第13章勾股定理练习2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

第13章 勾股定理 练习 一、单选题 1．在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 3．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 4．如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M、E，边的垂直平分线分别交于点N、F，的周长为10．若，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D．4 7．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，是边上的高．是上任一点，则的值是（　　） A．4 B．14 C．28 D．条件不足，无法计算 10．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　） A．5 B．12 C．13 D．5或13 二、填空题 11．写出常见的三组勾股数： ． 12．如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ． 13．如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 14．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 15．如图，已知和是两个全等的等边三角形，点是内部一点，连接、，点为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，则线段的最小值为 ．    三、解答题 16．如图，在宽为40米的一条绿化带上开一条路，数据如图所示，求这条路的宽度． 17．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 18．在中，，点是的中点，点是射线上一点，过点作于点，连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，请直接写出的值． 19．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 20．如图，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点，，且，，三点在同一直线上． (1)填空：_______；（用含的代数式表示） (2)如图，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，若，，直接写出四边形面积的最大值_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章 勾股定理 练习2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C C C A C D 1．D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则， ∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为2和4， ∴，， ∴， 即正方形的面积为6． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意可得：，， ∵， ∴， 即， ∴点表示的数为． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 6．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，完全平方公式的变形求值，掌握以上知识是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质，可得，再结合，可得，再根据勾股定理可得，再结合的周长为10，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选：C 7．C 【分析】本题考查勾股定理解应用题，由题意可知，，，，在中，由勾股定理得到，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，，， 在中，，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可． 【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以； ②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以 综上所述，的值为5或13． 故选D． 11．，，，，（任选其三，或三个符合题意的答案即可） 【分析】本题考查的知识点是勾股数的含义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数：构成直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义可得答案． 【详解】解：勾股数是构成一个直角三角形三边的一组正整数， ，，， ，， ，，，，都是勾股数． 故答案为：，，，，（任选其三，或三个符合题意的答案即可）． 12．169 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决正方形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求得，然后求出正方形的面积即可． 【详解】解：在直角中，由勾股定理得， 在直角中，． ∴正方形的面积为． 故答案为：169． 13．138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 14． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】依据题意，可证得，从而得出点在上，从而当时，最小，从而得出，，取的中点，连接，，作于，可得出，从而得出当点在上时，即可求出得解． 【详解】解：由题意，如图所示，取的中点，连接，，作于，   和是等边三角形， ． ， 由折叠知，，． 四边形是菱形， ， ． ， 点在上， 当时，最小， ， ． ，． ， ． ， ． ， 当点在上时， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 16． 【分析】本题考查勾股定理的应用，需要结合勾股定理以及平行四边形的面积公式进行解答．首先根据勾股定理求出的长度，然后借助平行四边形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：设这条路的宽为x， 由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴． 即这条路的宽度为． 17．(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论； （3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 如图，由勾股定理得：， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，由勾股定理得：，， ∵， ， ， ， ， ． 18．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先在中，利用勾股定理，求得，然后利用求得答案； （2）连接，根据是等腰直角三角形，可证，，推出，接着证明，从而证明，最后利用全等三角形对应边相等，得证； （3）不妨设，那么，然后在中求得，利用，求得，接着利用求得，最后解得即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：连接，延长交于点，如图所示： ，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：不妨设， 由（2）可知，，， ， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 19．(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 20．(1)； (2)，理由如下见解析； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，完全平方公式，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，然后通过等边对等角即可求解； （）由旋转性质可得，则，，，证明是等边三角形，通过勾股定理求得，然后代入即可求解； （）过作，交延长线于点，由将绕点按逆时针方向旋转角得到，则，所以，，，，根据三角形内角和定理可得，则，则，设，，则，由勾股定理得，即，又，则，即，得，然后由四边形面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转角得到， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ∵将绕点按逆时针方向旋转角得到， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段，，之间的数量关系是； （3）解：如图，过作，交延长线于点， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转角得到， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积为 ， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $