1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，核心内容为直线方向向量、平面法向量的概念及法向量的求法。通过探究问题引导学生从点的位置向量入手，逐步过渡到直线的向量表示式，搭建平面向量到空间向量的学习支架。 资料以探究式问题驱动学习，结合判断正误辨析概念，典例与练习融入几何体情境，明确法向量求法步骤。通过解题感悟提炼方法，培养学生空间观念与推理能力，体现用数学眼光观察空间形式、用数学思维构建逻辑联系的核心素养，助力学生掌握向量语言表达空间关系。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念. 2.会用待定系数法求平面的法向量. 一、空间中直线的向量表示 探究1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 探究2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？ 探究3　已知直线l上的两点，如何求直线的方向向量？ ⚪梳理教材 　空间直线的向量表示式 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ ＝＋ . ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量.（　 　） （2）直线的方向向量是唯一的.（　 　） （3）若，都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.（　 　） 【典例1】　已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　 　） A.0 B.1 C. D.3 ⚪解题感悟 　　理解直线方向向量的概念：①以直线上任意两个不同的点为起点和终点的向量都可以作为直线的方向向量.②直线的方向向量不唯一. 【练习1】　已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别是（　 　） A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 二、空间中平面的向量表示 探究4　一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 探究5　如何用向量表示一个定点和一个定方向确定的这个平面？ 探究6　如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？ ⚪梳理教材 1.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋ ＋ . 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的 ，则a叫做平面α的法向量，过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α完全确定，可以用集合表示为 . ⚪温馨提示　准确理解直线方向向量的概念 （1）以直线上任意两个不同的点为起点和终点的向量都可作为直线的方向向量. （2）直线的方向向量不唯一. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） 若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行.（　 　） 【典例2】　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中， 分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． ⚪解题感悟 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【练习2】　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. ⚪课堂达标 1.（多选）下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　 ） A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 2.已知点A（2，－6，2）在平面α内，n＝（3，1，2）是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是（　 　） A.P（1，－1，1） B.P（1，3，） C.P（1，－3，） D.P（－1，－3，－） 3.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 . 4.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），ν＝（－4，－8，4），则平面α，β的位置关系是 . 解析版 ⚪学习目标　1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念. 2.会用待定系数法求平面的法向量. 一、空间中直线的向量表示 探究1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 探究2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？ 提示：如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta， ① 或＝＋t. ② ①②都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探究3　已知直线l上的两点，如何求直线的方向向量？ 提示：一般地，若已知直线l上的两点A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3），则直线l的一个方向向量为＝（b1－a1，b2－a2，b3－a3）. ⚪梳理教材 　空间直线的向量表示式 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋　ta　＝＋　t　. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量.（　√　） （2）直线的方向向量是唯一的.（　✕　） （3）若，都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.（　✕　） 【典例1】　已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　A　） A.0 B.1 C. D.3 解析：∵A（0，y，3）和B（－1，2，z）， ∴＝（－1，2－y，z－3）. ∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3）， 故∃k∈R，使＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝，∴y－z＝0. ⚪解题感悟 　　理解直线方向向量的概念：①以直线上任意两个不同的点为起点和终点的向量都可以作为直线的方向向量.②直线的方向向量不唯一. 【练习1】　已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别是（　A　） A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 解析：因为a∥b，a＝（2，－3，5），所以存在唯一的实数λ，使得b＝λa，即（－4，x，y）＝λ（2，－3，5）＝（2λ，－3λ，5λ），所以 解得所以x，y的值分别是6和－10. 二、空间中平面的向量表示 探究4　一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 提示：一个定点和两个定方向能确定一个平面. 给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.因此一个定点和一个定方向能确定一个平面，如图. 探究5　如何用向量表示一个定点和一个定方向确定的这个平面？ 提示：如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量，给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P｜a·＝0}. 探究6　如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？ 提示：b∥a. ⚪梳理教材 1.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋　x　＋　y　. 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的　方向向量a　，则a叫做平面α的法向量，过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α完全确定，可以用集合表示为　{P｜a·＝0}　. ⚪温馨提示　准确理解直线方向向量的概念 （1）以直线上任意两个不同的点为起点和终点的向量都可作为直线的方向向量. （2）直线的方向向量不唯一. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） 若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行.（　√　） 【典例2】　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中， 分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． [解]　答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量). ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，∴＝(1，2，0)，＝(－1，0，2)，设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝－，z＝， ∴n＝(1，－，)， 即平面SCD的一个法向量为n＝(1，－，)， ∵x轴⊥平面SAB， ∴m＝(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量． ⚪解题感悟 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【练习2】　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解：如图，连接PF，CF，AC. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD. 因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形， 所以CF⊥AB.所以BF，CF，PF两两垂直. 以F为坐标原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得F（0，0，0），P（0，0，），D（－1，，0），C（0，，0），则E（0，，）. 所以＝（0，，），＝（－1，，0）. 设平面DEF的法向量为m＝（x，y，z）， 则即 所以令y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝（，2，－2）. ⚪课堂达标 1.（多选）下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　AB 　） A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 2.已知点A（2，－6，2）在平面α内，n＝（3，1，2）是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是（　A　） A.P（1，－1，1） B.P（1，3，） C.P（1，－3，） D.P（－1，－3，－） 解析：对于选项A，＝（－1，5，－1）， 所以·n＝－1×3＋5×1－1×2＝0， 故⊥n， 故P（1，－1，1）在平面α内； 对于选项B，＝（－1，9，－），则·n＝－1×3＋9×1－×2≠0， A（2，－6，2）在平面α内，故P（1，3，）不在平面α内； 对于选项C，＝（－1，3，－），则·n＝－1×3＋3×1－×2≠0， A（2，－6，2）在平面α内，故P（1，－3，）不在平面α内； 对于选项D，＝（－3，3，－），则·n＝－3×3＋3×1－×2≠0， A（2，－6，2）在平面α内，故P（－1，－3，－）不在平面α内.故选A. 3.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　x＋2y－3z＝0　. 4.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），ν＝（－4，－8，4），则平面α，β的位置关系是　平行　. 页 学科网（北京）股份有限公司 $