考点专项集训03 幂函数-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学考点专项集训03 幂函数 考点一 幂函数的图象 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高二下·山东日照·期末）函数的大致图象为（   ） A．B．C．D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A．B．C．D． 6．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江温州·期中）若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 考点二 幂函数比较大小 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点三 根据幂函数单调性解不等式 15．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 25．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 26．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·甘肃·期末）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 28．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 29．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 30．（23-24高二下·江苏镇江·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ． 31．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 32．（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 33．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 34．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 36．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 考点四 幂函数实际模型应用 36．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 37．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 38．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考点专项集训03 幂函数 考点一 幂函数的图象 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 2．（24-25高二下·山东日照·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 6．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 7．（24-25高二下·浙江温州·期中）若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】根据题给条件写出三点的坐标，计算的长度逐一判断即可. 【详解】 因为，由得；得；得. 则. 因为，所以是关于的减函数. 因为，所以，则. 故以上选项都不对. 故选：D. 考点二 幂函数比较大小 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 10．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性，并找出中间量，求解即可. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在单调递增，所以，故，所以， 又是增函数，所以，所以. 故选：B. 11．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 12．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义得的值，得，根据对数函数的单调性性质及换底公式得到，再利用幂函数单调性比较大小得到即可. 【详解】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 14．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断的大小关系,即可选出正确答案. 【详解】因为所以,所以. 所以是t的减函数,所以. 是增函数,所以 所以 故选: B. 考点三 根据幂函数单调性解不等式 15．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 16．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 17．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性可得当时，，则由时，恒成立求解即可. 【详解】函数在R上单调递减，当时，， 则当时，恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 19．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的解析式，结合函数的单调性可得：等价于且，从而可知不等式在,上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出的最小值为，进而可得实数的取值范围． 【详解】对于，函数在上为常数1， 在处连续，且在上为增函数， 因此等价于，对任意恒成立， 由①可知，，结合②可得， 而， 当时，即时，等号成立， 结合，可知在,上为增函数，可得， 所以，即实数的取值范围是． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. 20．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 21．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 23．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 24．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D. 【详解】设幂函数 将点代入函数得：，则， 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确； 因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确； 当时，，即，所以C正确； 时， ， 所以，又， 所以成立，所以D不正确. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误. 25．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可知在上单调递增，由函数有最小值可得在上的单调性和分段处函数值的大小关系，从而解不等式组求得的范围，知A正确；由幂函数的性质知B错误；假设的值域为，结合单调性和分段处函数值的大小关系可得的范围，知C正确；将代入，分别求出的表达式，比较可得二者值域没有交集，则D错误． 【详解】对于A，当时，在上单调递增，若有最小值，则，解得，故A正确； 对于B，当时，，由幂函数的性质知，当时，单调递增．故B错误； 对于C，在上单调递增，当时，；若的值域为，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，当时，，则，，恒成立，不存在，使得，故D不正确； 故选：AC 26．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 27．（24-25高一上·甘肃·期末）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对A，根据幂函数定义结合单调性求解判断；对B，由选项A得，代入运算判断；对C，根据幂函数的单调性判断；对D，利用作差比较法，结合基本不等式判断. 【详解】对于A，由函数为幂函数，有，解得或2． 当时，，函数在单调递增，不符合题意； 当时，，函数在单调递减，符合题意．故有，故A错误； 对于B，由选项A，，可得，故B正确； 对于C，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增， 可得，故C正确； 对于D，由，， 则， 可得，故D正确． 故选：BCD． 28．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 29．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及单调性得到，求出，即可得到函数解析式，由函数的单调性求出集合，再根据，得到或，即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得； 因为在上单调递减， 又，， 则， 因为，所以或，解得或， 即的取值范围是. 故答案为：； 30．（23-24高二下·江苏镇江·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】令函数的次方的一个收缩区间为，根据幂函数的单调性及函数新定义有且，即可求区间，令的次方收缩区间为，结合函数单调性及函数新定义有是的两个根，利用二次函数与一元二次方程的关系列不等式求参数范围. 【详解】由在R上单调递增，令函数的次方的一个收缩区间为， 所以在上单调递增，且值域为，故且，可得， 所以函数的次方的一个收缩区间为， 由在R上单调递增，令其次方收缩区间为且，对应值域为， 所以，即是的两个根，记， 则，可得且. 故答案为：，且 31．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 32．（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以， 故答案为： 33．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 34．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】应用为增函数，化简，再分异号和同号或中有一个为0，结合基本不等式计算求解. 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 36．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得.又因为，所以或. 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，且满足题意. 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得. 当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点四 幂函数实际模型应用 36．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，，工作年限为，，劳累程度为，，劳动动机为，， 对于①，，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， 所以， ，， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， 所以， ，所以， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题意的理解以及相关性质的运用. 37．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 38．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $