精品解析：吉林省延吉市第四中学2023-2024学年度中考押题卷

吉林省延吉市第四中学2023-2024学年度中考押题卷 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形能折叠成圆锥的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 化简：______； 8. 不等式的解集是___________． 9. 计算的结果是______． 10. 如图，点在数轴上，以为边向上作正方形，该正方形的面积是23，若点对应的数是，则点对应的数是_______． 11. 如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添___________根木条． 12. 中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和种月饼的费用分别为2000元和3000元，且种月饼的单价比种月饼单价多1元，求、两种月饼的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程是______． 13. 如图，把平行四边形绕点A旋转得平行四边形，点落在边上，若，当，，三点共线时，的度数为__________． 14. 如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为________ 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，甲袋内共有4张牌，牌面分别标记数字1，2，3，4；乙袋内共有3张牌，牌面分别标记数字2，3，4．甲袋中每张牌被取出的机会相等，且乙袋中每张牌被取出的机会也相等．分别从甲乙两袋中各随机抽取一张牌，请用列表或画树形图的方法，求抽出的两张牌面上的数字之和大于5的概率． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：． 18. 今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 四、解答题（每小题7分，共28分) 19. 图①，图②，图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请按要求画图，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下： （1）在图①中画一个有一边长为7的钝角三角形． （2）在图②中画一个面积为8的等腰三角形． （3）在图③中画一个面积为10的等腰直角三角形． 20. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是点关于轴的对称点，连接，求的面积． 22. 公元前二世纪中国就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要是利用了光的反射原理． （1）如图②，呈水平状态，若入射角，（已知入射角等于反射角，图中，均为法线，即镜面，）；求的度数． （2）在（1）的条件下，若米，求点到的距离（精确到米）．（参考数据：，，） 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了内个时间点的剩余药液量，其中表示输液所用时间，表示剩余药液量． 输液所用时间 0 10 20 30 40 剩余药液量 100 85 70 55 40 根据以上信息解决下列问题： （1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象； （2）结合表中数据写出剩余药液量关于输液所用时间的函数解析式___________（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种输液速度下，请根据函数图象判断这药液 （填“能或否”）在分钟内输完． 24. 【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．以为对角线作矩形，．设矩形和重叠部分的面积为，点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）当点N在内部时，求S与t之间的函数关系式； （4）连接，当线段将矩形分成两部分面积比时，直接写出t的值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上一点，横坐标为，点不与重合． （1）求此抛物线的解析式． （2）当，求的值． （3）作点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点到直线的距离是点到轴距离2倍时，求的值． （4）设点的坐标为，点的坐标为，连接．当抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省延吉市第四中学2023-2024学年度中考押题卷 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形能折叠成圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据几何体的展开图还原几何体．熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 根据几何体的展开图进行判断即可． 【详解】解：A、折叠后是圆锥，故符合要求； B、折叠后是正方体，故不符合要求； C、折叠后是三棱柱，故不符合要求； D、折叠后是圆柱，故不符合要求； 故选：A． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B：是中心对称图形，也是轴对称图形，故B正确； C：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法则和同类项的定义．A．先判断是不是同类项，然后进行判断即可；B．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行计算即可；C．根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，进行计算即可；D．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 关于一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A 5. 如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得直线是线段AB的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得． 【详解】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接， ∴直线垂直平分线段AB， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段AB是解题关键． 6. 如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理．取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 菱形中，，， ，， ，， ∴的长是． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 化简：______； 【答案】 【解析】 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是；是解本题的关键． 8. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求解不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 根据解不等式的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为： ． 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查异分母分式加法运算，先通分，再算加法即可． 【详解】解： , 故答案为： 10. 如图，点在数轴上，以为边向上作正方形，该正方形的面积是23，若点对应的数是，则点对应的数是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握算术平方根的求法，以及正方形面积公式．先求出该正方形的边长，再根据数轴上两点之间的距离求法，即可求解． 【详解】解：∵该正方形的面积是23， ∴该正方形的边长是， ∵点A对应的数是， ∴点B对应的数是， 故答案为：． 11. 如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添___________根木条． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可． 【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条． 故答案为：2． 12. 中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和种月饼的费用分别为2000元和3000元，且种月饼的单价比种月饼单价多1元，求、两种月饼的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程，理解题意，分析等量关系并列出方程是关键．由题意得B种月饼单价为元，根据等量关系：两种月饼共购进1500个，列出方程即可． 【详解】解：由种月饼单价为元，则B种月饼单价为元， 由题意得：； 故答案为：． 13. 如图，把平行四边形绕点A旋转得平行四边形，点落在边上，若，当，，三点共线时，的度数为__________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】平行四边形绕点A旋转得平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短等知识，连接，，作于点，则勾股定理求得，，且当的值最小时，的值最小，进而即可求解． 【详解】如图，连接，，作于点，则 在等边中，， ， ． 与相切于点 ， ，且当的值最小时，的值最小， 当时，最小为． 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】17 【解析】 【分析】先按照平方差公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项，得到化简后的结果，再把代入化简后的代数式进行求值即可． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查的是整式的混合运算及化简求值，平方差公式的运用，单项式乘以多项式，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键． 16. 如图，甲袋内共有4张牌，牌面分别标记数字1，2，3，4；乙袋内共有3张牌，牌面分别标记数字2，3，4．甲袋中每张牌被取出的机会相等，且乙袋中每张牌被取出的机会也相等．分别从甲乙两袋中各随机抽取一张牌，请用列表或画树形图的方法，求抽出的两张牌面上的数字之和大于5的概率． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意列出树状图，然后求得所有的可能性的个数，再找到和大于5的可能性，然后求概率即可． 试题解析： P（和大于5）= 考点：树状图与概率 17. 如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：． 【答案】解法一： 证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ． 解法二： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 解法三： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．由全等三角形的判定定理证得，得出对应边相等即可． 【详解】略 18. 今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 【答案】12元；8元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒．饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，则；饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，则．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒， 由题意得：， 解得：， 答：饺子和汤圆的进价分别是每盒12元，8元． 四、解答题（每小题7分，共28分) 19. 图①，图②，图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请按要求画图，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下： （1）在图①中画一个有一边长为7的钝角三角形． （2）在图②中画一个面积为8的等腰三角形． （3）在图③中画一个面积为10的等腰直角三角形． 【答案】（1）解：所作一边长为7钝角三角形如图所示： （2） 解：所作面积为8的等腰三角形如图所示： （3） 解：所作面积为10的等腰直角三角形如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质及三角形的分类，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的定义及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）先画底边长为4，然后根据线段垂直平分线的性质可作出面积为8的等腰三角形； （3）根据等腰直角三角形的性质作出腰长为即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1），， （2） 解：由于八年级竞赛成绩的中位数为为大于七年级竞赛成绩的中位数， 八年级对“防灾减灾”的了解情况更好； （3）两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的概念，求得，，利用七年级、两类的人数和除以总人数求得，即可解答； （2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可； （3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第和个数为和， ， 八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为， ， 七年级学生的优秀率为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是点关于轴的对称点，连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为 （2）16 【解析】 【分析】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． （1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出点，得到，即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵点，点是的图象与直线的交点， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴反比例函数得解析式为， 将点，代入一次函数中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 对于直线， 令，得， ∴点C的坐标为， ∵点D是点C关于x轴的对称点 ∴点， ∴， ∴； 22. 公元前二世纪中国就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要是利用了光的反射原理． （1）如图②，呈水平状态，若入射角，（已知入射角等于反射角，图中，均为法线，即镜面，）；求的度数． （2）在（1）的条件下，若米，求点到的距离（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点到的距离为米 【解析】 【分析】（1）根据题意，由垂线的定义可得，则，使用三角形的内角和定理计算出即可； （2）作于点，设米，容易判断为等腰直角三角形，则米．在中，使用三角函数计算出米，利用构造方程，解出的值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点，设米， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ， 在中，（米）， ∵， ∴， 解得， 答：点到的距离为米． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了内个时间点的剩余药液量，其中表示输液所用时间，表示剩余药液量． 输液所用时间 0 10 20 30 40 剩余药液量 100 85 70 55 40 根据以上信息解决下列问题： （1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象； （2）结合表中数据写出剩余药液量关于输液所用时间的函数解析式___________（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种输液速度下，请根据函数图象判断这药液 （填“能或否”）在分钟内输完． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格描点、连线即可； （2）根据剩余药液量减少可得解析式； （3）画描点所得直线与横轴相交即可判断求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：由表格可得剩余药液量减少， 每分钟减少的药液为 ∴剩余药液量关于输液所用时间的函数解析式为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：画描点所得直线与横轴相交， 由上图可知，交点在的左侧，即是输完所用时间少于分钟， ∴这药液能在分钟内输完． 故答案为：能． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式． 24. 【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）； （3）或2 【解析】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．以为对角线作矩形，．设矩形和重叠部分的面积为，点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）当点N在内部时，求S与t之间的函数关系式； （4）连接，当线段将矩形分成两部分面积比时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，． （4）或 【解析】 【分析】（1）由速度和时间即可得出； （2）在中，，，可得，在中，，由得，，从而得出结果； （3）当点Q在上时，即，可表示出，，从而；当点Q在延长线上时，即，设交于点D，可得出，，从而求得，进一步得出结果； （4）当点Q在上，交于E时，可得出，根据，从而，从而得出，求得；当点Q在上时，交于O时，同理可得：点O是的中点，作于G，作于H，根据得出，从而得出，求得． 【小问1详解】 解：由题意知：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 由得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 当点Q在上时，即， ，， ∴， 如图3， 当点Q在延长线时，即，设交于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图4， 当点Q在上，交于E时，过点Q作交于点F， 由得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图5， 当点Q在延长线上时，交于O时， 同理可得：点O是的中点， 作于G，作于H， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上一点，横坐标为，点不与重合． （1）求此抛物线的解析式． （2）当，求的值． （3）作点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点到直线的距离是点到轴距离2倍时，求的值． （4）设点的坐标为，点的坐标为，连接．当抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出的面积，再由，即可求解； （3）求出抛物线对称轴，得C点坐标，求直线解析式，分别表示出点到直线的距离是点到轴距离，建立方程，求解即可； （4）由于E，F，坐标不确定且与m有关，所以分情况讨论即可 ． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ，解得， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， 抛物线对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 直线的解析式为， 由题意知，， 点到轴距离为， 点到直线的距离是， 点到直线的距离是点到轴距离2倍， ， 或， 解得或； 【小问4详解】 当或或时，抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点． 线段是直线的一部分， 在中，当时，， 当，即时，，如图3，此时抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， 当，即时，方程有实根， 如图1，当时，则，即点F在点E的右边， 抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， ， 解得：； 解得：； ； 当时，，此时抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段没有公共点， 当时，如图2，此时抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， 若E点在抛物线上，，即 ， 综上，当或或时，抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线综合应用，点到直线距离，二次函数与坐标轴交点等知识点，灵活运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $