精品解析：湖南省永州市宁远县第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远二中高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求，，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为集合，， 则，， 可得，，故A正确，B错误； 且，集合不是集合的子集，故CD错误； 故选：A. 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 144 B. 120 C. 100 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 则， 所以， 故选：B. 3. 若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积、模、夹角的计算求得正确答案. 【详解】， ， ， 由于向量夹角的取值范围是， 所以向量与的夹角为120°. 故选：D 4. 如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用分步计数原理和组合知识即可求出结果. 【详解】由题有， 故选：C. 5. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，而平面， 因此平面，因为，则平面， 而点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为. 故选：B 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求. 【详解】 因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 8. 已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值不可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到圆心的距离与切线长的关系，结合抛物线的性质求出的取值范围，进而分析表达式的可能取值. 【详解】由题意得，由勾股定理得， 则. 易知，随着的增大，也越来越大，所以随着的增大而增大. 设，由两点间距离公式得 ， 所以当时，取得最小值，此时. 故的最小值为，即，显然B，C，D可能成立. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可. 【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确， 对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确， 对于C，易知，，当时，，故C错误， 对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确. 故选：ABD 11. 已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则为 B. 过点P作平面，若，则 C. 与底面所成角的最小值为 D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用体积公式即可求解A，根据空间中垂直关系的转化即可求解B,根据体积公式以及线面角的性质即可结合三角函数的性质求解C，根据圆的性质即可求解D. 【详解】设到底面的距离为， ， 则当平面时，，则，即为或，A错误； 如图1，若平面，平面，则，又， 平面， 则平面，平面,故，又， 平面, 所以平面，平面,，B正确； 设与底面所成角为，又， 则，因为，则， 由于，所以 则与底面所成角的最小值为，C正确； 如图2，当，根据，得，即P点到底面的距离为，过A点作底面的垂线为l，过点P作交l于点O，则，点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式即得. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中常数项为， 故答案为：. 13. 求双曲线被直线截得的弦长______________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，求得，结合直线与曲线的弦长公式，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与双曲线交于两点，设， 则， 由弦长公式可得. 故答案为：. 14. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图像，由余弦定理及双曲线的定义表示出和，再根据得出，即可表示出，由列出齐次式，求解即可． 【详解】做出图像，如图所示，则， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 因为， 所以， 则，即， 所以，解得， 所以， 由可得，，则， 所以，整理得，解得， 故答案为：． 四，解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理求的长；（2）由条件可知，在和中，利用正弦定理表示，再根据三角恒等变形计算的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 即， 解得，(负值舍去). （2）在中， ∵，， ∴， 在中， 由正弦定理得， ∴①， 在中， 由正弦定理得， ∴②， 由①②得， ∴， 即， ∴， 即， ∴. 【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，1.一般解三角形已知两角一边，首先用正弦定理解三角形，2.已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理解三角形，求边用余弦定理解三角形，3.已知两边和夹角，用余弦定理解三角形，已知三边，用余弦定理解三角形.4.每个三角形条件不全时，也可根据两个三角形，建立方程组求解. 16. 如图，四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如下图所示，取的中点，连接. ，，为的中点，则，， 又，可得，故四边形为平行四边形，， 且，， ，，，则，， ，，平面， 平面，因此； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证平面，即可通过线面垂直推证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，用向量法即可求得线面夹角. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，. 设平面的法向量为， 由，得，可得， 令，可得，，则， . 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，以及用向量法求线面角，属综合基础题. 17. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 【答案】（1）；（2）－1 【解析】 【详解】（1）∵椭圆的右焦点 ∴抛物线C的方程为 （2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于 由， ∴∴， 又由 即m=,同理， 所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. 【点睛】遇到直线与圆锥曲线位置关系的问题，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零. 18. 已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）答案见解析；. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式计算概率即可； （2）根据题意得的可能取值为0，2，4，再根据二项分布的公式计算概率求分布列和期望. 【详解】解：（1）记“该小组有两次失败”为事件， . （2）由题意可知的可能取值为0，2，4. ， ， . 故的分布列为： 0 2 4 . 【点睛】本题考查二项分布，数学期望的计算，考查运算能力，是中档题. 19. 已知函数． （1）证明：函数在上存在唯一的零点； （2）若函数在区间上的最小值为1，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵，∴． ∵在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴函数在上单调递增． 又，令，， 则在上单调递减，，故． 令，则， 所以函数在上存在唯一的零点． （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到在上单调递增，再计算，构造函数，利用导数说明，再计算，即可得到，从而得证； （2）由（1）可知存在唯一的，使得，即，即可得到，即可得到，再根据的单调性得到，即可得到，从而求出的值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）． 函数在上单调递增， ∴当时，，单调递减；当时，，单调通增； ∴， 由（*）式得． ∴，显然是方程的解， 又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解， 把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为． 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，一般需要利用函数的单调性和零点存心定理进行判断，对于导数零点不易求的情形，可通过虚设零点来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期宁远二中高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 144 B. 120 C. 100 D. 80 3. 若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 96 5. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8. 已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值不可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 10. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若，则的最大值为2 11. 已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则为 B. 过点P作平面，若，则 C. 与底面所成角的最小值为 D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 13. 求双曲线被直线截得的弦长______________． 14. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是______． 四，解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 16. 如图，四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 18. 已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数． （1）证明：函数在上存在唯一的零点； （2）若函数在区间上的最小值为1，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $