精品解析：湖南省永州市宁远县第三中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远三中高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据求得众数、极差、均值、中位数后判断. 【详解】由题意得众数为，极差，均值，中位数，故D正确. 故选：D. 2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A 4. 双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程. 【详解】由焦距为4可得，即，又， 所以，可得，即； 则的渐近线方程为. 故选：B 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较厚得到答案. 【详解】由于， 故，，……，，， A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，故A错误； B选项，原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故B错误； C选项，原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故C正确； D选项，，从小到大排列，选第个数作为第百分位数，即， ，故从小到大排列，选择第个和第个数作为第百分位数，即， 由于，去掉后第25百分位数变大，故D错误. 故选：C 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为. 直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为， 由解得，或 所以，或，. 不妨设，，又， 所以，. 在△AMN中，， 由余弦定理得， 即， 则，所以，则， 所以. 故选C. 7. 甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解. 【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”， 事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”， 事件为“此人患了流感”． 由题可知，，，， ， 由条件概率公式可得， ，， 由题意可得，即，解得， 故选：D. 8. 已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，得到，在与中,结合和余弦定理，列出方程得到，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，可得， 由，可得，所以，则， 可得， 则， 在与中, 由余弦定理可得：， 因为，所以， 即，解得，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D. 事件互为对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，甲机构测评分数的平均分， 乙机构测评分数的平均分，所以选项A错误， 对于选项B，甲机构测评分数的方差， ，所以选项B正确， 对于选项C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95， 又，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C错误， 对于选项D，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件互为对立事件，所以选项D正确， 故选：BD. 10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义判断A；根据条件概率公式求出的值，判断B；根据对立事件的概率计算，判断C；根据并事件的概率计算，判断D. 【详解】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误； 对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个， 故，, 则，，即，B正确， 对于C，，C正确； 对于D，，D错误， 故选：BC 11. 棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面基本性质作出任意一个过的平面截正方体所得的截面，即可判断A；由正方体结构特征，讨论为各线段上的中点及从中点向线段两端运动时截面面积的变化情况确定截面面积的范围判断B；令交于，交于，交于，结合平面基本性质找到四棱锥与四棱锥的公共部分，并应用棱锥的体积公式求其体积判断C、D. 【详解】连接与线段上任意一点，过作交于， 所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对； 由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形， 若为各线段上的中点时，四边形为菱形， 此时截面最小面积为； 根据正方体的对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大， 当与重合时，截面最大面积为； 综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对； 令交于，交于，交于， 显然是各交线的中点，若是中点，连接， 所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错； 其体积，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于A、B，应用平面基本性质作出截面，结合正方体结构特征判断；对于C、D，将棱锥各侧棱连接，由平面基本性质判断相交平面，进而确定公共部分的几何特征. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的图象在处的切线与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值. 【详解】函数的图象在处的切线的切点为， 因为，所以切线斜率为，切线方程为，即， 设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为， 切线方程为，即， 由题，解得，，斜率为. 故答案为：. 13. 已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角定义可得，求出的外接圆圆心和半径，找出外接球球心位置，利用勾股定理计算出三棱锥外接球的半径，可求出其表面积. 【详解】在三棱锥中，平面， 所以即为二面角的平面角， 由二面角为，可知； 又，所以是边长为4的正三角形， 令其外接圆圆心为，则， 令三棱锥外接球的球心为，球半径为，如下图所示： 则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上， 令线段的中垂面交于， 则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形， 而，因此， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 14. 已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则， 点到的两条浙近线的距离之积为， 解得：，故双曲线方程为：， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 如图，在中，AD平分，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）在和中用正弦定理得，和作比即可得解； （2）由正弦定理可得，再求得，从而可得，最后由面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 在中，. 因为AD平分，且， 所以. （2）由正弦定理及（1）可知. 因为，，所以， . 因为 ， 所以. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 16. 如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因为，，所以. 因为为正方形，所以， 又因为，所以. 因为，所以. 因为，故，而为线段的中点， 所以， 又因为，所以. 而，故； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，证明，得到，从而得证. （2）以为原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系, 设正方形的边长为2，求出平面的法向量和，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案. 【详解】（1）略； （2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，， ∴，， 设为平面的法向量，则 所以取，则，而， 故直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查利用空间向量的方法求线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题 17. 已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线的标准方程； （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程； （2）设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，再由得，即可得到结论． 【详解】（1）设，两点的坐标分别为，， 则，，两式相减得. 即， 又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴. 即抛物线的标准方程为. （2）设直线：与抛物线：交于点，， 则， ，∴， ∴，， 由得，即，， 直线为，∴过定点. 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18. 高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，利用独立重复实验求解. （2）易得落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3，再根据（1）的结果，分别求得相应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 记“小球落入4号容器”为事件， 若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左， ∴理论上，小球落入4号容器的概率. 【小问2详解】 落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 19. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由题知，，进而解方程即可得答案； （2）方法一：，再分和两种情况讨论求解即可得答案. 方法二：求导得，再讨论的符号进而求解. 【小问1详解】 ， ∵曲线在处的切线与直线平行， ∴，即，故； 【小问2详解】 函数的定义域为. 当时，恒成立， 故在上单调递增； 当时，，令，得. ∵，∴方程有两不等实根. ∵，，∴. 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 方法二：（常规方法）：讨论的符号. 当，即时，恒成立，则，在上递增； 当，即或时，方程有两不等实根. （i）当时，由知，则恒成立，故在上递增； （ii）当时，由知， 令，得或；令，得. 故在、上递增，在上递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论思想，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于，进而分和两种情况讨论求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期宁远三中高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D. 事件互为对立事件 10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 11. 棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ） A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体 D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的图象在处的切线与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________. 13. 已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________． 14. 已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 如图，在中，AD平分，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 16. 如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线的标准方程； （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 18. 高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 19. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $