专题04 特殊的平行四边形压轴题（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题04特殊的平行四边形压轴题 1．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，矩形中，E，F在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． (1)求证：； (2)若P为中点，且，，求长； (3)连接，若P为中点，H为中点，探究与大小关系并说明理由． 2．(24-25九上·山东济南槐荫区·期中)    【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·山东烟台莱州·期中)如图（1），在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． (1)求关于的函数解析式； (2)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值； 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 0 1.5 2.2 2.5 2.6 2.4 2 1.6 1.3 0.9 0 通过计算可知，表格中的值为______；（结果保留根号） (3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，在同一坐标系中，画出与的函数图象； (4)结合函数图象解决问题：当时，______cm． 4．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 5．(24-25九上·山东烟台招远·期中)阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 6．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 7．(24-25九上·山东青岛·期中)如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 8．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 9．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．(24-25九上·山东日照岚山区·期中)如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 11．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 13．(23-24九上·山东日照东港区日照港中学·期中)已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．    (1)如图1，判断和的数量关系并证明； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 14．(23-24九上·山东青岛北区·期中)【发现与思考】 如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，． （1）直接写出线段、的长度：　　，　　； （2）直接写出线段与的比值：　　； 【方法与探究】 如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由； 【拓展与应用】 如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度：　　． 15．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 16．(23-24九上·山东青岛南区·期中)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，则折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，四边形中，，，，，点、分别在边、上，则的值为______. 17．(23-24九上·山东济南历下区·期中)【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04特殊的平行四边形压轴题 1．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，矩形中，E，F在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． (1)求证：； (2)若P为中点，且，，求长； (3)连接，若P为中点，H为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，见解析． 【分析】（1）根据矩形得到，结合直角三角形两锐角互余得到，即可得到证明； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点M，连接，先证明，得到相等的边，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵P为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图，延长，交于一点M，连接， ∵E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(24-25九上·山东济南槐荫区·期中)    【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称．欧几里得定理．：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在中，，垂足为，则：①，②，③；请你证明定理中的结论③． 【结论运用】 （2）如图2，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：； ②若，求的长． （3）如图3，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点是上一动点，过点作，垂足为，连接，取的中点，连接，当点在上运动时，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）①证明见解答；②的长为；（3）存在最小值，的最小值为 【分析】（1）由于点，得，而，所以，因为，所以，则，即可证明； （2）①由正方形的性质得，则，而，则，所以，推导出，再证明，得，则，所以，变形为，因为，所以； ②由，，得，则，而，则，所以，由相似三角形的性质得，则； （3）取的中点，连接、、，由正方形的性质得，，而，则，求得，由，得，由点为的中点，点为的中点，得，所以，则，所以存在最小值，的最小值为． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ， ， ， ． （2）①证明：四边形是正方形，对角线、交于点， ， ， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：正方形的边长为6， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． （3）解：存在最小值，的最小值为， 理由：如图3，取的中点，连接、、，   正方形的边长为6，对角线、交于点， ，，， 于点， ， ， ， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， ， 存在最小值，的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．(24-25九上·山东烟台莱州·期中)如图（1），在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． (1)求关于的函数解析式； (2)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值； 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 0 1.5 2.2 2.5 2.6 2.4 2 1.6 1.3 0.9 0 通过计算可知，表格中的值为______；（结果保留根号） (3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，在同一坐标系中，画出与的函数图象； (4)结合函数图象解决问题：当时，______cm． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)（答案不唯一，两图象交点纵坐标的大约数值）或0或6． 【分析】（1）证明，得出，代入数据即可得出答案； （2）由题意可知当时，点P在的中点，即和均为腰长为的等腰直角三角形．在中，过点E作于点H，易证，得出．设，则，，从而由可求出x的值，最后结合勾股定理即可求解； （3）根据（2）中表格里的数据描点、连线即可； （4）由图象求出两个函数图象相交时，x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：当时，点P在的中点，则． ∵， ∴和均为腰长为的等腰直角三角形， ∴． 在中，过点E作于点H，如图 ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得：， ∴，即的值为； （3）解：根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与之间的函数关系图如图3， （4）解：根据图象可得，当时，即两个函数图象相交时， ∴或或， ∴或或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．理解题意，求出函数解析式是解题的关键． 4．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值； （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值； （4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； （4）解：如图，连接、， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 5．(24-25九上·山东烟台招远·期中)阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出； （2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长与相交于点， ∵，， ∴．， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长与相交于点． ∵， ∴， ∴，． 设，则，，． 在中，． ∵， ∴，即， ∴． 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)6 【分析】（1）根据矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比列方程求解即可； （2）设，证明，求出与的比即可判断； （3）设，则，设，则．连接，由折叠的性质可得：，，由四边形的周长为3，得，进而可得．证明，即可求得矩形的周长。 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 设，则． ∵矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比， ∴， 解得： （负数不合题意，舍去）， ， ． ∴黄金矩形的宽与长的比； （2）证明：设， ∵四边形为黄金矩形， ， ∵四边形为正方形， ， ． ， ， ∴， ∴， ， ， ∴． 即矩形的宽与长的比等于黄金比， ∴矩形也是黄金矩形； （3）解：矩形的周长为6． 理由： ∵四边形为正方形，， ，， ， ∴四边形为矩形， ，． 设，则，设，则．连接，如图， 由折叠的性质可得：，， ∵四边形的周长为3， ， ， ． ， ， ， ∴， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． 7．(24-25九上·山东青岛·期中)如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出； （2）根据点在线段的垂直平分线上得出，从而，从而求得结果； （3）过作于，可得出，从而得出，求得，根据的面积是矩形面积的列方程求解，得出结果； （4）连接，可推出当，，共线时，的值最小，连接，，设交于，作于，作于，可推出，，从而得出．利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上； （3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的， （4）解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量． 8．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 【答案】(1)①30；② (2)15， (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，得，取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； ②由，得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得； （2）根据折叠的性质，可证即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处， 如图1，取的中点，连接， 为等边三角形， 故答案为：30； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， 由折叠性质得：， 同法（1）可得：， 在中，， 根据勾股定理：， ， 即， 解得(负值舍去)， 在中，， 根据勾股定理：，即， 故答案为：； （3）解：当点在点的下方时，如图3.1， ， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 当点在点的上方时，如图3.2， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 9．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某一时刻，使得，此时的值为 【分析】（1）连接，交于点，利用菱形的性质得到，利用矩形的性质和平行线的判定定理得到为的中位线，则点为的中点，由此条件列出关于的方程解答即可； （2）由题意得：，利用线段垂直平分线的定义和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）由题意得：，则．利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质求得再利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，如图， 在矩形中，， 是菱形， 四边形为矩形， 为的中位线， 点为的中点， 由题意得：， 当为时，是菱形； （2）解：四边形为矩形， 点是的中点， 由题意得：， 垂直平分， 当为时，点是的中点； （3）解：存在某一时刻，使得，此时的值为．理由： 由题意得：，则， 由(2)知：， 四边形为矩形， 若， 存在某一时刻，使得，此时的值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，菱形的性质是解题的关键． 10．(24-25九上·山东日照岚山区·期中)如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论不成立．，理由见解析；（3）10 【分析】（1）把绕点顺时针旋转至△，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立．，理由如下： 如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， （2）中的结论不成立，、和的数量关系为； （3）是边长为5的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 11．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t为2时，为等腰三角形 (2)当t为时， (3)当或时，与相似 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识， （1）由菱形的性质和确定为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，进而即可得出t值； （2）由勾股定理得出长，再由得出，进而即可求出t值； （3）分当时，和当时，两种情况讨论即可得出t值； 熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决此题的关键． 【详解】（1）∵在菱形中，对角线，， ∴，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，如图所示， ， ∴， ∵速度为， ∴， ∴当t为2时，为等腰三角形； （2）∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴， ∵，如图所示， ∴，即， ∴（舍去）或， 因此，当t为时，； （3）存在t的值，使与相似，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当与相似时，与是对应边， ∴当时，，如图， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 当时，，如图， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当或时，与相似． 12．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】(1)猜想：，理由见解析 (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）由题意得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形，， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 13．(23-24九上·山东日照东港区日照港中学·期中)已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．    (1)如图1，判断和的数量关系并证明； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； ②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， , ∴； （2）①证明：如图，设与相交于点．   ， ， ， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ． 又， ， ， 矩形是正方形； ②作交于点，作于点，    此时． ， ，， 最大时，最小，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 14．(23-24九上·山东青岛北区·期中)【发现与思考】 如图①，在矩形中，对角线与相交于点，点是中点，连接，，与交于点，，． （1）直接写出线段、的长度：　　，　　； （2）直接写出线段与的比值：　　； 【方法与探究】 如果将【发现与思考】中的“在矩形中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形中”——如图②，那么条件变了，线段与的比值是否保持不变？请说明理由； 【拓展与应用】 如图③，在中，中线与中线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，则请直接写出线段的长度：　　． 【答案】【发现与思考】2，5；（2）；【方法与探究】不变；【拓展与应用】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据三角形中位线定理得到；根据勾股定理即可得到结论； （2）由（1）知，是的中位线，根据相似三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，于是得到结论； 【方法与探究】根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【拓展与应用】如图③，过作交于，过作交于，交于，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：【发现与思考】（1）四边形是矩形， ，，， 点是中点， ， 是的中位线， ； ； 故答案为：2，5； （2）由（1）知，是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； 故答案为：； 【方法与探究】不变， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 点是中点， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ； 【拓展与应用】如图③，过作交于， 是的中线， ， ， 是的中位线， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 如图③，过作交于，交于， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 15．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】解：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）根据（1）的结果， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大． （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小， 则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方， 此时内接正方形的面积最大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．(23-24九上·山东青岛南区·期中)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，则折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，四边形中，，，，，点、分别在边、上，则的值为______. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作，连接，证明和，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）如图④，过点作，交的延长线于，过点作，连接，    ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ，且， ，且， ， ，， ， ， 不合题意舍去，， ， 由（2）可得． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．(23-24九上·山东济南历下区·期中)【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $