (1)当时，求甲中不等式的解集； (2)若时，甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围． 19．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法 A卷 基础达标卷 1．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【解析】将不等式利用十字相乘的方法变形，然后求得不等式的解集. 【详解】因为，所以，所以， 解得：或，所以解集为或， 故选：C. 2．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由不等式的性质可得. 【详解】由，，得，即，故A正确； 当时，不满足题意，故BD错误； 当时，由，得，不满足题意，故C错误； 故选：A. 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 若，则由得，充分性成立， 若，例如，，但，因此不必要， 故选：A． 4．若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 5．小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 6．小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分情况讨论解不等式组，进而可得解. 【详解】由已知不等式，解得或， 设不等式的解集为， 令，解得或， 当时，，不等式解集为， 此时不等式组的解集为，不满足题意； 当时，，此时，不等式组的解集为， 由不等式组有且只有一个整数解，所以，即， 当时，，此时， 当即时，不等式组的解集为，所以 即， 当，即时，不等式组的解集为，有且仅有一个整数解，满足题意； 当，即时，不等式组的解集为， 若有且仅有一个正数解，则，即， 综上所述，， 故选：B. 8．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知不等式的解集是不等式的解集的子集，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设不等式的解集，不等式的解集， 由题意知，， 又不等式，解得，或， 即， 又不等式， 当，即时，解得，即，满足， 当时，解得，即，满足， 当，即时，解得，即， 要使，则，解得 综上知，， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题转化为集合包含关系求参数的范围，再解含参数的不等式讨论什么时候符合条件. 9．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质判断A，C；利用作差法比较大小判断B，D. 【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，由于，所以， 则，即，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，由于，则，但与的大小不确定，故D错误. 故选：AC. 10．若对任意实数都成立，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】数与式 【分析】利用立方和公式化简题设中的恒等式，从而可求的值. 【详解】因为， 故对任意实数都成立即为： 对任意实数都成立， 所以即，故， 故选：CD. 11．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 12．已知数轴上三点，，．若中点到线段中点的距离大于1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】根据已知有，再解绝对值不等式求参数范围. 【详解】由题意，知，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 13．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】①时，，原不等式可化为，解集为R成立； ②时， 解得， 综上，，即实数k的取值范围为. 故答案为：. 14．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在几何中的应用 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 15．已知全集，集合，，． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解分式不等式求集合A，解绝对值不等式求集合B，再由集合的交补运算求； （2）首先得，再由包含关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由集合，或， 集合 所以． （2）由（1）知，因为， 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 16．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 17．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 18．设甲：，乙： (1)当时，求甲中不等式的解集； (2)若时，甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）应用分类讨论求绝对值不等式的解集； （2）根据题设知时，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集，讨论、求出对应甲的解集，再由包含关系列不等式求范围. 【详解】（1）当时，甲：． ①当时，甲：，解得，故； ②当时，甲：，解得，故； ③当时，甲：，解得，故． 综上所述，甲中不等式的解集为； （2）乙：，等价于，解得， 当时，甲是乙的必要不充分条件，则乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集， 若，对于甲中不等式， ①当时，甲：，解得； ②当时，甲：，解得； ③当时，甲：，解得． 若是甲中不等式解集的真子集，则，解得． 若，则对于甲中不等式， ①当时，甲：，解得，故； ②当时，甲：，解得，故． 此时甲中不等式的解集为，满足题意． 综上所述，的取值范围是. 19．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、方程与不等式 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. （3）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . （2）依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． （3），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $