专题06 锐角的三角比章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕锐角三角函数章末复习，构建了“基础概念—核心题型—综合应用”的三维知识体系，通过思维导图清晰呈现7大题型的内在逻辑关系，用表格对比互余角、动点问题与翻折问题中的函数变化规律，帮助学生建立从特殊到一般的认知结构，突出直角三角形中边角关系的核心地位。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如题型一中利用互余角正弦与余弦的关系推导sin²α + cos²α = 1，培养学生抽象能力和逻辑推理素养；题型三动点问题结合几何直观分析线段最值，提升空间观念和建模意识；题型七新定义问题引导学生迁移已有经验解决陌生情境，发展创新意识。每类题型均配有典型例题解析与变式训练，既支持学生自主梳理错题集锦，又助力教师精准定位学情，实现分层教学与高效备考。

专题06 锐角的三角比章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 互余（同位）两角三角函数的关系 题型二 与直角三角形有关的几何问题 题型三 直角三角形的动点问题 题型四 三角函数综合 题型五 直角三角形中的翻折问题 题型六 直角三角形的综合应用 题型七 锐角三角函数的新定义问题 【经典例题一 互余（同位）两角三角函数的关系】 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）在中， （1）若的值； （2）若，，试比较与大小，说明理由． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin(+)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2=2 sin cos；并在已知sin=的条件下，求sin2的值． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规在BC的延长线上作点E，连接AE，使∠EAC＝∠ABC． （1）不要求写出作图步骤，但保留作图痕迹； （2）若AC＝3，∠CAB的正切值为，求CE的值． 5．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 6．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 7．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，直角中，，，. （1）求、的长； （2）点为边上一动点，点为边上一定点，若，则当与相似时，的长为多少？ 8．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【经典例题二 与直角三角形有关的几何问题】 9．（25-26九年级上·上海长宁·单元测试）如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽米，高米，长米，棚的斜面用长方形玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积． 10．（24-25九年级上·上海青浦·期末）某施工队要在相距10千米的A、B两地修一条笔直的公路，但在A地北偏东方向、B地北偏西方向的C处，有一个半径为3千米的大型集中村，问修建公路时，这个集中村是否有居民需要搬迁？（参考数据：） 11．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 13．（2025·上海长宁·模拟预测）南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半的流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 15．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，已知的半径为5，都是的直径，，弦与直径相交于点F，过点E作的切线，交的延长线于P，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当四边形为菱形时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 16．（2025·上海宝山·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 【经典例题三 直角三角形的动点问题】 17．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG． （1）依题意，补全图形； （2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由； （3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值． 19．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，，点是直线上的一个动点，中，，直线交边于点， (1)当点在线段上时， ①当时，求的长； ②当时，求的值； (2)点在直线上运动的过程中使得是等腰三角形，求的长． 20．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习） 有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． (1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； (2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：，，，） 21．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，于点，，为边上的动点（不与，重合），连结，作，垂足为，交于点，连结． 　　　 (1)求 （直接写出答案）； (2)若时， ①求证：； ②求的周长． (3)当时，的长为 （直接写出答案）． 22．（2025·上海青浦·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，，，点E，F分别是边BC，AD上的动点，，EF与AC相交于点O，将矩形ABCD沿EF折叠，点A，B的对应点分别是，． (1)求证：； (2)如图2，若点与点C重合，连接，求的度数； (3)点E从点B运动到点C的过程中，求点的运动路径长． 23．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)若的半径为，求． (2)求证：与相切． (3)如图2，若正方形的边长为，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 24．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【经典例题四 三角函数综合】 25．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在中，于点D． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 26．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 27．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 28．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在中，，延长至D，使得，设P为线段上一动点（不与A、B重合），连结交于M点，过P、M、B三点作，交直线于另一点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)设的半径为R，判断的值是否不变．如果改变请说明理由．如果不变，请求出的值． 29．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 30．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角，视线PE与地面BE的夹角，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AFBE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）求盲区中DE的长度； （2）点M在ED上，MD=1.8m，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 31．（2025·上海做松江·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 32．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，在等边△ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t(s)．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． (1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形； (2)是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)求DE的长； (4)取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值． 【经典例题五 直角三角形中的翻折问题】 33．（2024·上海嘉定·模拟预测）2019年2月24日，华为发布旗下最新款折叠屏手机MateX，如图是这款手机的示意图，当两块折叠屏的夹角为30°时（即∠ABC＝30°），测得AC之间的距离为40mm，此时∠CAB＝45°．求这款手机完全折叠后的宽度AB长是多少？（结果保留整数，参考数据：） 34．（2025·上海嘉定·模拟预测）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知，，，求点D离地面的高DE．（结果取整数，参考数据：，，） 35．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 36．（2025·上海宝山·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 37．（2025·上海闵行·模拟预测）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示． 操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形． (1)证明：四边形为矩形； (2)点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证． 38．（24-25九年级上·上海青浦·开学考试）[教材呈现]如图是数学教材部分内容． 例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． (1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么_______； (3)如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，，则_______． 39．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 40．（2025·上海嘉定·模拟预测）【问题呈现】 （1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：． 【问题探究】 （2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【问题再探究】 （3）将图2中的的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）． 【拓展运用】 （4）如图4，若，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．    【经典例题六 直角三角形的综合应用】 41．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 42．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 43．（24-25九年级上·上海闵行·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 44．（24-25九年级上·上海长宁·随堂练习）为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛P看作业本A的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求． (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点E处，求作业本移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 45．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 46．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 47．（24-25九年级上·上海闵行·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 48．（2025·上海青浦·模拟预测）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【经典例题七 锐角三角函数的新定义问题】 49．（2025·上海闵行·模拟预测）定义一种新运算：．例如：． （1）求的值； （2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值． 50．（2025·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 51．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，定义：在中，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即．根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）________； （2）如上图，已知，其中为锐角，则的值为_______． 52．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 53．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 54．（2025·上海松江·模拟预测）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 55．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 56．（24-25九年级上·上海闵行·期中）阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形! 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c； （3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE． ①求证：△ACE是奇异三角形： ②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 锐角的三角比章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 互余（同位）两角三角函数的关系 题型二 与直角三角形有关的几何问题 题型三 直角三角形的动点问题 题型四 三角函数综合 题型五 直角三角形中的翻折问题 题型六 直角三角形的综合应用 题型七 锐角三角函数的新定义问题 【经典例题一 互余（同位）两角三角函数的关系】 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）在中， （1）若的值； （2）若，，试比较与大小，说明理由． 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)根据直角三角形中cosA=sinB，直接写出结果； (2)由分析(1)可知，cos35°=sin55°，便可与sin65°进行比较. 【详解】∵在直角中，， ∴； ∵， ∴． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了同一直角三角形中正弦与余弦的转化. 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式来求已知两角的正弦值，其公式为：sin(+)= sincos + cossin ，请利用这个公式，解决下列问题： (1)计算sin75°的值； (2)利用公式证明：sin2=2 sin cos；并在已知sin=的条件下，求sin2的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将75°写成30°+45°，运用题中公式计算； （2）通过题中所给公式进行证明，然后根据sin=可得cos=，代入所证公式计算. 【详解】解：(1)sin75°= sin(30°+45°)= sin30°cos45° + cos30°sin45°= (2)sin2=sin(+)= sincos + cossin=2 sin cos ∵sin= ,∴ cos= ,   ∴sin2= 2sincos=. 【点睛】本题给出两角和的三角函数公式，进而推导二倍角公式，考查了三角函数的恒等变换等知识以及推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规在BC的延长线上作点E，连接AE，使∠EAC＝∠ABC． （1）不要求写出作图步骤，但保留作图痕迹； （2）若AC＝3，∠CAB的正切值为，求CE的值． 【答案】（1）图见解析；（2）． 【分析】（1）根据作角等于已知角的尺规作图方法直接作图即可； （2）根据三角函数的定义和性质直接转化计算即可． 【详解】（1）如图，点E就是要求作的点， （2）∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=180°-∠ACB=90°， ∵Rt△ABC中tan∠CAB=， ∴tan∠CAE=tan∠ABC=， ∴Rt△ACE中， ∴CE= 【点睛】本题主要考查尺规作图和三角函数计算，能够灵活的应用三角函数的性质是解题的关键． 5．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 6．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 7．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，直角中，，，. （1）求、的长； （2）点为边上一动点，点为边上一定点，若，则当与相似时，的长为多少？ 【答案】（1）AC=2，BC=4；（2）CP=0.4或CP=1.6． 【分析】（1）根据计算AC，根据勾股定理计算BC； （2）分PQ平行AB和PQ与AB不平行，两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴AC=ABsinB==2； 根据勾股定理，得BC==4； 故AC=2，BC=4； （2）如图， 当Q∥AB时，则△CQ∽△CBA， ∴C：CB=CQ：CA， ∴C：4=0.8：2， 解得C=1.6； 当Q与AB不平行时，∠CQ=∠CBA时，两个三角形相似， 即△CQ∽△CAB， ∴C：CA=CQ：CB， ∴C：2=0.8：4， 解得C=0.4； 综上所述，CP=0.4或CP=1.6． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，三角形的相似，熟练掌握三角函数的定义，灵活变形计算，运用好分类思想准确计算是解题的关键． 8．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 【经典例题二 与直角三角形有关的几何问题】 9．（25-26九年级上·上海长宁·单元测试）如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽米，高米，长米，棚的斜面用长方形玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积． 【答案】50平方米 【分析】本题考查了勾股定理的应用及长方形面积的计算，解题的关键在于利用勾股定理求出长方形的一边的长度，再结合已知的另一边的长度，计算长方形的面积．先利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，最后根据长方形面积公式求解． 【详解】解：如图，在中，， ， 米，米， 米， 长方形的面积（平方米）． 答：阳光透过的最大面积是50平方米． 10．（24-25九年级上·上海青浦·期末）某施工队要在相距10千米的A、B两地修一条笔直的公路，但在A地北偏东方向、B地北偏西方向的C处，有一个半径为3千米的大型集中村，问修建公路时，这个集中村是否有居民需要搬迁？（参考数据：） 【答案】不需要搬迁 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．设，则，在中：，即，解得，计算后比较即可得到结论． 【详解】解：由题可知，过点C作于点D； 设，则， 在中：，即 解得 ∵ ∴集中村的居民不需要搬迁 11．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 【答案】楼的高度是204米 【分析】本题考查解三角函数，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，证明四边形是矩形，，求出，则，，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 【答案】(1)80 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得，结合，，则，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，则，再运用勾股定理列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积； （2）解：由（1）得，， ∵ ∴， 则， ∴． 13．（2025·上海长宁·模拟预测）南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半的流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形应用−−坡度问题，解决本题的关键是掌握坡度定义．先过点C作于点F，得出，结合相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得的长，求出的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 由题意得：， ， 则， ∴， ，即 ， 解得， 在中， ∴， ∴这段大堤的坡度为  ． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，先根据菱形的性质可得，根据圆的切线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，记与的另一个交点为，连接，先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵切于点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接， ∵为的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵切于点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 15．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，已知的半径为5，都是的直径，，弦与直径相交于点F，过点E作的切线，交的延长线于P，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当四边形为菱形时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理得到，，继而由互余关系以及等边对等角即可证明； （2）由垂径定理可得，然后由互余关系证明，则，即可求解； （3）可得为等边三角形，解求出，再由割补法求解阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵切于点E， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，扇形面积公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2025·上海宝山·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由勾股定理得，则，那么，可求，由题意得，，则，在中，解直角三角形得，则，在中，解直角三角形得； （3）当点与点重合时，过点作于点，可得，则，即可求解；当点不与点重合时，如图：过点作于点，可证明，由，再由线段和差求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在中，是斜边的中线， ∴， 由平移可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，； （3）当点B与点N重合时，如图：过点作于点， 由旋转和平移得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点B不与点N重合时，如图：过点作于点， ∵由旋转，平移得到，， ∴， ∴， ∴， 由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，解直角三角形，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键． 【经典例题三 直角三角形的动点问题】 17．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出； （2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即的长为2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG． （1）依题意，补全图形； （2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由； （3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）不可能，见解析；（3） 【分析】（1）根据题意画出图形即可． （2）如图1中，结论：不可能．连接BD．只要证明平行时，点E与B重合，不符合题意即可． （3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出CT，GT，根据CG≥CT﹣GT，求出CG的最小值即可． 【详解】解：（1）图形如图1所示： （2）如图1中，结论：不可能． 理由：连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠BDC＝30°， ∵点B关于直线AE的对称点为点F， ∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°， ∵点G为DF中点， ∴FG＝DG， ∴AG⊥DF， 若EFAG，则EF⊥DF， ∴∠EFG＝90°， ∴∠AFG＝30°， ∵∠AFD＝∠ADF， ∴∠ADF＝30°， ∴∠ADB＝∠ADF，此时点F与B重合，不符合题意， ∴不可能存在EFAG． （3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC， ∴△ACD是等边三角形， ∵AT＝TD， ∴CT⊥AD， ∴CT＝CD•sin60°＝， ∵AG⊥DF， ∴∠AGD＝90°， ∵AT＝TD， ∴TG＝AD＝1， ∵CG≥CT﹣GT， ∴CG≥﹣1， ∴CG的最小值为﹣1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系等；解题的关键是准确作出辅助线． 19．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，，点是直线上的一个动点，中，，直线交边于点， (1)当点在线段上时， ①当时，求的长； ②当时，求的值； (2)点在直线上运动的过程中使得是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①  ② (2)的长为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. （1）①延长至点， 使， 连接，通过，列方程得出的长； ②根据三角函数求出的长，再根据， 即可得到结论； （2）分三种情况，利用相似三角形的性质和解直角三角形解答即可． 【详解】（1）①在中，， ， ∵， ∴， 如图， 延长至点， 使， 连接， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 设， 则，， ， ， ； ②在中， ， ， ∵在中， ， ， ， ∴， 同①得， ； （2）解：①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又， ， ； ②当时， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 由 ，得；； ③当时，， 则， 又∵， 则、重合， 不能构成； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或 ． 20．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习） 有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． (1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； (2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：，，，） 【答案】(1)灯座与灯杆的夹角为； (2)此时光线不是最佳． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，由线段垂直平分线的性质可得且，利用三角函数的定义由此求解即可； （2）作于点M，作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交于点F，则由题可知且； ∴， ∴，即灯座与灯杆的夹角为； （2）解：作于点M，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴cm， ∴， ∴此时光线不是最佳． 21．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，于点，，为边上的动点（不与，重合），连结，作，垂足为，交于点，连结． 　　　 (1)求 （直接写出答案）； (2)若时， ①求证：； ②求的周长． (3)当时，的长为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①证明过程见详解；②的周长为 (3) 【分析】（1），，可知，于点，，根据勾股定理即可求解； （2）①根据，，可得，即，且，根据等腰三角形的性质即可求解；②由①可证是的垂直平分线，由此可知，且，则，由此即可求解； （3）如图所示（见详解），与交于点，根据等腰三角形的性质，可证，，可知，由此即可求解 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵于点，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 故答案为：． （2）证明：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长为． （3）解：如图所示，与交于点， ∵在中，，，， ∴，且， ∵，， ∴，， ∴，， ∵在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（2025·上海青浦·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，，，点E，F分别是边BC，AD上的动点，，EF与AC相交于点O，将矩形ABCD沿EF折叠，点A，B的对应点分别是，． (1)求证：； (2)如图2，若点与点C重合，连接，求的度数； (3)点E从点B运动到点C的过程中，求点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明，可通过证明和全等．根据矩形性质得到对边平行，从而得出内错角相等，再结合已知条件推出，利用全等三角形判定定理来证明． （2）求的度数，先根据矩形边长求出的度数，再利用折叠性质得到相关线段和角的关系，进而即可得解 （3）求点的运动路径长，需要先确定点的运动轨迹，根据折叠性质可知点的轨迹是以点为圆心，长为半径的一段弧，再通过求出圆心角和半径，利用弧长公式计算路径长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ． ∵，， ∴，即 ． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，，，， 根据勾股定理 ． ∴， ∴ ． 由折叠可知，垂直平分，，．, ∴ ∴ ∴, ∴； （3）解：连接，， 由折叠可知， ∴点的运动轨迹是以点圆心，为半径的一段弧． 由（）得 ∴， ∵, ∴， 由（2得 ． ∴, ∴, 弧长 ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理以及弧长公式．解题关键在于利用矩形和平行线的性质找到全等条件证明线段相等；借助折叠性质和三角函数求出角度；通过分析折叠特点确定点的运动轨迹，再利用弧长公式计算路径长度． 23．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)若的半径为，求． (2)求证：与相切． (3)如图2，若正方形的边长为，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由正方形的性质得到，再解直角三角形即可求出答案； （2）连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； （3）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求出半径长．连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 与相切． （3）解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中，， ， ， ， 又正方形的边长为． 在中，， ， ， ． ∴的半径为． 连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 24．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度； （2）由，代值计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 【经典例题四 三角函数综合】 25．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在中，于点D． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义解答； （2）根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质求出CD，根据正切的定义解答． 【详解】（1）∵， ∵， ∴，在中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）可知， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 26．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）矩形的性质得到，得到，根据定理证明；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可. 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 27．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，利用线段的垂直平分线性质，结合切线的判定定理证明即可； （2）连接，根据圆周角定理，得，求得圆的半径，再利用勾股定理两次表示，求得的长，利用三角形中位线定理求的长即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， ，， 故直线垂直平分线段， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， 设， ，， 解得，即， ． 【点睛】本题考查了切线判定，圆周角定理，线段的垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正切函数的应用，熟练掌握判定和函数的应用是解题的关键． 28．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在中，，延长至D，使得，设P为线段上一动点（不与A、B重合），连结交于M点，过P、M、B三点作，交直线于另一点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)设的半径为R，判断的值是否不变．如果改变请说明理由．如果不变，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值不变，的值为 【分析】（1）利用直角三角形的性质，对顶角相等的性质和圆的内接四边形的性质解答即可； （2）连接，利用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用圆的内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （3）连接，过点O作于点K，利用圆周角定理，垂径定理得到，利用三角形的外角的性质和等式的性质得到，则，利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：的值不变，的值为， 连接，过点O作于点K，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴的值不变．的值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，线段的垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 29．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积． （1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解； （2）先求出c的值，由边角关系求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：由观察可知，， ， ； （2）解：， 由观察得， ， ， 又由观察得， ， ． 30．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角，视线PE与地面BE的夹角，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AFBE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）求盲区中DE的长度； （2）点M在ED上，MD=1.8m，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形及矩形的判定可得四边形ACDF是矩形，利用锐角三角函数可得AC，DF，再在直角三角形中利用三角函数即可解决问题； （2）过点M作，利用相似三角形的判定及性质得出M点处盲区高度，进而得解． 【详解】解：（1），， ∴， ∵， 四边形ACDF是平行四边形， ， 四边形ACDF是矩形， ，在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：盲区中DE的长度为2.8m； （2）如图所示：过点M作， ，， ，， 可得：， 则， 故，， 解得：， ， 在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员不能观察到物体． 【点睛】题目主要考查平行四边形及矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角函数解三角形，理解题意，熟练运用三角函数是解题关键． 31．（2025·上海做松江·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）本题根据，然后即可求解； （2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解； 【详解】（1）解：由题得，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， 故的长为米； （2）解：延长和相交于点，如图： ， 由题得：，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴建筑物的高度为米； 32．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，在等边△ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t(s)．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． (1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形； (2)是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)求DE的长； (4)取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值． 【答案】（1）t=2；（2）存在，t=3；（3）DE=3；（4）t=9－3时，AB′的值最小，最小值为3－3 【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程2（6－t）=6＋t，即可解决问题． （2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题． （3）证明DE＝AC即可解决问题． （4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM−MB′求解即可解决问题． 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∵BP⊥PQ，∴2BP=BQ即2（6－t）=6＋t，解得t=2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形； （2）存在．作射线BF， ∵PE⊥AC，∴AE=0.5t． ∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ=EC=6－0.5t， ∵BF平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF=90°． ∵BQ=2FQ，BQ=6＋t，∴6＋t=2（6－0.5t），解得t=3．    （3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形． ∵BP⊥PQ，∴EG=AG． ∵PG∥CQ， ∴∠PGD=∠QCD， ∵∠PDG=∠QDC，PG=PA=CG=t， ∴△PGD≌△QCD． ∴GD=GC．∴DE=AC=3． （4）连接AM， ∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点， ∴BM=3．由勾股定理，得AM=3． 由折叠，得BM′=3． 当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′=3－3. 过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°=，即=， 解得t=9－3． ∴t为9－3时，AB′的值最小，最小值为3－3． 【点睛】本题考查四边形综合题，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题五 直角三角形中的翻折问题】 33．（2024·上海嘉定·模拟预测）2019年2月24日，华为发布旗下最新款折叠屏手机MateX，如图是这款手机的示意图，当两块折叠屏的夹角为30°时（即∠ABC＝30°），测得AC之间的距离为40mm，此时∠CAB＝45°．求这款手机完全折叠后的宽度AB长是多少？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】77.27（mm） 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质即可求出AD与BD的长度，从而可求出AB的长度． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝40mm，∠A＝45°， ， ∵∠B＝30°， ∴BC＝2CD＝40（mm）， ∴由勾股定理可知：BD＝20（mm）， ∴AB＝AD+BD ＝20+20 ≈77.27（mm）， 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含特殊角的直角三角形的性质，本题属于中等题型． 34．（2025·上海嘉定·模拟预测）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知，，，求点D离地面的高DE．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】点D离地面的高度约为 【分析】已知，，根据三角形的内角和定理可得，再根据垂直，可得，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：点D离地面的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点并准确理解题意是解题的关键． 35．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得和分别是和的角平分线，据此即可求解； （2）在直角中利用勾股定理求得的长，设，则，在直角和直角分别利用三角函数即可得到关于的方程，求得的值，再在直角中利用勾股定理求得的长，再根据，则函数值相等，据此列方程求解． 本题考查了图形的折叠与三角函数，勾股定理，角度相等则对应的三角函数值相等，据此求得的长度是本题的关键． 【详解】（1）解：∵折叠 ，， 又， ； （2）解：，，， ． 由折叠可知，，，，． 设，则． 在直角中，， 又在直角中，． ． ， ． ， ， ， ． 36．（2025·上海宝山·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①矩形，② 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由折叠的性质即可求解； （2）可先证明四边形是平行四边形，则，由折叠可得，则，即可通过证明全等； （3）①由上可得四边形是平行四边形，而，即可证明为矩形；②不妨设，由翻折得，，设，则，则，由，得，求出，即可求解正切． 【详解】（1）解：由折叠得， 故答案为：； （2）证明：由题意得，四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ∵，， ∴，即， 又由折叠可得， ， ； （3）解：①矩形， ∵由上可得四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ②纸的长、宽比为， 不妨设， 由翻折得，， 同理可得四边形是矩形， ∴． 由（2）得，故，， 设，则，则 由， 得， 解得． ， ． 37．（2025·上海闵行·模拟预测）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示． 操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形． (1)证明：四边形为矩形； (2)点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义是解题的关键． （1）设正方形的边长为，先根据折叠的性质证四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形得出和的比例关系，即可得证结论； （2）作，，垂足分别为，，证，根据线段比例关系得出即可得出结论． 【详解】（1）证明：设正方形的边长为， 是正方形的对角线， ， 由折叠的性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形； （2）证明：作，，垂足分别为，， 四边形是矩形，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∴， ，， 为的中点， ，， ， ， ∵ ， ， ． 38．（24-25九年级上·上海青浦·开学考试）[教材呈现]如图是数学教材部分内容． 例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． (1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么_______； (3)如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长到，使，连接，证得四边形是矩形，根据矩形的性质得到结论即可； （2）设交于点，证明，求出，证明即可得到结论； （3）连接，证明，利用等腰三角形的性质证明，利用勾股定理求出可得结论． 【详解】（1）解：延长到，使，连接， ， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：设交于点， ， ， ， 由翻折的性质得到， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； （3）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题． 39．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明和，得到； （2）根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时，画图即可； （3）根据强相似点定义得出，得出，根据折叠得出，，得出，根据三角函数定义得出，得出，即可求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）解：如图，点为靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为矩形的边上的强相似点； 同理点为靠近点B，边上的强相似点，如图所示： （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知：， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，三角函数的定义，余角的性质，勾股定理，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 40．（2025·上海嘉定·模拟预测）【问题呈现】 （1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：． 【问题探究】 （2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【问题再探究】 （3）将图2中的的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）． 【拓展运用】 （4）如图4，若，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比： （1）可证明，即证明结论； （2）过点作交于点，可证得，进而可得，； （3）过点作交于点，可证得，，据此即可求得答案； （4）过点作交于点，连接，根据，可求得，过点P作交于点，交于点，作交于点，可得，设，则，． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ∴． （2）．理由如下：如图1，过点作交于点．    则,又由, ∴,即. 由四边形的内角和可得：, 又,则, ∴， ． ∴． （3），理由如下：过点作交于点．      则,又由, ∴,即. 由四边形的内角和可得：, 又,则, ∴． ． ∴． （4）如图2，过点作交于点，连接．    ∵， ∴，，，四点共圆． ， ∴． 又， ∴． ∴． ． ． 如图3，过点P作交于点，交于点，作交于点，    则， ． ． ． ． ． 设，则 ． ． 【经典例题六 直角三角形的综合应用】 41．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【答案】轮船距离码头约为36海里 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得海里，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意，得海里． 在中，，， ， ∴， ∴（海里）； 答：轮船距离码头约为36海里． 42．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交直线于点，则．设． 在中，， ， 在Rt中， ， 又， 解得， 故桥头到公路的距离为． 43．（24-25九年级上·上海闵行·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解； （2）通过解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得米，，，， ∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴平方米． 答：灯牌的面积为平方米． （2）解：∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴两侧加固的铝合金框架总共用料米． 44．（24-25九年级上·上海长宁·随堂练习）为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛P看作业本A的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求． (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点E处，求作业本移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)嘉琪的眼睛与作业本的距离不符合最佳要求，理由见解析 (2)作业本移动的距离AE约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，利用仰角俯角的定义确定角度，结合三角函数（正弦、余弦、正切）和勾股定理求解边长，解决此类问题的关键是准确识别直角三角形的边角关系，合理选择三角函数公式． （1）通过俯角确定直角三角形中的角度，利用余弦函数求出眼睛与作业本的距离，与比较判断是否符合要求； （2）先由勾股定理求出原位置的长度，再根据最佳距离，利用余弦函数求出移动后的长度，最后通过计算移动距离． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉琪的眼睛与作业本的距离不符合最佳要求． （2）在中，，， ∴． 为了符合最佳要求，， 在中，， ∴， ∴． ∴作业本移动的距离约为． 45．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 【答案】(1)观测点 P 到公路的距离是 (2)卡车超过了限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点P作于点 D，证明 是等腰直角三角形，得出．设，，由勾股定理得解答即可． （2）先求出的长，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：过点P作于点 D， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 在中，设，， 由勾股定理得：， 解得 ， 即观测点 P 到公路的距离是． （2）解：在中，，由（1）知， ， 即  ， 解得． ． ∵， ∴卡车超过了限制速度． 46．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴ ， 在中，， ， ， 、之间的距离约为． 47．（24-25九年级上·上海闵行·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 48．（2025·上海青浦·模拟预测）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． （）如图，过点D作，垂足为点G，证明四边形是矩形，可得，，结合．由，据此即可求解； （）求解，，可得，结合，进一步即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 【经典例题七 锐角三角函数的新定义问题】 49．（2025·上海闵行·模拟预测）定义一种新运算：．例如：． （1）求的值； （2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值． 【答案】（1）-5；（2）45° 【分析】（1）根据已知的式子计算即可； （2）根据已知条件列出式子，再根据计算即可； 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，结合三角函数的知识点计算是关键． 50．（2025·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)青一距为，正弦值为 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：；；； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴ ∴的青一距青一距为，直线与x轴夹角的正弦值为． 51．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，定义：在中，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即．根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）________； （2）如上图，已知，其中为锐角，则的值为_______． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据直角三角形的性质用BC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可； （2）由，所以设，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可． 【详解】（1）如图， ∵中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：. （2）∵， ∴设， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 52．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 53．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 54．（2025·上海松江·模拟预测）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 【答案】(1)=；120 (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质： （1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案； （2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案； （3）方法同（2）可得解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴和是等边三角形， ∴ ∴； 故答案为：=；120； （2）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接交于K， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 55．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 56．（24-25九年级上·上海闵行·期中）阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形! 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c； （3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE． ①求证：△ACE是奇异三角形： ②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数． 【答案】（1）真命题，理由见解析；（2）；（3）①见解析；②∠AOC的度数为60°或120° 【分析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可； （2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案； （3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得； ②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：；与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果． 【详解】（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2， ∴符合奇异三角形”的定义． ∴是真命题； （2）∵∠C＝90°， 则a2+b2＝c2①， ∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a， ∴a2+c2＝2b2②， 由①②得：b＝a，c＝a， ∴a：b：c＝1：；； （3）∵①AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2， 在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2， ∵点D是半圆弧ADB的中点， ∴弧AD=弧BD， ∴AD＝BD， ∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2， ∴AC2+CB2＝2AD2， 又∵CB＝CE，AE＝AD， ∴AC2+CE2＝2AE2， ∴△ACE是奇异三角形； ②由①可得△ACE是奇异三角形， ∴AC2+CE2＝2AE2， 当△ACE是直角三角形时， 由（2）得：AC：AE：CE＝1：或AC：AE：CE＝：：1， 当AC：AE：CE＝1：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°； 当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°． ∴∠AOC的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查新定义，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $