1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在直线与平面位置关系中的应用，从点的向量表示出发，逐步构建直线的方向向量和平面的法向量概念，通过问题链设计实现知识的自然过渡，形成清晰的学习支架。例如，由点P的位置向量引出直线参数式表达，再过渡到平面内点的线性组合表示，逻辑严密，层层递进。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”，如例题中利用坐标系求解长方体中平面的法向量，引导学生将几何问题转化为代数运算，强化数形结合思想。教学环节注重情境创设与思维训练，既提升学生空间想象与逻辑推理能力，又帮助教师高效落实重点难点，促进深度学习的发生。

1.4.1 用空间向量研究 直线、平面的位置关系 KAI的小炸鸡 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 导入 前面的学习，我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了立体几何中的一些问题，如： 平行 垂直 长度 两直线的夹角 空间 向量 几何 要素 对 应 2 导入 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 点 线 面 空间 向量 几何 要素 对 应 ？ ？ ？ 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 3 新知 问题1：如何用向量表示空间中的一个点？ 1. 用向量表示点 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量来表示. 点P 的位置向量 4 新知 问题2：我们知道，空间中给定一个点 A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线 l ? 2. 用向量表示直线 我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，因此用向量表示直线就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. A l P B 5 如图，是直线的方向向量，在直线上取， 设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知， 点在直线上的充要条件是存在实数， 使得即 新知 A l P B 进一步，取定空间中任意一点， 可以得到点在直线上的充要条件是存在实数， 使，① 将代入①式， 得. ② 空间直线的向量表示式 O 推论： 2. 用向量表示直线 6 新知 3. 用向量表示平面 A B C α 一个定点和两个定方向能确定一个平面. 问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？ 两条相交直线确定一个平面. 追问1：如何用向量表示这个平面？ P 若为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对，使得 7 新知 3. 用向量表示平面 A B C α O P 进一步地, 如图, 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是 存在实数x, y, 使 ③ 空间平面ABC的向量表示式 推论： 8 新知 3. 用向量表示平面 一个定点和一个定方向能确定一个平面. 追问2：进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？ 给定空间一点A和一条直线 l ， 则过点A且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的. A α 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面 9 新知 4. 平面的法向量 如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 α P • A m 追问2：如果另有一条直线， 在直线上任取向量，与有什么关系? 也为平面的法向量 10 总结： 1. 平面的法向量一定是非零向量; 2. 一个平面的法向量不唯一，但都互相平行; 3. 平面的法向量垂直于该平面内（或与平面平行）的任意一个向量. 新知 4. 平面的法向量 如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 α P • A m 11 练习 书本P29 1、判断下列命题是否正确，正确的打“✓”，错误的打“✕” (1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； (2)若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； (3)在空间直角坐标系中，(0，0，1)是坐标平面的一个法向量； (4)一个平面的所有法向量都是同向的. ✓ ✕ ✓ ✕ 12 例题 例2 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线A1M的方向向量; 应用1. 求直线的方向向量 A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：(1)∵AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, ∴M(3,2,0), A1(3,0,2). ∴直线A1M的方向向量为=(0,-2,2) ∴ =(0,-2,2) 13 变式：若直线l过点A(-1,3,4)，B(1,2,1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A. B. C. D. 解： 练习 D 例题 例2 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. (2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. 应用2. 求平面的法向量 A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：(2)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. 直接法 15 例题 例2 AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点， (3)求平面MCA1的法向量. 应用2. 求平面的法向量 A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：(3)∵是的中点， ∴，，. ∴，. 设是平面的法向量，则，. ∴，∴. 取，则，. ∴是平面的一个法向量. 待定系数法 建系、写点坐标 设法向量 写平面内不平行的两向量坐标 列方程组 赋非0值 下结论 16 直线的方向向量和平面的法向量的求法 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 总结 练习 书本P29 2. 在平行六面体ABCD –A1B1C1D1中， O是 BD1与B1D的交点.以 为空间的一个基底，求直线OA的一个 方向向量. A C D B C1 D1 B1 A1 N O 18 练习 书本P29 3. 在长方体ABCD –A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 以D为原点, 以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角 坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 19 总结 1 知识与方法 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 点→点的位置向量 线→直线的方向向量 平面→平面的法向量 2. 求直线的方向向量 3. 求平面的方向向量 直接法 待定系数法 20 $