专题03全等三角形小结与复习（知识点归纳+考点精析+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题03 全等三角形小结与复习（知识点归纳+考点精析+达标检测） 第一部分：知识点归纳 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 6.等于同一线段的两条线段相等。 证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等） 已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B' ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。 1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 3 .重要拓展 （1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 （2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 4 .证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证。 （2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。 （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 第二部分：高频考点精析 例1．如图，，，，三点在一条直线上，下面结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． . 【变式1-1】．如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　． 【变式1-2】．如图，点 在 上， ，若 ，则 的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】．如图， △ABC≌△DEF，若∠B=125°， ∠F=35°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．30 C．25° D．20° 例2．如图，，都是等边三角形．求证： 【变式2-1】． 已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，CF=DF。求证：AF⊥CD。 【变式2-2】．如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，【变式2-3】．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 例3．如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF． （1）根据“ASA”，需添加的条件是　　；根据“HL”，需添加的条件是　　； （2）请从（1）中选择一种，加以证明． 【变式3-1】．在横线上添加一个条件，并完成证明过程． 已知：如图，∠AOC=∠BOC， ． 求证： ． 【变式3-3】．如图，已知∠1=∠2，AB=AD，请添加一个条件，使，并加以证明. （1）你添加的条件是　 　(ASA). （2）写出证明过程. 【变式3-3】．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD． （Ⅰ）请你添加一个条件，使△ABE ≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）； （Ⅱ）证明你在（Ⅰ）中的结论． 例4．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H. （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数. 【变式4-1】．如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC． 求证：AO平分∠BAC． 【变式4-2】．如图，已知 中， ， ，求证： . 【变式4-3】．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF． 例5． 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积. 【变式5-1】．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具－－卡钳，卡钳示意图如下，，O是线段和的中点． 利用卡钳测量内径的步骤为： ①将卡钳A、B两端伸入在被测物内； ②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁； ③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度． （1）请写出第③步的理由； （2）小组成员利用上述方法测得，同时测得外径为，请求出花瓶内壁厚度x． 【变式5-2】．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【变式5-3】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 例6．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题，（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） （1）连接，求作，（点E在线段上，点F在线段的右侧），使得； （2）在（1）的条件下，作，交的延长线于点H，并证明. 【变式6-1】．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知 的两边上，分别取 （如图），再分别过点 、 作 、 的垂线，交点为 ，画射线 ，则 平分 ，请你说出其中的道理. 【变式6-2】．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF=　 　． 【变式6-3】．如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图． （1）在图①中画一个直角三角形； （2）在图②中画出∠ACE的平分线． 例7．如图，在中，、分别在、上且，平分，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式7-1】．如图，在中，，平分，（E在AB之间），，已知，，．求的周长． 【变式7-2】．如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E. （1）求证： ； （2） 若 ， 求 的长. 【变式7-3】．如图，已知AC平分于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，求AB的长． 第三部分：达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中，假命题是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．等角的余角相等 C．两锐角之和一定是钝角 D．两直线平行，同旁内角互补 3． 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于(　　) A．55° B．50° C．65° D．60° 4．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（　　） A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF 5．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A．SSS B．SAS C．HL D．ASA 6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，中，在和上分别截取，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于P，连接并延长交于D，若，线段上取一点E使得，连接，则的长是　 　． 10．如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则　 　，　 　． 11．如图，在四边形中，， ，于点，于点，，分别是，上的任意一点，且 ，下列说法：；；平分；平分；；.其中正确的是　 　.（填写正确的序号） 12．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 13．如图， 在 中， 平分， 点 在 的延长线上，， 若， 则的度数为　 　． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14． 如图， M是AB 的中点， ∠AMC=∠BMD， MC=MD. 求证AC=BD. 15． 如图，△ABC≌△A'B'C'， AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应角的平分线. 求证AD=A'D'. 16．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 17．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 19．在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若，求点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数． 20．感知： 如图 1， 平分 ， 易知： . （1）探究： 如图 2， 平分 ， 求证： . （2）应用： 如图 3， 四边形 中， ， 过点 作 ，垂足为 ，若 ，则 的值是多少（用含 的代数式表示）? 考点7 角平分线的性质和判定 知识点2 全等三角形的判定性质 知识点3 全等三角形的应用 知识点4 两个基本作图 知识点5 角平分线的性质判定 考点1 全等三角形的性质 考点2 全等三角形的判定 知识点1 全等三角形性质 考点3 添加条件使三角形全等 考点4 全等三角形的性质判定综合 考点5 全等三角形的性质应用 考点6 尺规作图 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题03 全等三角形小结与复习（知识点归纳+考点精析+达标检测）（解析版） 第一部分：知识点归纳 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 6.等于同一线段的两条线段相等。 证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等） 已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B' ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。 1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 3 .重要拓展 （1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 （2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 4 .证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证。 （2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。 （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 第二部分：高频考点精析 例1．如图，，，，三点在一条直线上，下面结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠B=∠D， 故A正确， 不符合题意； ∴∠ACB=∠E， ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°， ∠E+∠D+∠ECD=180°， ∴∠ACE =∠D， 故B正确， 不符合题意； ∵△ABC≌△CDE， ∴AB=CD， BC=DE， ∴BD=BC+CD= DE+AB， 故C正确， 不符合题意； ∵∠B和∠ECD不一定相等， ∴ AB和CE不一定平行，故D错误，符合题意. 故答案为： D. 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理逐项求解判断即可. 【变式1-1】．如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　． 【答案】2 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长. 【变式1-2】．如图，点 在 上， ，若 ，则 的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵， ∴BC=AE，AC=DE， ∵CE=AC-AE，BC=3，DE=4， ∴CE=DE-BC=4-3=1， 故答案为：A. 【分析】根据三角形全等的性质得对应边相等，再根据线段的和差关系即可得出答案. 【变式1-3】．如图， △ABC≌△DEF，若∠B=125°， ∠F=35°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．30 C．25° D．20° 【答案】D 【知识点】全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解： ∵△ABC≌△DEF ∴∠C=∠F=35°， ∵∠B=125°， ∴∠A=180°-35°-125°=20°， 故答案为：D. 【分析】结合全等三角形对应角相等和三角形内角和180°计算即可. 例2．如图，，都是等边三角形．求证： 【答案】证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型 【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得. 【变式2-1】． 已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，CF=DF。求证：AF⊥CD。 【答案】证明：连接AC、AD， 在 和 中， 是等腰三角形. 又 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】连接AC、AD，根据SAS得到△ABC≌△AED，即可得到AC=AD，然后根据三线合一证明即可. 【变式2-2】．如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）根据平角概念和三角形形的内角和定理证得．即可利用AAS证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解． （1）证明一：∵，且， ∴ 又∵， ∴ 证明二：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 即 又∵ ∴ （2）解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式2-3】．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可以得到，然后利用AAS证明全等解题； （2）根据全等三角形的性质得到得，然后利用解答即可． （1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 例3．如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF． （1）根据“ASA”，需添加的条件是　　；根据“HL”，需添加的条件是　　； （2）请从（1）中选择一种，加以证明． 【答案】（1）∠ACB＝∠DFE，AC＝DF； （2）选择添加条件AC＝DE证明， 证明：∵∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】（1）根据“ASA”，需添加的条件是∠ACB＝∠DFE，根据“HL”，需添加的条件是AC＝DF， 故答案为：∠ACB＝∠DFE，AC＝DF； 【分析】 （1）利用提供的方法添加条件即可； （2）选择添加AC＝DE，然后根据HL得到结论即可． 【变式3-1】．在横线上添加一个条件，并完成证明过程． 已知：如图，∠AOC=∠BOC， ． 求证： ． 【答案】∠A=∠B； 证明：在 与 中， 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】添加： ，结合 利用 证明三角形全等即可得到结论． 【变式3-3】．如图，已知∠1=∠2，AB=AD，请添加一个条件，使，并加以证明. （1）你添加的条件是　 　(ASA). （2）写出证明过程. 【答案】（1） （2）证明：， ， 即. 