精品解析：北京市第一0一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

北京一零一中2025—2026学年度上学期九年级开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与x轴交点的横坐标是（ ） A. 2， B. ，3 C. 2，3 D. ， 5. 若点，在抛物线上，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 二次函数与坐标轴的交点个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题共10小题． 11. 已知二次函数，请判断点是否在该二次函数的图象上．你的结论为________（填“是”或“否”）． 12. 二次函数的图象与轴的交点坐标为______． 13. 若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______． 14. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____． 15. 已知二次函数（是常数），则该函数图象的对称轴是直线________． 16. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是_______． 17. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）． 18. 已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为________． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点．若，则的取值范围是________． 20. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 已知二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象． 22. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米. （1）请写出活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围； （2）当为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 23. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷． （1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10 竖直距离y/m 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)． 24. 在平面直角坐标系中已知抛物线． （1）若此抛物线经过点，求的值； （2）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点和，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025—2026学年度上学期九年级开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 4. 抛物线与x轴交点的横坐标是（ ） A. 2， B. ，3 C. 2，3 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 5. 若点，在抛物线上，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值． 【详解】由函数可知对称轴是直线， 由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即 ， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键． 6. 二次函数与坐标轴的交点个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断． 【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0， ∴二次函数y＝x2＋2x＋2与x轴没有交点，与y轴有一个交点． ∴二次函数y＝x2＋2x＋2与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解． 【详解】解：设此函数解析式为：， 由题意得：在此函数解析式上， 则 即得， 那么． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题． 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【详解】∵和时的函数值都是相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴顶点坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键． 9. 已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，图形平移的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴为，可判定，根据两点之间的距离的计算方法可判定，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，图形平移的性质，图形结合分析是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作二次函数的图形及二次函数图象向上平移的图形如下， ∴二次函数图象的顶点坐标为，即对称轴为， ∴， ∴， ∵与是二次函数图象与轴交点之间的距离， ∴， 故选：A ． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 二、填空题共10小题． 11. 已知二次函数，请判断点是否在该二次函数的图象上．你的结论为________（填“是”或“否”）． 【答案】是 【解析】 【分析】把点A的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵当x=1时，y=﹣（﹣1）2=﹣1， ∴点在二次函数的图象上． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，属于基础题目，掌握解答的方法是关键． 12. 二次函数的图象与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得的值即可. 【详解】令，得， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键． 13. 若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点直接代入解析式即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点， ∴，解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 15. 已知二次函数（是常数），则该函数图象的对称轴是直线________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数解析式，可以计算出该函数的对称轴． 【详解】∵二次函数（a是常数）， ∴该函数的对称轴是直线x＝−＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案. 【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1）， ∵抛物线的开口向上， ∴该函数的最小值是：-1. 故答案是：-1. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键. 17. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号． 【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：， 对称轴在的右侧：，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 18. 已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点．若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数的解析式，先求出，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，由二次函数的性质可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，从而得出，画出函数图象，结合图象可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点， ∴， 在中，令，则， 画出图形如图所示： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③． 【详解】解：∵， ∴点A的对应方程为， 解得，， ∴点A的对应方程有两个不相等的实数根，故①错误； 若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵m、n均为整数， ∴当时，，符合条件， 当时，，符合条件， ∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 已知二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象． 【答案】（1）； （2）描点画图： 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）列表，描点连线画出函数图象即可． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得， ∴． （2）列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 -1 0 3 … 描点画图： 【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟知二元一次方程组的求解方法． 22. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米. （1）请写出活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围； （2）当为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）（2）800 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由矩形的面积公式即可得出结论； （2）求出对称轴，进而得到二次函数的最值． 【详解】：解：（1）根据题意得：，， ∴． 又∵，， 解得， ∴； （2）∵， ∴当时，． 答：当时，活动区的面积最大，活动区的面积最大为800平方米． 23. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷． （1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10 竖直距离y/m 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)． 【答案】（1）， （2）＞ 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式； （2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， 所以实心球竖直高度的最大值为， 设抛物线的解析式为：， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：第一次抛物线解析式为， 令，得到，（负值舍去）， 第二次抛物线的解析式为， 令，得到，（负值舍去） ， ， 故答案为：> 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 24. 在平面直角坐标系中已知抛物线． （1）若此抛物线经过点，求的值； （2）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点和，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 或． 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线的解析式即可求解； （2）抛物线解析式化成顶点式即可求得； （3）根据题意A和B是抛物线与直线的交点坐标，解析式联立消去得到关于的一元二次方程，根据根与系数的关系即可求得． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）∵点 A和B， ∴点A和B在直线上， 由，消去得， 整理得， ∴，即， ∴或， 解得或， 由可知， ∴、同号， ∵，， ∴当时，， ∴，解得， 当时，， ∴，解得 综上，的取值范围为或 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，以及一元二次方程的根与系数的关系，明确A，和B是抛物线与直线 的交点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $