第1章一元二次方程单元培优检测　2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程单元培优检测　2025-2026学年苏科版数学九年级上册 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2.一元二次方程，经过配方后的方程是(    ) A. B. C. D. 3.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.小影与小冬一起写作业，解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和原来的方程可以是(    ) A. B. C. D. 6.已知实数、满足，则的值为  (    ) A. B. C. 或 D. 或 7.一张矩形桌面的长是，宽是，现在要设计一块矩形桌布，面积是桌面的倍，且使四周垂下的边宽都是根据题意，得    ． A. B. C. D. 8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与主干上的支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若关于的方程有一个根是，则等于______． 10.如图，在长、宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为，则修建的道路的宽应为           11.若实数、满足，则的值是          ． 12.已知实数，满足，，且若，则代数式的最小值是          ． 13.如果，且，，那么的值是          ． 14.定义新运算“”如下：当时，；当时，若，则的值为          ． 15.已知关于的方程的两个根都是整数，则的值为          ． 16.对于实数，，我们用符号表示，两数中较大的数，如，若，则          ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程，其中为常数若该方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求实数的取值范围； 若，满足，求实数的值． 20.本小题分 在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程的解． 21.本小题分 已知关于的方程有两个实数根，． 求的取值范围； 求的最小值． 22.本小题分 年月日江苏省城市足球联赛被球迷称为“苏超”的足球联赛开幕某经销商销售以“苏超”为主题的恤衫，平均每天可售出件每件盈利元为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低元，平均每天可多售出件设每件恤衫降价元． 降价后每件恤衫的利润为______元，平均每天可售出______件用含的代数式表示； 若该经销商每天获得的利润为元，则每件恤衫应降价多少元？ 23.本小题分 如图，李伯伯想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，且用的是其他材料． 当矩形羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形羊圈？ 矩形羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24.本小题分 某越剧团准备在市歌舞剧院演出，该剧院能容纳人．经调研，如果票价定为元，那么门票可以全部售完．票价每涨价元，售出的门票就减少张．如果想获得元的门票收入，票价应定为多少元？ 25.本小题分 如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 26.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”例如，方程的两个根分别为和，则这个方程就是“三倍根方程”． 下列方程是“三倍根方程”的是          填序号． ； ； ． 若关于的方程是“三倍根方程”，则          ． 若关于的方程是“三倍根方程”，求代数式的值． 27.本小题分 某商店代销一种智能学习机，促销广告显示：“如果购买不超过台学习机，则每台售价元，如果超过台，则每超过台，每台售价将均减少元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示． 当时，用含的代数式表示每台学习机的售价． 当该商店一次性购进并销售学习机台时，每台学习机可以获利多少元？ 若该商店在一次销售中获利元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？ 28.本小题分 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则把称为该一元二次方程的“友好点”． 若方程为，则该方程的“友好点”的坐标为          ． 若关于的一元二次方程的“友好点”为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值． 是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的“友好点”始终在函数的图像上？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 1.【答案】  【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 先求出的值，再判断出其符号即可． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤． 3.【答案】  【解析】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元， 所以可列方程为． 故选：． 先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率，把相应数值代入即可求解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且． 为整数， 的最大值为． 故选：． 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】设这种植物每个主干长出个支干，则每个主干长出小分支数目为个，依题意，得，解得舍去，故选C． 9.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得． 故答案为． 把代入方程得，然后解关于的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】，．实数满足，．，，解得，把代入原方程，得，，． 12.【答案】  【解析】【点拨】，，，实数，满足，，且，，可看作关于的一元二次方程的两根，，当时，有最小值，最小值为． 13.【答案】  【解析】提示：由题意，得在等式两边同时除以，得因为，所以又因为，所以，是方程的两个不相等的实数根．所以． 14.【答案】或  【解析】当，即时，根据题意，得，解得，舍去；当，即时，根据题意，得，解得，舍去综上所述，的值为或． 15.【答案】或  【解析】解：设这两个根分别为，， ， ，， 则，即． ，都是整数，， 或 解得或 或． 16.【答案】或  【解析】若，则，当时，，，不符合题意；当时，，，符合题意．若，即，则，，当时，，，不符合题意；当时，，，符合题意．综上，或． 17.【答案】解：， ， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，．  【解析】先移项，再利用因式分解法求解即可； 先移项，再提取公因式即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 18.【答案】解：方程有实数根， ， 解得， 为正整数， ， 原方程为， ， ．  【解析】先根据根的判别式求解，再根据公式化求解即可． 本题考查根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】解：， 原方程有两个实数根， ， 解得：； 故原方程有两个实数根时，． 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，， 据题意可得， 解得， 则， ， 综上可知：的值为．  【解析】根据原方程有两个实数根，，可得，从而可得答案； 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再分两种情况讨论即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 20.【答案】解：， ． ．  【解析】此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号． 考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，解这类题应该严格按照题中给出的计算法则进行运算．易错点是要把小括号里算出的代数式看做是整体代入下一步骤中计算． 21.【答案】解：根据题意得， 解得； 根据题意得，， ， 而， 所以当时，的值最小，最小值为．  【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义和一次函数的性质． 利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可； 利用根与系数的关系得到，，则，然后根据的范围和一次函数的性质确定的最小值． 22.【答案】；．   每件商品应降价元．  【解析】依题意得：降价元后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为件． 故答案为：；． 依题意得：， 解得：，， 又要尽快减少库存、增加盈利， ． 答：每件商品应降价元． 利用每件衬衫的利润原利润每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后平均每天的销售量； 利用该经销商每天销售衬衫获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23.【答案】【小题】 设边，则边根据题意，得整理，得，解得，当时，；当时，答：当矩形羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的矩形羊圈  【小题】 不能理由：根据题意，令整理，得，一元二次方程没有实数根，矩形羊圈的面积不能达到．   【解析】 略  略 24.【答案】设票价定为元．根据题意，得解得，．不合题意，舍去．所以票价应定为元  【解析】略 25.【答案】【小题】 不存在理由：当点在上，即时，，，，正方形，，解得，，均不合题意，舍去．当点在上，即时，，，，解得不合题意，舍去不存在的值，使的面积为  【小题】 存在由题意，得，，，当时，由题意，得，，，，即，解得当时，在中，，在中，，，解得不合题意，舍去，存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或   【解析】 略  略 26.【答案】【小题】 【小题】   【小题】 解：设方程的两根分别为，根据根与系数的关系，得，，即，，所以．   【解析】 略   提示：设方程的两根为，，根据根与系数的关系，得，，解得，所以．  略 27.【答案】【小题】 由题意得，当时，每台学习机的售价为元 【小题】 设图中函数表达式为，把和分别代入得解得 所以函数表达式为当时，进货价为元，售价为元，则每台学习机可以获利元． 【小题】 当时，每台学习机的利润是元，则，解得，舍去当时，每台学习机的利润是元，则，解得，舍去答：该商店可能购进并销售学习机台或台．   【解析】 略  略  略 28.【答案】【小题】 【小题】 的解为，由题意，得，解得． 【小题】 存在． 因为，所以直线经过定点所以当方程的“友好点”为时符合题意，所以，．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $