12.2.5 斜边直角边　课件2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

Rt△ABC 直角边 斜边 A B C 直角边 在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？ 对于两个三角形，如果有“边边角” 分别对应相等，那么能保证这两个三角形全等吗？ 不能保证 新知导入 M A T H 22251 12.2.5 斜边直角边 M A T H 22251 1.理解“HL”定理，能应用其证明两个直角三角形全等. 2.能综合应用所学的全等三角形判定定理解决问题． 学习目标 M A T H 22251 步骤： 1.画线段BC,使BC=a(2cm)； 2.画∠CBM = 90°； 3.以点C为圆心，线段b(3cm)的长为半径画弧，交射线BM于点A； 4.连结AC. △ABC 就是所求作的三角形. M B C A 如图，已知线段a、b(b>a)，试作Rt△ABC ，使∠B=90°, BC=a，AC=b. a(2cm) b(3cm) 把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形相比较，它们全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 由以上操作，可以发现它们完全重合，所画的直角三角形都全等. 新知探究 M A T H 22251 几何语言： 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AB＝A′B′， AC＝A′C′(或BC＝B′C′)， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为HL(或斜边直角边)． 注意点：书写时必须强调直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”来表示. 归纳 M A T H 22251 例1 如图 ，已知AC＝BD， ∠C=∠D=90°. 求证：BC=AD. 证明：∵ ∠C= ∠D= 90° (已知)， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形 (直角三角形的定义) . 在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∵ AB＝BA(公共边)， AC＝BD(已知)， ∴在 Rt△ABC ≌ Rt△BAD (HL). ∴ BC＝AD (全等三角形的对应边相等). A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 典型例题 M A T H 22251 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°. 例2 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BD=CD.求证:BE=CF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵BD=CD,DE=DF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∵∠AED=∠AFD, ∠EAD=∠FAD, AD=AD, ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴DE=DF. ∴BE=CF. 典型例题 M A T H 22251 (1)已知两边 判定两个直角三角形全等的一般思路： (2)已知一边一角 归纳 M A T H 22251 证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°. 在 Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， AE=DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(H. L.), ∴∠ABE=∠DCF. ∵BC=CB，AB=DC, ∴△ABC≌△DCB(S.A.S.) ∴AC=DB. 如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC.求证∶AC=DB. 巩固练习 M A T H 22251 内容 斜边直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 在直角三角形中 前提条件 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等） 课堂小结 M A T H 22251 1．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP， 则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS B．ASA C．SSA D．HL D 2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(　　) A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一个锐角和一条直角边对应相等 D．一条斜边和一条直角边对应相等 B 随堂小练 M A T H 22251 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm C 4.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)， 使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件 是 ． AB＝DC（答案不唯一） 随堂小练 M A T H 22251 5.如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°， (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________． 解:(1)证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA都是直角三角形． 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ∵BC＝AD， AB＝BA， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL). 20° 随堂小练 M A T H 22251 $