第22章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线与轴的交点个数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 2.抛物线的对称轴是(    ) A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 3.对于二次函数，下列说法错误的是  (    ) A. 最小值为 B. 图象与轴没有公共点 C. 当时，随的增大而减小 D. 其图象的对称轴是轴 4.已知点，，在抛物线上，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是  (    ) A. B. C. D. 6.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 7.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.已知二次函数的最小值为，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为(    ) A. B. C. D. 10.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为  (    )  A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知函数，当          时，随的增大而增大． 12.抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是______． 13.二次函数，当时，随的增大而          填“增大”或“减小” 14.若抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是          ． 15.矩形的周长为，则该矩形的面积与矩形的宽之间的函数关系式为          ． 16.对于二次函数，当时，的取值范围是          ． 17.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：比较，，，的大小，用“”连接为          ． 18.已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知抛物线． 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 取何值时，随的增大而增大取何值时，随的增大而减小 20.本小题分 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． 求两个函数的解析式 求的面积． 21.本小题分 如图，抛物线与直线相交于点和点． 求和的值． 求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 22.本小题分 某农户种植有如图所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是米，到地面的高度是米．现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．若保温墙到点的距离米，请你求出保温墙的高度． 23.本小题分 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是． 函数；；中，是有上界函数的为          填序号，请挑选其中的任意一个有上界函数并求出其上确界． 如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 24.本小题分 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． 求点的坐标； 求二次函数的解析式； 已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 抛物线与轴交点的个数是， 故选：． 2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性即可解答关键是确定抛物线的对称轴，根据点到对称轴的距离的大小即可解答． 【解答】 解：抛物线开口向下，对称轴是直线， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小， 取时所对应的点离对称轴最远，取时所对应的点离对称轴最近， ． 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  【解析】解：二次函数的图象经过点，， 关于的方程的根为，． 故选：． 8.【答案】  9.【答案】  【解析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设， 点，关于轴对称， ， 过点作轴垂线交抛物线于，则，过点作轴垂线交抛物线于，则． ，， ，， 四边形周长， ， 二次项系数，开口向下，对称轴为直线。 当时，． 故选：． 10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：由图表可知，横坐标和对应的纵坐标均为， 则抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点的坐标是， 抛物线与轴的另一个交点的横坐标为， 则抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 根据表格找出抛物线对称轴，然后结合抛物线与轴的一个交点的坐标是，计算出抛物线与轴的另一个交点坐标． 本题考查了抛物线的对称性，根据表格判断出抛物线的对称轴是解题关键． 13.【答案】减小  【解析】解：在平面直角坐标系中画出二次函数的图象如下： 抛物线的对称轴为直线，由图象可以看出： 当时，即在对称轴的左侧，随的增大而减小， 故答案为：减小． 利用二次函数的解析式画出图象，根据图象解答即可． 本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答即可． 14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】  17.【答案】  18.【答案】或  【解析】本题主要考查二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【详解】解：， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又抛物线过， 对称轴是直线， 又，且抛物线过， ，  ， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 无解． 综上所述，或． 故答案为：或． 19.【答案】解：，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小．   【解析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其对称轴为，顶点坐标为． 把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴； 依据开口方向及对称轴，结合抛物线增减性可求得答案． 20.【答案】【小题】 二次函数的解析式为 一次函数的解析式为 【小题】   21.【答案】【小题】 解：将点代入，得， 解得． 将点代入，得， 解得． 【小题】 由得，直线和抛物线的解析式分别为，， 联立 解得或 点的坐标为． 由图象可知，不等式的解集为或． 【小题】 或． 22.【答案】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． 将点代入抛物线解析式，得，解得． 抛物线的解析式为． 当时，． 答：保温墙的高度是米．  23.【答案】【小题】 解：选，在中，，随的增大而减小．当时，取最大值，为，即函数的上确界为选，，当时，取最大值，为，即函数的上确界为． 【小题】 函数是以为上确界的有上界函数，当时，函数的最大值为函数的对称轴为直线，若，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，且，即时，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，即时，则当时，函数取最大值，，解得综上所述，的值为．   24.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 抛物线的对称轴为直线， ，解得， 将代入， 得，解得， 则二次函数的解析式为； 设直线的解析式为，将，代入 得 ， ， 即直线的解析式为； 设点坐标为， 则点坐标为， ， 当 时，有最大值．  【解析】利用抛物线的对称性求出点的坐标； 利用待定系数法求出抛物线解析式； 先求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而表示出的坐标，得出，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，建立与点的横坐标之间的函数关系式是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $