山东省济南市2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题

2025-2026学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知向量，，满足与垂直，则实数λ的值为（ ） A. B. C. D. 3.记为等差数列的前n项和．若，则（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 4.已知集合，，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，C的渐近线上一点A满足，且，则C的离心率为（ ） A. B. C.2 D. 6.的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知函数，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.如图所示的六面体ABCDE中，平面平面AED，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设z是复数，则（ ） A. B. C. D. 10.已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 11.已知平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，满足，点P满足，记P的轨迹为E，则（ ） A. B.E的方程为 C.当直线AB与E相切时， D.存在线段AB，使得内心在E外部 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若一组样本数据，，…，的平均数为8，则数据，，，，…，，的平均数为______． 13.在四棱台中，，设四棱台的体积为V，三棱锥的体积为，则______． 14.已知函数，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知正项数列的前n项积为，且满足． （1）求证：数列为等差数列； （2）令，求数列的前n项和． 16.（本小题满分15分） 有四个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这些小球随机排成一列． （1）求标有数字2和4的小球不相邻的概率； （2）一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”．设X表示排列中“友好球”的组数，求X的分布列和数学期望． 17.（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，． （1）证明：； （2）若直线PB与直线PD所成角的余弦值为，且，求直线CD与平面PBC所成角的余弦值． 18.（本小题满分17分） 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）若函数有两个不同的极值点，，其中． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：． 19.（本小题满分17分） 已知抛物线Γ：的焦点为F，是Γ上第一象限内的点，且到F距离与到的距离相等．过作Γ的切线交y轴于点M． （1）求Γ的标准方程； （2）求证：； （3）记关于x轴的对称点为，关于x轴的对称直线为，为Γ上第四象限的点（与不重合），过做Γ的切线，分别交，于P，Q两点，若直线FQ的斜率为，直线FM的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值若不为定值，请说明理由． 2025年9月济南市高三模拟考试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C A B B C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.14 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.【解析】（1）当时，，所以， 当时，，所以． 所以，是以3为首项，以2为公差的等差数列． （2）由（1）知，， 所以． ． 16.【解析】 （1）设“标有数字2和4的小球不相邻”． 四个小球随机排列总数， “标有数字2和4的小球不相邻”， ． （2）由题意，，1，2. ；；； X 0 1 2 P ． 17.【解析】 （1）连接BD交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，所以． 又因为，所以， 因为，所以面PBD， 又因为面PBD，所以． （2）以O为原点，建系如图． 所以，，，， 由（1）得，设，因为，所以，所以， 因为，， 所以，所以， 因为，所以，则，所以． 因为，，设面PBC的法向量为， 所以，令，所以． 因为，则， 所以CD与平面PBC所成角的余弦值为． 18.【解析】 （1）由题意，令，，令，解得． ，的变化情况如下表所示． x 0 － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以， ①当时，，，此时无极值点； ②当时，，时，，，所以在上存在唯一的零点， 时，，，所以在上存在唯一的零点． （或者取点：，使得，，所以在上存在唯一的零点；，使得，，所以在上存在唯一的零点．） 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 所以有两个极值点． 综上所述，当时，无极值点；当时有两个极值点． （2）（ⅰ）证明：令，， ， 所以在上单调递增， 所以，即当时，有． 令，即得，又因为，所以，又因为在上单调递减，且有，，所以，即得． 由（1）知， 要证：， 只需证：，因为在上单调递减， 即证：，因为， 即证：， 令，， ， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，有． 令，即得，得证． （ⅱ）证明：令，， ， 令，则，所以在上单调递增， 所以，从而在上单调递增， 所以． 令，即得。 由可得，，再由在上单调递减可得， 所以． 19.【解析】 （1）由题意得抛物线的准线为，故． 从而抛物线的标准方程为． （2）设，由于在第一象限，估斜率存在．设直线的方程为． 联立与抛物线方程 得，令得． 即直线的方程为， 令得， 由题意知，故，， 考虑到在抛物线上，故有，代入得．故． （3）设，，同（2）有：，：， 联立与， 解得，， 同理 故．设直线与y轴交于N，则P，Q关于点N对称，即． 类似于（1），可得FN垂直于，故． 延长QF交y轴于B，则， 故．从而B与M重合，即M，F，Q共线． 进而，注意到，故． 学科网（北京）股份有限公司 $