第21章一元二次方程章末测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册人教版-第21章一元二次方程章末测试卷 一、单选题 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．若是方程的根，则的值为（  ） A．2037 B．2029 C．2025 D．2013 4．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 6．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 8．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 9．如图，在中，，，于点D，E是的中点．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 10．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程：的一次项系数是 ． 12．已知实数满足，则的值为 ． 13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 14．已知是一元二次方程，则的值为 ． 15．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 16．已知，是方程的两个根，则 ． 17．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题 18．解方程： (1)． (2)． 19．已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 21．嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 22．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 23．数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． (1)已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； (2)解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年数学九年级上册人教版-第21章一元二次方程章末测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B C C C A B 1．B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 2．D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意，将代入方程可得，进而将所求代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ，即． 因此，． 故选：A． 4．B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 6．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两边，形成完全平方式． 【详解】解：移项，得 配方：，即 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 8．C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得：， ∴且， 故选：． 9．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 首先利用勾股定理求出，得到，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形 ∵ ∴． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2022年人均纸质图书阅读量年均增长率年人均纸质图书阅读量列出方程即可． 本题考查平均增长率问题，需根据连续两年的增长率建立方程． 【详解】解：设每年增长率为，可列方程为， 故选：B． 11． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴的一次项系数是． 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 13． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 15．10 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，以及解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先算括号中的减法，然后将除法变成乘法运算即可； （2）解一元二次方程，将使得有意义的解代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解方程得： ，， 当时，原分式没有意义， 当时，． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 21．(1)， (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，； （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9； （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为． 22． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小道的宽度为，根据栽种鲜花区域的面积为列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设小道的宽度为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， 答：小道的宽度为． 23．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程的解的意义可得，则，，将其代入原式并通分计算后再约分即可； （2）设，将原方程化为，解分式方程并检验后代入中解得x的值即可． 【详解】（1）解：是一元二次方程的一个实数根， ， ∴， ∴， 原式 ； （2）解：设， 原方程化为， 整理得：， 解得：，， 经检验，，均为方程的解， 当时，， 即， ， 该方程没有实数根， 当时，， 即， 解得：，， 故原方程的解为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $