陕西省汉中市汉台中学2026届高三上学期第一次月考数学试题

汉台中学2026届高三年级第一次月考数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 49 7. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是4 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 11. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ） A. 弦长的最大值为 B. 实数的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点，使得为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 19. 已知． （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，证明：． 汉台中学2026届高三年级第一次月考数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）14 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1）证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点， 所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【18题答案】 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3）证明：由（2）知，当时，恒成立， 即，等号成立当且仅当时取得． 所以. 令，代入化简即得， 又因为时，． 即得， 累加即得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $