精品解析：陕西省汉中市汉台中学2026届高三上学期第一次月考数学试题

汉台中学2026届高三年级第一次月考数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 49 7. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是4 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 11. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ） A. 弦长的最大值为 B. 实数的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点，使得为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 19. 已知． （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2026届高三年级第一次月考数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式结合商数关系求出，进而可求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解. 【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD； 对A，，而对于C，，故排除C. 故选：A 6. 已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用等比中项的定义建立方程，得到.通过观察目标式的结构，选择“乘1法”结合基本不等式，求出最小值.确保不等式取等时和的值满足原题条件. 【详解】由题可知，9是和的等比中项，因此，化简得，即，则. 因此，. ，， 由基本不等式可知，当且仅当即，时取等号. 则，当且仅当即，时取等号. 综上，的最小值为. 故选：C. 7. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 又，，，， . A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，，，正确； D选项，， 易知在上为单调递增， 所以当时有最小值为4，正确. 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ） A. 弦长的最大值为 B. 实数的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直径为最长弦判定A；利用圆心到直线的距离小于半径，解不等式求得实数a的取值范围，判定B；根据已知判定P在直线l上，且在圆外，再取特值，当直线经过圆心的特殊情况下进行计算，可以否定C；根据垂径定理得到点Q的轨迹为圆的一部分，取D为圆心既满足选项D中的条件，从而判定D正确. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为； 当时，过圆心，则弦长最大为，故A正确； 圆心到的距离，解得，故B正确； 因为，所以点在圆外. 因为,所有点在直线上. 所以向量同向， 取当时，过圆心，所以，不一定是1，故C错； 因为，则的轨迹为以中点为圆心，为半径的圆（在已知圆内的一部分）， 则存在，使得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件根据向量的加法的坐标运算公式，再由条件结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，所以， 因为，则，则， 解得. 故答案为：. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出的值，再结合双曲线的离心率公式以及来计算离心率. 【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为，所以.  双曲线的离心率（其中为双曲线的半焦距），且满足. 将两边同时平方可得，把代入可得. 由步骤1可知，将其代入上式可得. 因为，所以.  故答案为：. 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，分情况讨论，先判断当时，在区间内无零点，再当时，令，则，由导数判断其在上的单调性，求出最值. 【详解】 令，， 当时，，在区间内无零点； 当时，，， 当，即时，为函数的零点. 当时，令，则， 令，则， 令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，. 当时，在区间内有两个零点. 综上，当时函数有三个零点. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是题干中“表示，中的最大值”的理解，然后再分区间讨论零点情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 17. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点， 所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面， （2）先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得，． 由，得，所以，进而． 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设二面角S-AC-P的平面角为θ，则， 故二面角的余弦值为． 【点睛】 18. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【小问1详解】 （i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； 【小问2详解】 略 19. 已知． （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）， （2） （3）证明：由（2）知，当时，恒成立， 即，等号成立当且仅当时取得． 所以. 令，代入化简即得， 又因为时，． 即得， 累加即得． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断出函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2）当时，因为，不满足题；当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证. 【小问1详解】 因为， 当时，令， 因为函数定义域为，所以； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以 而， 又因为， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 若时，因为，不满足题目要求， 若时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令， 因为单调递减，且， 所以； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $