湖南省永州市宁远县第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远二中高三开学考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．记为等差数列的前项和，若，则（ ） A 144 B. 120 C. 100 D. 80 3．若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4．如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 96 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 6．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. －2 C. 6 D. －6 8．已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值不可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 10．设为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若，则的最大值为2 11．已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则为 B. 过点P作平面，若，则 C. 与底面所成角的最小值为 D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为 3， 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 13，求双曲线被直线截得的弦长 . 14.已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是______． 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15，在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 16，如图，四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 18，已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望. 19，已知函数. （1）证明：函数在上存在唯一的零点； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值. 答案 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为集合， 故，A错误； 由于，但，故A不是B的子集，B错误， ，C错误； ，D正确， 故选：D 2．记为等差数列的前项和，若，则（ ） A 144 B. 120 C. 100 D. 80 【答案】B 【解析】因为，所以， 又， 所以， 则， 所以， 故选：B. 3．若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】D 【解析】， ， ， 由于向量夹角的取值范围是， 所以向量与的夹角为120°. 故选：D 4．如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】由题有， 故选：C. 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】在棱长为1的正方体中，连接， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，而平面， 因此平面，因为，则平面， 而点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为. 故选：B 6．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. －2 C. 6 D. －6 【答案】D 【解析】 因为为边上的中线，所以， 又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 8．已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值不可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 由题意得，由勾股定理得， 则，令， 而，故在上单调递增， 设，由两点间距离公式得， 由二次函数性质得当时，取得最小值，此时， 故的最小值为，即，显然B，C，D正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10．设为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确， 对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确， 对于C，易知，，当时，，故C错误， 对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确. 故选：ABD 11．已知体积为2的四棱锥，底面是菱形，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则为 B. 过点P作平面，若，则 C. 与底面所成角的最小值为 D. 若点P仅在平面的一侧，且，则P点轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】设到底面的距离为， ， 则当平面时，，则，即为或，A错误； 如图1，若平面，平面，则，又， 平面， 则平面，平面,故，又， 平面, 所以平面，平面,，B正确； 设与底面所成角为，又， 则，因为，则， 由于，所以 则与底面所成角的最小值为，C正确； 如图2，当，根据，得，即P点到底面的距离为，过A点作底面的垂线为l，过点P作交l于点O，则，点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确. 故选：BCD 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60 【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为： 令可得 ，此时. 13，求双曲线被直线截得的弦长 . 【答案】 【解析】由，得，即． （*） 设方程（*）的解为，，则有，， 故． 14.已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】做出图像，如图所示，则， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 因为， 所以， 则，即， 所以，解得， 所以， 由可得，，则， 所以，整理得，解得， 故答案为：． 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15，在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由余弦定理得，， 即，解得，(负值舍去). （2）在中， ∵，，∴， 在中，由正弦定理得，∴①， 在中，由正弦定理得，∴②， 由①②得， ∴，即， ∴，即， ∴. 16，如图，四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接. ，，为的中点，则，， 又，可得，四边形为平行四边形，， 且，， ，，，则，， ，，平面， 平面，因此，； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，. 设平面的法向量为， 由，得，可得， 令，可得，，则， . 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 17，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值? 若是,求出m+n的值；否则,说明理由. 【答案】（1）；（2）－1 【解析】（1）∵椭圆的右焦点 ∴抛物线C的方程为 （2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于 由， ∴∴， 又由 即m=,同理， 所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. 18，已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）答案见解析；. 【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件， . （2）由题意可知的可能取值为0，2，4. ， ， . 故的分布列为： 0 2 4 . 19，已知函数. （1）证明：函数在上存在唯一的零点； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵，∴. ∵在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴函数在上单调递增. 又，令，， 则在上单调递减，，故. 令，则 所以函数在上存在唯一的零点. （2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）. 函数在上单调递增. ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴. 由（*）式得. ∴，显然是方程的解. 又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解， 把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $