第1章 特殊的平行四边形 同步自主达标练习题　2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章 特殊的平行四边形 同步自主达标练习题 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．平行四边形的对边平行且相等 C．菱形的对角线相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．在四边形ABCD中AB、CD相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形 B．AO＝CO，BO＝DO且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 C．AO＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是矩形 D．∠A＝∠B＝∠C＝∠D且AB＝BC，则四边形ABCD是正方形 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，则BD长为（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 4．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若△APB是等边三角形，则∠BPC的度数为（　　） A．30° B．60° C．75° D．90° 5．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　） A． B．5 C． D．6 6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得BD＝16cm，AC＝12cm，则该菱形的面积为（　　） A．192cm2 B．96cm2 C．64cm2 D．48cm2 7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若BD＝6，OF，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 9．如图，在四边形ABCD中，E，G分别是对角线AC，BD的中点，F，H分别是边BC，AD的中点，依次连接E，F，G，H得到四边形EFGH．要使四边形EFGH为菱形，那么应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AC⊥BD 10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB.其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为 　 　 ． 12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝　 　 ． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ 　 　 ． 14．已知组成网格的小正方形的面积是1，则正方形ACDE的面积S1＝ 　 　 正方形BCFG的面积S2＝ 　 　 ，正方形ABHI的面积S3＝ 　 　 ，由此发现S1、S2、S3三者关系是 　 　 ． 15．如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为 　 　 ． 16．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 　 　 ． 三．解答题 17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝8，DF＝4，求菱形ABCD的面积． 18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：OA＝OC； （2）若∠ABO＝∠ACE，求证：四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，若菱形ABCD的面积为40，BD＝8，求OE的长． 19．已知：如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，连接BE，DE． （1）求证：BE＝DE； （2）若BE⊥DE，∠BAD＝60°，AB＝4，求CE的长． 20．下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点． 求证：CDAB 方法一 证明：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE． 方法二 证明：如图，取BC的中点E，连接DE． 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作DF⊥x轴交x轴于点F，交对角线AC于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）判断∠EBC、∠FBC的数量关系，并说明理由； （3）若点A，B坐标分别为（0，12）、（5，0），则△BEF的周长为 　 　 ． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，F是AD的中点，FE⊥AB于点E，OG⊥AB于点G． （1）求证：四边形OGEF是矩形； （2）若BC＝10，矩形OGEF的面积为24，求菱形ABCD的面积． 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝5，CE＝2，求OE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A B D D A C 二．填空题 11．3.75． 12．． 13．． 14．9；16；25；S1+S2＝S3． 15．． 16．． 三．解答题 17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD∥EF， ∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC，即EF＝BC， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：由（1）四边形AEFD是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴∠F＝90°，BC＝DC， 设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x， 在Rt△DCF中，CD2﹣CF2＝DF2， ∴x2﹣（8﹣x）2＝42，解得x＝5， ∴BC＝5， ∵四边形AEFD是矩形， ∴AE＝DF＝4， ∴S菱形ABCD＝BC•AE＝5×4＝20． 18．（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC； （2）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠ABO＝∠ACE， ∴∠CAE+∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形； （3）解：由（2）可知，四边形ABCD是菱形， ∴S菱形ABCDAC•BD＝40， ∴AC＝10， ∵OA＝OC，∠CEA＝90°， ∴OEAC＝5． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE， ∵CE＝CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）解：如图2，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4， ∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝ODBD，AC⊥BD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4，OB＝OD＝2，OC＝OA2， ∵BE⊥DE， ∴OE＝OB＝OD＝2， ∴CE＝OC﹣OE＝22． 20．解：方法一：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE是矩形， ∴AB＝CE， ∵CD＝DECE， ∴CDAB； 方法二：如图，取BC的中点E，连接DE， ∵点D是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB＝∠ACB＝90°， ∴DE是BC的垂直平分线， ∴CD＝DB， ∵AD＝BDAB， ∴CDAB． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE， 在△ADE与△ABE中， ， ∴△ADE≌△ABE（SAS） ∴BE＝DE； （2）解：∠EBC＝∠FBC，理由如下： 如图所示，设BC，DF交于点H， ∵DF⊥x轴，∠DCH＝90° ∴∠HFB＝∠DCH， 又∵∠DHC＝∠BHF， ∴∠CBF＝∠CDF， ∵△ADE≌△ABE ∴∠ADE＝∠ABE， 又∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADC﹣∠ADE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠EBC＝∠EDC， ∴∠EBC＝∠FBC； （3）解：如图所示，过点D作DG⊥y轴于点G， 则四边形OGDF是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∵∠DGA＝∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝90°﹣∠GAD＝∠ADG， ∴△BAO≌△ADG（AAS）， ∴GD＝AO，AG＝OB， ∵点A，B坐标分别为（0，12）、（5，0）， ∴OA＝GD＝12，AG＝OB＝5， ∴DF＝OG＝12+5＝17，BF＝OF﹣BO＝GD﹣OB＝12﹣5＝7， ∵BE＝DE， ∴△BEF的周长为BE+EF+BF＝DE+EF+BF＝DF+BF＝17+7＝24． 故答案为：24． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵F是AD的中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴OF∥AB， ∵FE⊥AB，OG⊥AB， ∴OG∥EF， ∴四边形OGEF是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠FEG＝90°， ∴平行四边形OGEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BC＝10， ∴AB＝AD＝BC＝10，∠AOD＝∠AOB＝90°， ∴OFAD＝5， ∵矩形OGEF的面积为24， ∴OG， ∴△ABO的面积AB•OG＝24， ∴菱形ABCD的面积＝4×△ABO的面积＝96． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5， ∴AD＝AB＝BC＝5， ∵EC＝2， ∴BE＝5﹣2＝3， 在Rt△ABE中，， ∴DF＝AE＝4， 在Rt△AEC中，AC2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 22:16:29；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $