精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学

河南省2024-2025学年下学期期末检测试题 八年级数学 本试卷共三大题，满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解决本题的关键是根据运算法则计算出正确结果，根据正确结果判断正误即可． 【详解】解：A选项：根据完全平方公式，可得：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：D． 2. 下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、C两项根据勾股定理的逆定理进行判断，B项根据三角形内角和定理进行判断，D项根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状. 【详解】解：A项，因为，符合勾股定理的逆定理，正确； B项，因为，，所以，所以△ABC为直角三角形，正确； C项，因为，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，所以△ABC为直角三角形，正确； D项，因为，可设，所以，解得，，故此三角形是锐角三角形，错误； 故选D. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和并结合方程思想是解题的关键. 3. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 4. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 5. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 6. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 81，83 B. 81，81.5 C. 81.5，81 D. 81，83.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：80，81，81，82，83，84， 最中间的两个数据为：81，82，则中位数为：， 出现次数最多的为：81，则众数为：， 故选：B． 7. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 8. 如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 解：根据勾股定理，得 AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25， 根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD． 故选B． 点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理． 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点作轴，根据题意得：，轴，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴， 根据题意得：，轴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：D 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 冷冻一个的物体，使它每分钟下降，物体的温度T（单位：）随冷冻时间t（单位：）的函数关系式是，当时，______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的值，理解函数关系式是解题的关键．代入到函数关系式，即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：5． 12. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 13. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 【答案】87分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提． 按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小云这学期的体育综合成绩是（分）， 故答案为：87分． 14. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 15. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，证明四边形是矩形，得出，，由直角三角形的性质可得，当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小．根据垂线段最短，即当时，值最小，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时，值最小 此时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则及运算顺序，先计算除法，再由减法运算求解即可得到答案； （2）先利用平方差公式计算，再由二次根式性质化简，结合二次根式乘法运算计算，最后利用减法运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式混合运算及平方差公式等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键． 17. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】1080元 【解析】 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积，进而可得出需要的费用． 【详解】解：连接AC， 则由勾股定理得AC==5m， ∴AC2+DC2= ， 又∵AD2= =169， ∴AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD= . 故需要的费用为36×30=1080元． 答：铺满这块空地共需花费1080元． 【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积，难度一般． 18. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，正确地求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由，则，所以，从而求出，然后分别代入即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 19. 5月12日是全国防灾减灾日，为加深学生对防灾避险知识的印象，实验中学组织八、九年级学生开展了一次“防灾减灾知识竞赛（满分10分，成绩均为整数）.竞赛结束后，王老师发现参赛学生的成绩均高于6分，然后从这两个年级的参赛学生中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计图 信息二：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 9 九年级 9 9 1.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，并把八年级抽取的学生竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为这两个年级中，哪个年级学生的成绩更稳定？并说明理由； （3）若该校八、九年级各有200人参加本次知识竞赛，请你估计该校八、九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩不低于9分的共有多少人? 【答案】（1） ，，补充统计图如下： （2） 解：八年级的成绩更稳定，理由如下： ∵， ∴八年级的成绩更稳定； （3）人 【解析】 【分析】题目主要考查求中位数和众数、用样本估计总体、利用方差判断稳定性，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出八年级得9分的人数为：，然后根据中位数和众数的定义求解即可，补全统计图即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）利用样本所占比例估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，八年级得9分的人数为：， ∵， ∴第10、11位学生的成绩均为9分， ∴中位数， 九年级成绩中得10分的人数占比最多， ∴众数， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）（1）根据题意结合角平分线定义，平行线性质推出，进而得到，再结合，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定定理证明，即可解题； （2）利用直角三角形性质和菱形性质推出，进而得到，根据菱形性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积为，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线，交于点O， ，， ，， ，即有， ， ， ， 菱形的面积为， ， 解得． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 21. “滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售量（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元． ①求与的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件 （2）①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，根据题意即可确定与的函数关系式；②首先确定的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案． 【小问1详解】 解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件， 根据题意，列得方程组， 解得， 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件； 【小问2详解】 ①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个， 根据题意得：， 所以与的函数关系式； ②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍， ，解得：， 由①知，为正整数， 随的增大而减小， 当取最小值67时，有最大值，最大值为2330， 此时，， 所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元． 22. 定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． （2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【小问1详解】 解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 23. 课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图①，在正方形和正方形中，点在上，，是与的交点，那么的长是多少？解：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图②．由题意可知点的坐标为，点的坐标为，则直线的解析式为______；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为______；进而求得的长为______． （2）解决问题：如图③，在正方形中，对角线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，作，且，连接，点为的中点．连接，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平面直角坐标系特点可得点的坐标为，点的坐标为，运用待定系数法可求出解析式，当时，可得，在中，运用勾股定理可得的值； （2）如图所示，以点为坐标原点，以过点，平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作延长线于点，设正方形的边长为，可得，运用待定系数法可求出直线的解析式，当时，求出点的坐标，根据两点之间距离公式可得，根据题意可证，可得点的坐标，由此可得，求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为, ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图所示，以点为坐标原点，以过点，平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作延长线于点，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是OD的中点， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，且， ∵点为的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平面直角坐标系的特点，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，两点之间距离公式的计算，中点坐标的计算方法等知识的综合，掌握正方形的性质，平面直角坐标系的特点，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2024-2025学年下学期期末检测试题 八年级数学 本试卷共三大题，满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 4. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 81，83 B. 81，81.5 C. 81.5，81 D. 81，83.5 7. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 冷冻一个的物体，使它每分钟下降，物体的温度T（单位：）随冷冻时间t（单位：）的函数关系式是，当时，______． 12. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 13. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 14. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______． 15. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 18. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 19. 5月12日是全国防灾减灾日，为加深学生对防灾避险知识的印象，实验中学组织八、九年级学生开展了一次“防灾减灾知识竞赛（满分10分，成绩均为整数）.竞赛结束后，王老师发现参赛学生的成绩均高于6分，然后从这两个年级的参赛学生中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计图 信息二：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 9 九年级 9 9 1.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，并把八年级抽取的学生竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为这两个年级中，哪个年级学生的成绩更稳定？并说明理由； （3）若该校八、九年级各有200人参加本次知识竞赛，请你估计该校八、九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩不低于9分的共有多少人? 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. “滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售量（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元． ①求与的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 22. 定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． （2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 23. 课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图①，在正方形和正方形中，点在上，，是与的交点，那么的长是多少？解：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图②．由题意可知点的坐标为，点的坐标为，则直线的解析式为______；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为______；进而求得的长为______． （2）解决问题：如图③，在正方形中，对角线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，作，且，连接，点为的中点．连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $