专题01 锐角的三角比重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕锐角三角比构建了系统化复习体系，通过知识框架图清晰呈现正弦、余弦、正切的概念本质与相互关系，用表格归纳特殊角三角函数值及其变化规律，并借助思维导图梳理十大核心题型的解题路径，突出概念辨析、计算求值、边角互求等重难点之间的逻辑关联。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如题型九通过比较不同角度的三角函数值大小，引导学生运用几何直观和推理能力理解函数单调性，培养数学思维品质；拓展训练三中综合运用同角关系与勾股定理解决复杂图形问题，提升模型意识与运算能力。每类题型均配有典型例题解析与易错点提示，基础薄弱学生可掌握基本方法，学有余力者能挑战综合探究题，教师据此实现精准分层教学，助力学生自主建构知识网络。

专题01 锐角的三角比重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 正弦、余弦、正切的概念辨析 题型二 求角的正弦、余弦、正切的值 题型三 已知正弦、余弦、正切的值求边长 题型四 特殊角的三角函数值 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 用计算器求锐角三角函数值 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型九 已知角度比较三角函数值的大小 题型十 根据三角函数值判断锐角的取值范围 拓展训练一 利用同角三角函数关系求值 拓展训练二 同角、互余两角的三角函数关系式 拓展训练三 三角函数综合问题 知识点一：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）已知锐角满足，则 ． 知识点二：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）锐角的 统称为锐角的三角函数． 知识点三：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·期末）的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 【经典例题一 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级·上海长宁·单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，则下列结论：①AE=BF；②S四边形ECFG=S△ABG；③△BFQ是等腰三角形；④．其中一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 3．（2025·上海静安·模拟预测）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【经典例题二 求角的正弦、余弦、正切的值】 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，则的值是 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是 4．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【经典例题三 已知正弦、余弦、正切的值求边长】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=8cm，则BC的长度为（　  ）． A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，则BC的值是 ． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，则平行四边形ABCD的面积为AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝3DF，以EC、EF为邻边作平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 【经典例题四 特殊角的三角函数值】 【例4】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）的值等于（   ） A． B． C．4 D． 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：=（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）计算：4sin45°﹣|1﹣|+＝ ． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，，，以为直角边向外作，使，，以为直角边向外作，使，，按此方法进行下去，得到，，……，，若点，则点的横坐标为 ． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． (1)若，则________米； (2)若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）计算的值是（        ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·随堂练习）计算：． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 1．（2025·上海·模拟预测）如图，等腰直角中，，，点在斜边上，且满足，将绕点顺时针方向旋转到的位置，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则 ． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【经典例题七 用计算器求锐角三角函数值】 【例7】（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为m； 按键的结果为n； 按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β= 度，sinβ= （结果保留四个有效数字） 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)． (1)sin 20°＋cos 49°18′－cos 80°25′； (2)tan 12°12′＋. 【经典例题八 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例8】（2025·上海宝山·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在直角边上，直线把分成两部分，若其中一部分与原相似，则 ． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，，，请用尺规作图的方法在上找一点，使与的面积比为．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题九 已知角度比较三角函数值的大小】 【例9】（2025九年级上·上海松江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【经典例题十 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例10】（24-25九年级·上海长宁·单元测试）已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 1．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线段的比值一定与cosA相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【拓展训练一 利用同角三角函数关系求值】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【拓展训练二 同角、互余两角的三角函数关系式】 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    2．（2025·上海崇明·模拟预测）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【拓展训练三 三角函数综合问题】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 2．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 3．（2025·上海普陀·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·上海静安·模拟预测）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期末）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海嘉定·模拟预测）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 7．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习） ；若，则锐角 ． 8．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 9．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连接AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．①BH=CB；②EF=；③cos∠CEP=；④，以上结论正确的有 ．（填写序号） 11．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 12．（24-25九年级上·上海松江·期末）小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． …① …② …③ (1)错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 (2)写出正确解答步骤． 13．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． (1)求证：； (2)求． 14．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且 （1）使tan∠AOB的值为1； （2）使tan∠AOB的值为． 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角的三角比重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 正弦、余弦、正切的概念辨析 题型二 求角的正弦、余弦、正切的值 题型三 已知正弦、余弦、正切的值求边长 题型四 特殊角的三角函数值 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 用计算器求锐角三角函数值 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型九 已知角度比较三角函数值的大小 题型十 根据三角函数值判断锐角的取值范围 拓展训练一 利用同角三角函数关系求值 拓展训练二 同角、互余两角的三角函数关系式 拓展训练三 三角函数综合问题 知识点一：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 知识点二：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 2．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）锐角的 统称为锐角的三角函数． 【答案】正弦、余弦、正切 【分析】根据初中所学三角函数的种类直接填写即可得到答案． 【详解】解：锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数． 【点睛】本题考查初中所学锐角三角函数种类，熟记三种三角函数是解决问题的关键． 知识点三：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·期末）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可． 【详解】解：． 故选：D 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为:． 【经典例题一 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级·上海长宁·单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=，tanA=，故选B． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，则下列结论：①AE=BF；②S四边形ECFG=S△ABG；③△BFQ是等腰三角形；④．其中一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据正方形的性质和已知条件证明△ABE≌△BCF即可；②根据三角形ABE和三角形BFC面积相等即可证明S四边形ECFG＝S△ABG；③根据折叠可得∠CFB＝∠PFB，由DC∥AB得∠CFB＝∠FBA，等量代换后即可证明△BFQ是等腰三角形；④可以设正方形边长为1，AQ＝x，AH＝y，作FI⊥AB于点I，进而根据同角三角函数值相等用含x的式子表示y，然后求出QH，利用勾股定理列出方程求出x的值，即可得到． 【详解】解：①∵在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF，故①正确； ②∵△ABE≌△BCF， ∴S△BCF=S△ABE， ∴SBCF﹣S△BGE=S△ABE﹣S△BGE，即S四边形ECFG=S△ABG，故②正确； ③∵由折叠可知：∠CFB=∠PFB， ∵DC∥AB， ∴∠CFB=∠FBA， ∴∠PFB=∠FBA， ∴QF=QB， ∴△BFQ是等腰三角形，故③正确； ④如图所示： 设PQ与AD交于点H，作FI⊥AB于点I，则四边形DAIF是矩形， 设正方形ABCD边长为1，AQ=x，AH=y， 则FI=AD=1，AI=，QI=x+， 在Rt△AQH和Rt△FIQ中，tan∠Q=，即， ∴y=， ∵AH∥FI， ∴，即， ∴， 在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：x2+y2=y2（1+x）2， ∴x2+（）2=（）2（1+x）2， 解得：x=， 经检验，x=是方程的解， ∴BQ， ∴，故④正确． ∴正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角函数以及勾股定理等知识，解决本题的关键是灵活运用所学知识进行推理计算． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 3．（2025·上海静安·模拟预测）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 【答案】 【分析】连接MN．设小正方形的边长1．利用相似三角形的性质证明∠CPN=45°即可解决问题． 【详解】解：连接MN．设小正方形的边长1． ∵△MNF是等腰直角三角形， ∴∠FMN＝∠FNM＝45°， ∴∠AMN＝∠MNC＝135°， ∵MN＝，AM＝2．CN＝1， ∴＝＝， ∴△ANM∽△MCN， ∴∠MAN＝∠CMN， ∵∠NMF＝∠MAN+∠ANM＝45°， ∴∠CPN＝∠PMN+∠PNM＝45°， ∴cos∠CPN＝， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 【经典例题二 求角的正弦、余弦、正切的值】 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的表示及求值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，根据题意画出三角形，由得到，设，，利用勾股定理可得，最后再根据锐角三角函数的定义即可得到答案. 【详解】解：由题可得图如下： ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 故选：A. 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 先由菱形的性质得，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，过点C作交的延长线与点D，先得出，再由含30度直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：过点C作交的延长线与点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是 【答案】或 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解． 本题可以利用锐角三角函数的定义在直角三角形中分两种情况求解即可． 【详解】解：此题有两种可能： 当点在线段上时， ，， ， ， ∴， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ∴， ； 故答案为：或． 4．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于H，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于H，连接、，如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【经典例题三 已知正弦、余弦、正切的值求边长】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=8cm，则BC的长度为（　  ）． A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵sinA=， ∴设BC=3x，AB=5x， 又∵AC2+BC2=AB2， ∴82+（3x）2=（5x）2， 解得：x=2或x=-2（舍）， 则BC=3x=6cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，则BC的值是 ． 【答案】12 【分析】由cosB＝得BC＝ABcosB，据此可得． 【详解】在Rt△ABC中，∵cosB＝， ∴BC＝ABcosB＝15×＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，则平行四边形ABCD的面积为AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝3DF，以EC、EF为邻边作平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ． 【答案】 【分析】作于点H，根据正弦的定义可解得CH的长，再根据平行四边形的性质可证明，继而解得的值，当EO取得最小值, 即时，EG有最小值，据此解题． 【详解】作于点H，EG与CD相交于点O， 在中，，∠B＝60°，BC＝4， 当EO取得最小值，即时，EG有最小值，此时EO长为 平行四边形ABCD中，，EF=CG， DE＝3DF， ∴OG= 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的判定与性质、正弦定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查等角的余角相等，正切的定义，根据同角的余角相等得到，即可得到，然后根据正切的定义求出长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为4． 【经典例题四 特殊角的三角函数值】 【例4】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）的值等于（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：=（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当α为锐角时有．把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故本题选：C． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）计算：4sin45°﹣|1﹣|+＝ ． 【答案】-7 【分析】先计算4sin45°、，再利用绝对值的意义化简|1﹣|，最后加减求值． 【详解】解：原式＝4×﹣|1﹣2|﹣8 ＝2﹣（2﹣1）﹣8 ＝2﹣2+1﹣8 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值和绝对值的意义是解决本题的关键． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，，，以为直角边向外作，使，，以为直角边向外作，使，，按此方法进行下去，得到，，……，，若点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数求出OA1，OA2，得出OAn长度变化的规律，即可得出结果． 【详解】解：∵∠OA0A1=90°，OA0=1,∠A0OA1=30°， ∴， 同理， ， …， ∴， ∴． 又∵一次作法角度增加30°， ∴12次为一个循环， ∵2021÷12=168余5， ∴所在的直线与所在的直线相同， ∴点的横坐标=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，以及三角函数，解题的关键在于能够根据题意找出规律进行求解． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． (1)若，则________米； (2)若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理解三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形的性质可得米，然后通过三角函数的知识即可求解； （2）通过矩形的性质得到米，米，然后设，则，在中，通过勾股定理进行计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴， 解得：米， 故答案为：； （2）解：由题意可知：， 四边形是矩形， ∴米，米， 设，则， 在中，， 即，解得，， ∴米． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而结合二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）计算的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接把特殊角三角函数值代入计算即可. 【详解】解：原式= . 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数特殊角，熟悉掌握是关键. 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值． 先将特殊角度三角函数、0次幂、负整数幂、二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．将化为和两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海长宁·随堂练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算 ，首先计算特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 是等腰直角三角形． 故选B 【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，等腰直角中，，，点在斜边上，且满足，将绕点顺时针方向旋转到的位置，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OQ，由旋转的性质可得，△BCO△ACQ,则有BO=AQ,, 所以,则有,得到,又因为OC=CQ,可求出,即可求的大小. 【详解】解：连接OQ， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，△BCO△ACQ, ∴，OC=CQ, BO=AQ,, ∴,, 且， ∵, ∴， ∴. 故选B. 【点睛】主要考查了旋转的性质，特殊角的三角函数值等性质的综合应用，注意辅助线的连接是关键. 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在四边形中，连接，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据，可得为等腰直角三角形，以及可证，根据勾股定理和相似三角形的性质列方程求出x、y的值，即可求得BD的值． 【详解】解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E， 在中，， ， 设BE为x，DE为y， 则根据勾股定理可得：， 即：， ，， ， ， ， ，即； 根据， 解得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【答案】30度或150度 【分析】分两种情况：第一种情况，如图1，过点E作于点Q，过点A作于点P，证明，可得；第二种情况，如图2，当时，同法可证，从而可知旋转角α的度数． 【详解】解：如图1中，过点E作于点Q，过点A作于点P， ，， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， 旋转角α的度数； 如图2中，当时，过点E作交BC延长线于点Q，过点A作于点P， 同理可证，， ， 旋转角α的度数， 综上可知，当旋转角为30或150度时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，角的正弦值知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 【经典例题七 用计算器求锐角三角函数值】 【例7】（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算器的按键顺序可知. 【详解】根据计算器的按键顺序可知，正确的按键顺序是B选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据计算器的按键顺序，掌握计算器的按键顺序是解题的关键. 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为m； 按键的结果为n； 按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每一次的按键顺序列出相应的数学算式，得到结果比较即可． 【详解】第一次按键转换的数学式子为：，即 第二次按键转换的数学式子为： ，即 第三次按键转换的数学式子为： ，即 ∴ 故选： 【点睛】本题考查的是科学计算器的应用，根据按键顺序转换成数学式子，计算即可． 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β= 度，sinβ= （结果保留四个有效数字） 【答案】 54 0.8090 【分析】根据余角定义计算． 【详解】根据题意：∠β＝90°﹣36°＝54°，借助计算器可得：sinβ＝0.8090． 故答案为54，0.8090． 【点睛】本题考查了余角的定义、使用计算器求三角函数值及按要求取近似值． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的立方根，根据题意可得计算的式子为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)． (1)sin 20°＋cos 49°18′－cos 80°25′； (2)tan 12°12′＋. 【答案】(1) 0.8723；(2) -2.0572 【分析】先把49°18′化为49.3°，80°25′化为80.4°，12°12′化为12.2°，71°18分化为71,3°，20°57′化为20.95°然后利用计算器分别算出各个锐角的三角函数值，相加后四舍五入即可． 【详解】sin20°+cos49°18′-cos80°25′ =sin20°+cos49.3°-cos80.4° ≈0.3420+0.6521-0.1668 =0.8723 tan12°12′+cot71°18′-cot20.57′ =tan12.2°+cot71.3°-cot20.95° ≈0.2162+0.3385-2.6119 =-2.0572 故答案为0.8723；-2.0572 【点睛】本题考查的知识点是用计算器计算三角函数，解题关键是要注意把度数先转化为以度为单位，熟练使用计算器求锐角三角函数值． 【经典例题八 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例8】（2025·上海宝山·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记特殊角的三角函值是解答本题的关键．由非负数的性质得，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵已知α为锐角，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 【答案】20 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值．根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在直角边上，直线把分成两部分，若其中一部分与原相似，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角函数等知识点，掌握分类讨论数学是解题的关键． 先根据三角形函数求得，即；在分点E在和上情况分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴,即, ∴, 如图：当点E在上，且时，,则； 如图：当点E在上，且时，, ∵ ∴ ， ∵， ∴,即点E与点C重合，不符合题意； 如图：当点E在上，且时，, ∴, ∴． 综上，为或． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，，，请用尺规作图的方法在上找一点，使与的面积比为．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析，证明见解析 【分析】先作的角平分线，交于，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵由作图可得：， ∴到，的距离相等， ∴； ∴即为所求． 【点睛】本题考查的在作角平分线，锐角三角函数的应用，理解题意，确定作图的目的与方法是解本题的关键． 【经典例题九 已知角度比较三角函数值的大小】 【例9】（2025九年级上·上海松江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 1．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分析是否为假命题，需要分别分析各题设是否能推出正确结论，不能推出正确结论的，即假命题． 【详解】①两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题； ②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα，所以②是真命题； ③关于x的方程的解是x=4+m， 因为x＜0， ∴4+m＜0， 解得m＜-4，且m≠-6，即③是假命题； ④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以④是假命题． 所以假命题是①③④，3个． 故选C． 【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是 ． 【答案】0＜tanB≤ 【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan60°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°． 根据题意，知： 0°＜∠B≤60°． 又tan60°=， ∴0＜tanB≤． 故答案为: 0＜tanB≤ 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的性质解答 ．　 【详解】解：根据锐角三角函数的性质可得： cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1， ∴cos48°<sin48°<1<tan48°， ∴β<α<γ， 故答案为β<α<γ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．　 4．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【经典例题十 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例10】（24-25九年级·上海长宁·单元测试）已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：根据题意，知 0°＜∠B＜45°． 又sin45°=， ∴0＜n＜． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律． 1．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线段的比值一定与cosA相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案． 【详解】∵是的中位线 ∴点、分别是、的中点 ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 2．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围. 【详解】α是锐角，且且， 则有0＜＜1， 解得， ＜m＜ . 故答案为 ＜m＜ . 【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键. 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ． 【答案】4 【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解． 【详解】设，则， 则 过点，则 ，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值， 此时， 的最大值为 故答案为：4 【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先证明，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论； （2）证明即可得解． （3）作于点H，如图1，利用勾股定理计算出，利用△EFG∽△AEG得到，再证明得到，所以，则，，，x， ，接着•利用相似比表示出EH=，AH=，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用可确定x的范围； 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）答： 证明：作于点H． 在中，，, ． 在中，，． ， ． ， （3）， , ． ． ， ． ． ， ． ． ． 在中，，． ． 在中，，． ． ． ． ． ． ． x的取值范围． 【拓展训练一 利用同角三角函数关系求值】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解． 【详解】（1）解：cos30°+sin45° ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【拓展训练二 同角、互余两角的三角函数关系式】 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 2．（2025·上海崇明·模拟预测）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【拓展训练三 三角函数综合问题】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 2．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）矩形的性质得到，得到，根据定理证明；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可. 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 3．（2025·上海普陀·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）分两种情形讨论即可解决问题； （3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题； （4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是； 故答案为： （2）解：如图1中，    ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或； 故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．    由题意， ， ∴， ∴， ∴； （4）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键． 3．（2025·上海静安·模拟预测）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期末）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 5．（2025·上海嘉定·模拟预测）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 6．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习） ；若，则锐角 ． 【答案】 40 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ； ，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 8．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α 【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可； （2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可． 【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678， ∴sinα＜sinγ＜sinβ， ∴ α＜γ＜β； （2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024， ∴cosα＜cosγ＜cosβ， ∴ β＜γ＜α． 故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连接AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．①BH=CB；②EF=；③cos∠CEP=；④，以上结论正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】首先证明AH=HB，推出BG=EG，推出CB=CE，再证明△CBH≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【详解】连接． 四边形ABCD是正方形， ∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB， ∵BE⊥AP，CG⊥BE， ∴CH∥PA， ∴四边形是平行四边形， ∴CP = AH， ∵P为CD的中点， ∴AH=PC =PD=1， ∴AH=BH=CB，故①正确 在Rt△ABE中，∵AH=HB， ∴EH=HB，∵HC⊥BE， ∴BG=EG， ∴CB=CE=2， ∵CH=CH，CB=CE，HB=HE， ∴△CBH≌△CEH， ∴∠CBH=∠CEH=90°， ∵HF=HF，HE=HA，     ∴Rt△HFE≌Rt△HFA， ∴AF=EF，设EF=AF=x， 在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2， ∴x= ， ∴EF=，故②错误， ∵PA∥CH， ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH， ∴cos∠CEP=cos∠BCH==  ，故③正确 ∵HF= ，EF= ，FC= ∴HF2=EF·FC，故④正确， 故选答案为：①③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的运算以及特殊三角函数值的综合计算，解题的关键是熟练掌握各部分的运算法则． 分别根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质以及特殊三角函数值的规则，计算各项后再进行加减运算． 【详解】解： ． 12．（24-25九年级上·上海松江·期末）小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． …① …② …③ (1)错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 (2)写出正确解答步骤． 【答案】(1)① (2)，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值． （1）先观察算式，找出三角函数值错误的地方即可； （2）把几个特殊角的三角函数值代入算式进行计算即可． 【详解】（1）解：错误的步骤是：①， 故答案为：①； （2）解：正确解答步骤为： ． 13．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过“”证明， （）由，则，又，则，通过勾股定理，所以，由线段和差得出，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且 （1）使tan∠AOB的值为1； （2）使tan∠AOB的值为． 【答案】（1）如图1所示：见解析；（2）如图2所示；见解析 【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、，构造直角三角形进而得出答案． 【详解】如图1所示： ∵OA=,且tan∠AOB=1，∴AB=OB=,∴可找到格点B. 如图2所示； 同上一问的解法，可以求得AB=,OB=.即可找到点B. 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键． 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $