12.1.2 定义、定理与证明　课件2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦定义、基本事实、定理及证明的核心概念，通过线段中点、角等已有概念实例导入，引导学生观察共同特征，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助理解数学概念的本质与逻辑关系。 其亮点在于以实例辨析（如质数乘积加1的结论验证）培养推理意识，通过直角三角形锐角互余证明等例题展示演绎推理过程，结合命题分类结构图强化模型意识。采用问题驱动与实例探究法，学生能形成逻辑思维，教师可借助分层练习和小结检测教学效果，提升课堂效率。

12.1.2 定义、定理与证明 M A T H 22251 1.理解定义、基本事实、定理等概念. 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明. 学习目标 M A T H 22251 我们学过线段、角等名词，观察以下语句,它们在描述的功能有什么共同特点？ 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点. 由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角. 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 这些语句都是用来说明各自对应的名词所包含的确切意义 新知导入 M A T H 22251 我们在学习一些新的数学名词时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的语句叫做这些名词的定义. 定义就像标签，把事物与事物区别开. 一个数学名词的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 你能再举出一些学过的定义的例子吗？ 新知讲解 M A T H 22251 （1）两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. （2）两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. （3）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. （4）从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段. （5）含有未知数的等式叫做方程. M A T H 22251 我们学过的这些命题是真命题吗？ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 以上命题都是正确的，即都是公认的真命题. 命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假，这就需要我们用推理的方法来加以证明 新知讲解 M A T H 22251 基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理. 1.是真命题； 2.是实践中总结的； 3.作用是证明的依据. 例如下列的真命题作为基本事实： 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.全等三角形的对应边、对应角分别相等． 新知探究 M A T H 22251 定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 1.是真命题； 2.是用逻辑推理证明的； 3.作用是证明其他的依据 比如：“内错角相等，两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据. 新知探究 M A T H 22251 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 证明其他命题正确的依据 归纳 M A T H 22251 (1)一位同学在钻研数学题时发现: 2 + 1=3, 2 × 3 + 1 =7, 2 × 3 × 5+1 =31, 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 思考 他的结论正确吗？ 计算一下 2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1， 你发现了什么？ M A T H 22251 (2)如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 思考 画一个钝角三角形试试看. 钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，所以该同学的说法不正确 M A T H 22251 (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 思考 M A T H 22251 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 归纳 M A T H 22251 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°(已知)， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 典型例题 M A T H 22251 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 归纳 M A T H 22251 如图所示，下列推理不正确的是(　　) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD C 巩固练习 M A T H 22251 证明 定义 定义、定理与证明 步骤：(1)根据题意作出图形. (2)写出已知和求证. (3)写出证明的过程 基本事实 、定理 课堂小结 M A T H 22251 1．下列真命题能作为基本事实的是(　　) A．对顶角相等 B．三角形的内角和是180° C．在同一平面没，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 C 2．“经过两点有且只有一条直线”是(　　) A．基本事实 B．假命题 C．定义 D．以上都不是 A 随堂小练 M A T H 22251 3.下列命题可作为定理的有(　　) (1)两直线平行，同旁内角互补；(2)相等的角是对顶角； (3)等角的补角相等；(4)垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 随堂小练 M A T H 22251 4.根据题意可知，下列说理过程中所依据的基本事实或定理是_______________________． 如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD； 若∠2＝∠3，则AD∥BC. 内错角相等，两直线平行 随堂小练 M A T H 22251 5.如图，B，A，E三点在同一直线上，AD∥BC；∠B＝∠C；求证：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）， ∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）. 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠EAD＝∠DAC（等量代换）， 即AD平分∠EAC. 随堂小练 M A T H 22251 $