在和中， ， . 【知识点】三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：（1）∵ ∠1=∠2， ∴ ∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC， 又 ∵AB=AD， ∴ 若∠B=∠D， 则 △ABC≌△ADE(ASA). 【分析】根据∠1=∠2得∠DAE=∠BAC，再添加∠B=∠D即可依据ASA判定△ABC≌△ADE. 【变式3-3】．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD． （Ⅰ）请你添加一个条件，使△ABE ≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）； （Ⅱ）证明你在（Ⅰ）中的结论． 【答案】解：（Ⅰ）因为在 和 中， ，且有一对公共角 ， 所以使 ，这个条件可以是 （答案不唯一）； （Ⅱ）在 和 中， ， ． 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加 即可得出结论； （2）根据AAS定理即可得出证明。 例4．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H. （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数. 【答案】（1）证明：∵△ABC旋转60°后为△EBD. ∴ . ∵在△CBF和△DBG中， ， ∴△CBF≌△DBG（SAS） ∴CF=DG. （2）解：∵△CBF≌△DBG， ∴∠BCF=∠BDG 又∵∠CFB=∠DFH ∵∠BCF+∠CFB=180°-∠CBF ∠BDG+∠DFH=180°-∠DHF ∴∠DHF=∠CBF=60° ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°. 【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质 【解析】【分析】（1）在△CBF和△DBG中，根据SAS即可证得两个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可证得.（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解. 【变式4-1】．如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC． 求证：AO平分∠BAC． 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°， 在△BOD 和△COE 中， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE， ∴点 O 在∠BAC 的平分线上， 即 AO 平分∠BAC． 【知识点】全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据余角的性质，即可得到∠BDO=∠COE，即可判定△BOD≌△COE，根据三角形全等的性质进行判断即可得到答案。 【变式4-2】．如图，已知 中， ， ，求证： . 【答案】证明：在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ≌ ， 【知识点】全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据“AAS”可证△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等可得AB=AC，利用等式性质可得BD=CE，根据“AAS”可证△BDF≌△CEF，从而可得DF=EF. 【变式4-3】．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF． 【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质 【解析】【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，即可证明△ABD≌△CBD ，根据全等三角形的对应角相等，即可得到BD为∠ABC的平分线，根据角平分线上的点，到角两边的距离相等，即可证明OE=OF。 例5． 如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连结PC，求△PBC的面积. 【答案】解：延长AP交BC于D BP平分∠ABC AP⊥BP于点P PB=PB AP=PD △ABC的面积为6cm2 cm2 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】延长AP交BC于D，证明，根据全等三角形性质可得AP=PD，得出 ，则。 【变式5-1】．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具－－卡钳，卡钳示意图如下，，O是线段和的中点． 利用卡钳测量内径的步骤为： ①将卡钳A、B两端伸入在被测物内； ②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁； ③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度． （1）请写出第③步的理由； （2）小组成员利用上述方法测得，同时测得外径为，请求出花瓶内壁厚度x． 【答案】（1）解：如图，连接， 由题意可得：， 在与中， ∴ ∴． （2）解：由（1）知，，故花瓶内壁厚度： ． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）根据SAS可得出，进而得出． （2）首先根据三角形全等的性质得出，进而根据外径， 即可得出x的值． （1）解：如图，连接， 由题意可得：， 在与中， ∴ ∴． （2）解：由（1）知，，故花瓶内壁厚度： ． 【变式5-2】．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）分析题干可知、、，所以，由全等三角形的性质得出； （2）要证明BC⊥EF，延长交于点，要证明BC⊥EF，只需证明即可，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． （1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米 （3）解：可行，理由如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行 【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】（1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解； （2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解； （3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解． （1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米； （3）解：可行，证明如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行． 例6．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题，（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） （1）连接，求作，（点E在线段上，点F在线段的右侧），使得； （2）在（1）的条件下，作，交的延长线于点H，并证明. 【答案】（1）解：如图①所示，即为所求.（） （2）解：如图②所示，即为所求.（） 证明：由（1）知， . 由作图知， ， 即，. 【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【分析】（1）因为∠ADB= ∠FDE，故只需使DF= BD，AD = ED，即可使得△DEF≌△DAB； （2）先根据三角形全等的性质即可得到，由作图知，进而根据题意进行角的运算，从而根据平行线的判定即可求解。 【变式6-1】．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知 的两边上，分别取 （如图），再分别过点 、 作 、 的垂线，交点为 ，画射线 ，则 平分 ，请你说出其中的道理. 【答案】解：OP平分∠AOB， 理由：∵OM⊥MP，ON⊥NP， ∴∠OMP=∠ONP=90°， ∵在Rt△OMP和Rt△ONP中 ∴ . ∴ 即 平分 【知识点】全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据已知条件得出Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），根据全等三角形的性质得到∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB. 【变式6-2】．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF=　 　． 【答案】结论：BF=AE． 证明：∵CF⊥BE， ∴∠BFC=90°， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠FBC； 由于以点B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BE=BC， 在△ABE与△FCB中， ∴△ABE≌△FCB（AAS）， ∴BF=AE． 结论：BF=AE． 【知识点】全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】由题意可得BE=BC，∠AEB=∠FBC，易证明得直角三角形ABE与直角三角形FCB全等，即可得BE=AE． 【变式6-3】．如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图． （1）在图①中画一个直角三角形； （2）在图②中画出∠ACE的平分线． 【答案】解：（1）如图①所示：连接AE， ∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形， ∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC， ∴∠ADC=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAD=90°， 则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形； （2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形， 则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H， 则FG⊥AC，FH⊥BC， 由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF， 则AF=EF， 在△AFG和△EFH中 ∴△AFG≌△EFH（AAS）， ∴FG=FH， 由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线． ​ 【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作三角形 【解析】【分析】（1）直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形； （2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定得出答案． 例7．如图，在中，、分别在、上且，平分，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 平分，，， ，， 在与中 ， ≌， ，， ， ； （2）解：， 在与中 ， ≌， ， 设， 则，， ， 解得，， ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，得到CM=CH，再根据直角三角形全等的判定（HL），可证明，可得DM=BH，∠1=∠B，等量代换即可证明. （2）首先利用直角三角形全等的判定（HL），可证明即可得AM=AH，设BH=BM=x结合题目给出的条件列出关于x的方程，解出x得到答案. 【变式7-1】．如图，在中，，平分，（E在AB之间），，已知，，．求的周长． 【答案】解：∵，平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵平分，，，， ∴， ∵， ∴的周长． 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定 【解析】【分析】根据角平分线的性质得出DF=DE=3，根据等腰三角形的判定得出CD-BD=5，再根据三角形周长的定义即可得出答案。 【变式7-2】．如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E. （1）求证： ； （2） 若 ， 求 的长. 【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴BP=CP， ∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴DP=EP， 在RtABP和Rt△CEP中， ∵BP=CP，DP=EP， ∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)， ∴BD=CE； （2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP， 在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)， ∴AD=AE， ∴AB=6cm，AC=10cm， ∴6 +AD=10-AE. 即6+AD =10-AD，解得AD =2cm. 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=CP，根据角平分线的性质可得DP=EP，然后根据HL即可判定Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得出BD=CE； （2）首先根据HL可判定Rt△ADP≌Rt△AEP，得出AD=AE，再根据（1）的结论，BD=CE，可得出等式：6 +AD=10-AE.即： 6 +AD=10-AD，解得AD的长即可。 【变式7-3】．如图，已知AC平分于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，求AB的长． 【答案】（1）证明：平分，于点E，于点F， ， 和，和都是直角三角形． 在和中， ， ； （2）解：在和中， ， ， ． 由（1）知，， ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【分析】（1）先证出，再利用“HL”证出即可； （2）先利用“HL”证出可得AE=AF，再利用可得BE=DF，再利用线段的和差及等量代换求出即可. 第三部分：达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：如图， 由三角形内角和定理得，， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：C． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案. 2．下列命题中，假命题是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．等角的余角相等 C．两锐角之和一定是钝角 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；真命题与假命题；角的分类（直角、锐角和钝角）；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：A、 全等三角形的面积相等，此命题为真命题，不合题意； B、 等角的余角相等，此命题为真命题，不合题意； C、 两锐角之和不一定是钝角，故原命题是假命题，符合题意； D、 两直线平行，同旁内角互补，此命题为真命题，不合题意. 故答案为：C. 【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题；能完全重合的两个三角形就是全等三角形，故全等三角形面积一定相等，据此可判断A选项；根据余角的性质可判断B选项；大于0°而又小于90°的角就是锐角，故两个内角的和可以是锐角、直角、钝角，据此可判断C选项；根据平行线的性质3，可判断D选项. 3． 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于(　　) A．55° B．50° C．65° D．60° 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：设AD与BF交于点M △ABC≌△ADE， ∠B=30°，∠AED=110° AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30° ACM=180° -110°=70° AMC=180° -ACM-DAC=180° -70°-10°=100° FMD=AMC=100° DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50° 故答案为：B 【分析】设AD与BF交于点M，根据全等三角形的性质可得AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°， 则ACM=180° -110°=70°，根据三角形内角和定理可得AMC=180° -ACM-DAC=100°，则FMD=AMC=100°，可得DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°。 4．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（　　） A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF 【答案】A 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图， ∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC， OH⊥DE， ∴OG=OH. 在Rt△DGO和Rt△DHO中， ， ∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)， ∴DG=DH， ∵O为△ABC的内心， ∴CO平分∠ACB， ∵OG⊥AC， OM⊥BC， ∴OG=OM， ∴OH=OM. 在Rt△CGO和Rt△CMO中， ， ∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)， ∴CG=CM. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CGM为等边三角形， ∴CG=CM = MG. ∵O为正△ABC的内心， 在Rt△EHO和Rt△EMO中， ， ∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)， ∴EH=EM， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE =CD+DH+EH+CE =CD+DG+EM+CE =CG+CM =2CG = AC. ∴△ABC的周长 =AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长， ∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可. 故答案为：A. 【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得. 5．用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A．SSS B．SAS C．HL D．ASA 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念 【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP＝∠NOP， ∴OP是∠AOB的平分线， 故答案选C. 【分析】根据全等三角形判定定理可得Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），则∠MOP＝∠NOP，再根据角平分线判定定理即可求出答案. 6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，整理得，． 故选：B． 【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：如图，取格点，连接， 根据题意：， ∴， ∴， ∵， 若，则， ∵， ∴， ∴（与题干矛盾），故A选项错误； ∵， ∴，故B选项正确； ∵，故C选项错误； ∵， ∴， ∴，故D选项错误； 故答案选：B． 【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可． 8．如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ，③正确： ∴是等边三角形，④正确． 故答案为：D． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，中，在和上分别截取，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于P，连接并延长交于D，若，线段上取一点E使得，连接，则的长是　 　． 【答案】 【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线 【解析】【解答】解：根据作图可知平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据作图可知平分，然后证明得到，，然后根据求解即可． 10．如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则　 　，　 　． 【答案】3； 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD+∠C=90°， ∵， ∴， ∴∠C=∠AGF， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 故答案为：①，②． 【分析】如图，连接，利用可证，可得，运用勾股定理可得，利用面积法可求的长． 11．如图，在四边形中，， ，于点，于点，，分别是，上的任意一点，且 ，下列说法：；；平分；平分；；.其中正确的是　 　.（填写正确的序号） 【答案】③⑤⑥ 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵ E、F分别是CB、CD上的任意点， ∴DF与BE不一定相等， 故①错误； ∵AB⊥CB于点B， AD⊥CD于点D， ∴∠ABE=90°， ∵AB=AD， ∴△ADF≌△ABE的另一个条件是DF=BE， ∵DF与BE不一定相等， ∴△ADF与△ABE不一定全等， 故②错误； 延长CB到点G， 使BG= DF， 连接AG， 则∠ABG =180°-∠ABE = 90°， ∴∠D=∠ABG=∠D， 在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF(SAS)， ∴AG = AF， ∠BAG=∠ DAF， ∠G=∠AFD， ∵∠BAD=140°， ∠EAF= 70°， ∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF =70°， ∴∠EAG=∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ∴△EAG≌△EAF(SAS)， ∴∠G =∠AFE， EG = EF， ∴∠AFD=∠AFE， BE+DF=BE+BG=EG = EF， 故③正确，⑤正确； ∵∠GAE=∠FAE， ∴AE不平分. 故④错误； 且.EF=FD+EB， 故⑥正确， 故答案为： ③⑤⑥. 【分析】由E、F分别是CB、CD上的任意点，可知DF与BE不一定相等，△ADF与△ABE也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长CB到点G， 使BG= DF， 连接AG， 先证明△ABG≌△ADF，得AG = AF， ∠BAG=∠DAF，∠G=∠AFD， 由∠BAD=140°， ∠EAF =70°， 可以推导出∠EAG = 70°， 则∠EAG =∠EAF， 即可证明△EAG≌△EAF， 得∠G =∠AFE所以∠AFD =∠AFE， 可判断③正确； 由∠GAE=∠FAE， 可知∠BAE≠∠FAE， AE不平分∠FAB，可判断④错误；因为EG=EF， 所以BE+DF=BE+BG=EG = EF， 可判断⑤正确；由CF+CE>EF， 且EF=FD+EB， 得CF+CE>FD+EB， 可判断⑥正确， 于是得到问题的答案. 12．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 【答案】5 【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的高 【解析】【解答】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可. 13．如图， 在 中， 平分， 点 在 的延长线上，， 若， 则的度数为　 　． 【答案】50 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE， ∵∠BAC=30°，∠EAC=75°， ∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°， ∴∠OAE=∠BAE， ∵AO=AB，AE=AE， ∴△AOE≌△ABE（SAS）， ∴∠B=∠O， ∵， ∴CE=AO+AC=OC， ∴∠O=∠CEO， ∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°， ∴∠B=50°. 故答案为：50°. 【分析】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14． 如图， M是AB 的中点， ∠AMC=∠BMD， MC=MD. 求证AC=BD. 【答案】证明：由题意可得： AM=BM 在△AMC和△BMD中 ∴△AMC≌△BMD（SAS） ∴AC=BD 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. 15． 如图，△ABC≌△A'B'C'， AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应角的平分线. 求证AD=A'D'. 【答案】证明：∵ △ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应角的平分线， ∴∠ABD=∠A'B'D'，AB=A'B'，∠BAD=∠B'A'D'， ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)， ∴AD=A'D' 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念 【解析】【分析】根据全等三角形性质可得∠ABD=∠A'B'D'，AB=A'B'，根据角平分线性质可得∠BAD=∠B'A'D'，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. 16．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：连接， ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴. （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）连接CD，先利用角平分线的性质可得DE=DF，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质可得； （2）利用角平分线的定义可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可. （1）证明：连接， ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：． 17．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示， ∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠DMB， ∴BD=MD， ∵BD=CE ∴MD=CE 在△DMF和△ECF中 ∴△DMF≌△ECF（AAS） ∴DF=EF 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论. 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠F=90°， ∵∠DAE=∠ADE， ∴∠EAF=∠F， ∴EA=EF， ∵∠DAE=∠ADE， ∴EA=ED， ∴DE=EF； （2）解：BD=CF．理由： 过点D作DG∥AC交BC于G， ∴∠EDG=∠F， ∵ED=EF，∠DEG=∠FEC， ∴∆DGE≌∆FCE， ∴DG=CF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∵DG∥AC ∴∠ACB=∠DGB， ∴∠B=∠DGB， ∴BD=DG ∴BD=CF． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合 【解析】【分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题； （2）过点D作DG∥AC交BC于G，证明∆DGE≌∆FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论． 19．在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若，求点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数． 【答案】（1）解：如图1， ，， ， ，， ， ∵，， ． 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， ； （2）证明：如图2， 过作于，于， 由（1）知，， ，， ， ， 又，， 平分； （3）解：如图3，在上截取，连接， 又，， ， ，， ，， ∴， ， ， 又， ， ， ， ． 【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）首先根据ASA可证得，进而得出，即可得出E（1，3）； （2）过作于，于，利用全等三角形的性质面积相等证明，根据角平分线的判定即可得出结论； （3）如图3，在上截取，连接，证明，可得，，证明，证明，可得，从而可得答案． （1）解：如图1， ，， ， ，， ， ∵，， ． 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， ； （2）证明：如图2， 过作于，于， 由（1）知，， ，， ， ， 又，， 平分； （3）解：如图3， 在上截取，连接， 又，， ， ，， ，， ∴， ， ， 又， ， ， ， ． 20．感知： 如图 1， 平分 ， 易知： . （1）探究： 如图 2， 平分 ， 求证： . （2）应用： 如图 3， 四边形 中， ， 过点 作 ，垂足为 ，若 ，则 的值是多少（用含 的代数式表示）? 【答案】（1）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCF=180°， ∴∠B=∠DCF， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DF=DE， 在和中：∵∠B=∠DCF，∠F=∠DEB=90°，DF=DE， ∴≌， ∴DB=DC； （2）解：连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∵∠ACD=135°， ∴∠DCF=45°， ∵∠B=45°， ∴∠DCF=∠B， ∵ 过点 作 ，垂足为 ，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∴DF=DE， 在和中：∵∠DCF=∠B，∠F=∠DEB=90°，DC=DB， ∴≌。 ∴CF=BE，DF=DE， 在Rt和Rt中：∵AD=AD，DF=DE， ∴Rt≌Rt ∴AF=AE， ∴AB-AC=AE+BE-(AF-CF)=AE+BE-(AE-BE)=2BE， ∵AB-AC=2a。 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，根角平分线的性质可得DF=DE，然后根据AAS可证≌，进而得出DB=DC； （2）连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，首先根据AAS证得≌，得出CF=BE，DF=DE，再在在Rt和Rt中，根据HL可证得Rt≌Rt，可得出AF=AE，进而得出AB-AC=AE+BE-(AF-CF)=AE+BE-(AE-BE)=2BE，进而可得出：AB-AC=2a。 考点7 角平分线的性质和判定 知识点2 全等三角形的判定性质 知识点3 全等三角形的应用 知识点4 两个基本作图 知识点5 角平分线的性质判定 考点1 全等三角形的性质 考点2 全等三角形的判定 知识点1 全等三角形性质 考点3 添加条件使三角形全等 考点4 全等三角形的性质判定综合 考点5 全等三角形的性质应用 考点6 尺规作图 学科网（北京）股份有限公司 $