精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025~2026学年度上学期高二年级数学第一次月考试卷 总分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A B. 1 C. D. 2 5. 已知，则的大小关系是 A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10. 已知，是复数，则下列命题错误是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 第Ⅱ卷（非选择题．共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量夹角为，则__________. 13. 若，则________． 14. 文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________米． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的值． 16. 设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. （1）求的单调区间； （2）求不等式的解集. 17. 已知函数，将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，最后再将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）已知，若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若是的角平分线，且，，求线段的长； （3）若，判断的形状． 19. 在锐角中，是角对边，若满足. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高二年级数学第一次月考试卷 总分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 分析】由复数除法可得，据此可得答案. 【详解】因为， 所以，则其对应坐标，在第一象限. 故选：A 2. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【详解】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 4. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 故选：A. 5. 已知，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式可知，根据特殊角的三角函数值比较大小即可. 【详解】根据诱导公式，化简可得 ， 所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于中档题. 6. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 7. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给公式及两角差的正弦公式化简函数，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 将其图象向左平移个单位长度得到， 又的图象关于轴对称，即为偶函数， 因此，所以， 所以当时，的最小值是. 故选：C 8. 某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果. 【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为， 由勾股定理可得 ， 因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1， 所以，轴截面三角形面积为， 解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线， 三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为， 设外接球半径为，则， 根据球表面积公式，可得. 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，根据角度和弧度的转换关系可得；C选项，为第三或第四象限角；D选项，先得到，，从而得到，，分为偶数和奇数两种情况，得到答案. 【详解】A选项，，满足是第一象限角，但不是锐角，A错误； B选项，，B正确； C选项，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，C错误； D选项，若为第二象限角，则，， 所以，， 若，，则，， 为第一象限角； 若，，则， 为第三象限角； 综上，为第一象限或第三象限角，D正确. 故选：BD 10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数相等的定义，以及复数模的计算公式，可得判定A正确；根据特例法，可判定B、C、D均错误，即可得到答案. 【详解】对于A中，设复数， 若，即，可得，即且， 由，所以，所以A正确； 对于B中，若，此时， 但复数和不能比较大小，所以B错误； 对于C中，如，可得，此时，所以C错误； 对于D中，若，可得，此时满足， 但且，所以D错误. 故选：BCD. 11. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题．共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再代入，即可得答案. 【详解】解：因为. . 故答案为： 14. 文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________米． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求得． 【详解】在中，，， 由正弦定理，得 所以 在中， 所以塔高AB为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【小问1详解】 由题意：， 所以. 【小问2详解】 16. 设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. （1）求的单调区间； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）单调递增区间：，，无递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式. 【小问1详解】 由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan. 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． 【小问2详解】 由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤， 得Z，即Z 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 17. 已知函数，将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，最后再将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）已知，若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式. （2）由（1）求出的解析式，分析函数在的性质，作出图象，借助图象求出a的范围. 【小问1详解】 将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得函数的图象， 最后将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 由，得，由，得， 因此函数在上递增，函数值从增大到，在上递减，函数值从减小到， 函数在上的图象，如图， 当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 所以方程在区间上恰有两个实数根，实数a的取值范围是. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若是的角平分线，且，，求线段的长； （3）若，判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）直角三角形 【解析】 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【小问1详解】 由，可得， 即，即，因为，所以； 【小问2详解】 因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． 【小问3详解】 法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 19. 在锐角中，是角的对边，若满足. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）利用三角恒等变换可得，结合角A的取值范围以及正弦函数有界性分析求解； （3）分析可知为等边三角形，令，利用正、余弦定理可得，，结合面积公式运算求解即可. 【小问1详解】 由，由正弦定理可得， 因为，则， 可得，即， 又因为，则，可得，即， 且，所以 【小问2详解】 在锐角中，由（1）得，则， 可得，解得， 可得 ， 由，得， 则，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当取得最大值时，，即， 且，可知为等边三角形， 在中，令， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则， 所以， 所以 ， 且，故当时等号成立，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $