精品解析：北京市第十五中学2025-2026学年上学期九年级数学开学考试卷

北京市第十五中学2025-2026学年度第一学期学情诊断 九年级数学 本试卷分第一部分（选择题），第二部分（非选择题）两部分，全卷共100分． 考试时间60分钟．提示：请将答案填写在答题卡上 第一部分（共24分） 一、选择题（共24分，每小题3分）每题四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 6. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是正方形 7. 已知一次函数，下列说法不正确的是（ ）． A. y随x的增大而增大 B. 函数图象不经过第二象限 C. 当时， D. 函数图象与y轴交点坐标为 8. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 第二部分（共76分） 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 10. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 12. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 13. 某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 4 16 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是______．（请填入正确的序号） ①平均数 ②中位数 ③方差 ④众数 14. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与相交于点M，则关于x的不等式的解集是______． 16. 如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的纵坐标是_______． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 18. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 19. 如图，在中，于点E，于点F．求证：． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）写出A，B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）当时，直接写出x的取值范围． （4）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． 22. 问题：探究函数y=﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y=﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y=|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … m=_______； ②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n=_______； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： 该函数的最小值为_______； 已知直线与函数y=﹣2的图象交于C、D两点，当y1≥y时x的取值范围是_______． 23. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十五中学2025-2026学年度第一学期学情诊断 九年级数学 本试卷分第一部分（选择题），第二部分（非选择题）两部分，全卷共100分． 考试时间60分钟．提示：请将答案填写在答题卡上 第一部分（共24分） 一、选择题（共24分，每小题3分）每题四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，选项A符合题意， B．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项B不符合题意， C．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项C不符合题意， D．被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项D不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 3. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，， ， ， 是直角三角形， 故此选项不符合题意； B、， ， ， 是直角三角形且， 故此选项不符合题意； C、，， ， 不是直角三角形，故此选项符合题意； D、， 设，，， ，， ， 是直角三角形且， 故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手次测试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的概念、方差的性质判断即可． 【详解】解：由表格中平均数可知：成绩好的选手是乙、丙，由表格中乙、丙的方差可知：成绩好且发挥稳定的选手是乙， 应该选择的选手是：乙， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解． 【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC， ∴∠EDA=∠DEC， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠EDA， ∴∠EDC=∠DEC， ∴CD=CE=AB=6cm， 即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题． 6. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定等知识点，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 根据矩形、菱形和正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该命题为假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相垂直的四边形可以是一般四边形，故该命题为假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故为真命题，符合题意； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该命题为假命题，不符合题意． 故选：C． 7. 已知一次函数，下列说法不正确的是（ ）． A. y随x的增大而增大 B. 函数图象不经过第二象限 C. 当时， D. 函数图象与y轴交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的基本性质，需对一次函数的定义和图象性质熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：A项：一次函数中，，故y随x的增大而增大，故说法正确； B项：（图象上升），（与y轴交于负半轴），图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故说法正确； C项：当时，；因函数递增，故时，故说法正确； D项：与y轴交点，代入得，交点为，而非，故说法错误． 故选：D． 8. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：， ∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， ∴， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，一次函数性质，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 第二部分（共76分） 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数进行解答即可． 【详解】解：根据题意,得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方数是非负数是解本题的关键． 10. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质解答即可求解，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：40． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 12. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 13. 某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 4 16 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是______．（请填入正确的序号） ①平均数 ②中位数 ③方差 ④众数 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故答案为：②④． 14. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足． 根据一次函数的性质，时，y随x的增大而减小，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可． 【详解】的图象经过，且y随x的增大而减小， ， 不妨令， 则， 把代入得， ． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与相交于点M，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系．利用两直线交点坐标与方程组解的关系，以及函数图象的位置关系来求解．解此题可通过图象观察来判断不等式的解集，最终可求出对应的解集． 【详解】解：根据图象观察，当时，直线位于直线的下方，因此不等式的解集为． 故答案为：． 16. 如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最值问题，正方形的性质，勾股定理，动点的函数图象．设正方形的边长为，连接，由轴对称得，进而可得，可知当D、P、E共线时，的值最小，利用勾股定理求出，再根据，即点P与点C重合时，，求出a的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设正方形的边长为， ， ， 点E是边的中点， ， 正方形是轴对称图形，关于对称，点B和点D是一组对应点， ， ， 当D、P、E共线时，的值最小，如下图： 在中，， 的最小值为， 最低点Q的纵坐标为， 由图可知，当，即点P与点C重合时，， 最低点Q的纵坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先化简，再按照运算法则计算即可； （2）按照运算法则计算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式去括号，再按照运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 18. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1） 四边形为所求作的菱形． （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定． 根据平行四边形性质可得，进而证明，得到． 【详解】略 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）写出A，B两点的坐标； （2）画出该函数图象； （3）当时，直接写出x的取值范围． （4）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数的性质，利用数形结合思想是解答的关键． （1）分别令、求解即可； （2）利用描点、连线即可画出图象； （3）先分别求得和对应的x值，再根据一次函数的增减性可得答案； （4）先求得，再根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，则； 当时，由得，则； 【小问2详解】 解：描点、连线可得函数图象如图： 【小问3详解】 解：当时，由得， 当时，由得， 由图象得当时，x的取值范围为； 【小问4详解】 解：将代入，得， 将代入中，得，解得， ∴直线和直线相交于点， 又直线过点， 如图， 由图象得：当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，即当时，直线一直位于直线上方， 则m的取值范围为． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． 【答案】 （1）证明： ∵ 菱形ABCD ∴AD∥BC ， AD=BC ∵CF=BE ∴BC=EF ∴AD∥EF，AD=EF ∴四边形AEFD是平行四边形 ∵AE⊥BC ∴∠AEF=90° ∴平行四边形AEFD是矩形 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，AE⊥BC，则平行四边形AEFD是矩形； （2）先证明△ABE≌△DCF，得出△ABC是等边三角形，在利用面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）根据题意可知∠ABE=∠DCF,AB=CD,CF=BE ∴△ABE≌△DCF (SAS) ∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形 AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO= 矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积= 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，解题关键在于先求出AEFD是平行四边形. 22. 问题：探究函数y=﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y=﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y=|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … m=_______； ②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n=_______； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： 该函数的最小值为_______； 已知直线与函数y=﹣2的图象交于C、D两点，当y1≥y时x的取值范围是_______． 【答案】（2）①1；②﹣10； （3） 该函数的图象如图， ①﹣2；②﹣1≤x≤3． 【解析】 【分析】（2）①把x=3代入y=－2，即可求出m； ②把y=8代入y=－2，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解； ②在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x−与函数y=－2的图象，根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围． 【详解】解：（2）①把x=3代入y=﹣2，得m=3﹣2=1． 故答案为1； 把y=8代入y=﹣2，得8=﹣2， 解得x=﹣10或10， ∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点， ∴n=﹣10． 故答案为﹣10； （3）函数的图象略 ①该函数的最小值为﹣2； 故答案为﹣2； 在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x－与函数y=﹣2的图象， 由图形可知，当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3． 【点睛】 考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 23. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ． 理由：如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $