第一章 勾股定理课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 验证勾股定理 1.用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、 摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形 验证勾股定理. 分层训练 构建学科思维 3 （1）图2中大正方形的边长为______， 里面小正方形的边长为___； （2）大正方形面积可以表示为_______ _________________________________， 也可以表示为_ ____________； （3）对比这两种表示方法，可得出_ ______________________， 整理得_____________. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 勾股定理的简单应用 2.如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”（如图中的实线）．其实他 们仅仅少走了___ ，却踩伤了花草． 4 分层训练 构建学科思维 5 第3题图 3.如图，轮船甲从港口出发沿北偏西 的 方向航行，同时轮船乙从港口 出发 沿南偏西 的方向航行 ，这时两 轮船相距____ 17 分层训练 构建学科思维 6 4.如图，有两棵树，一棵树高12米，另一棵树高7米，两树相距 12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 ，则小 鸟至少要飞行____米. 13 第4题图 分层训练 构建学科思维 7 5.【新考向：真实问题情境】 某市规定： 小汽车在该市城市街道上行驶，速度不得 超过60千米/时.如图，一辆小汽车在该市一 条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好 行驶到路对面车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后到达 处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车 超速了吗？为什么？若超速，则超速了多少？ 分层训练 构建学科思维 8 解：超速了.理由如下： 根据题意，得米，米， . 在 中，根据勾股定理，得 所以 米. 所以小汽车行驶的速度为（米/秒） （千米/时）. 因为 ，所以小汽车超速了. 此时 （千米/时）. 答：这辆小汽车超速了，超速了12千米/时. 分层训练 构建学科思维 9 6.【新考向：数学文化】 如图，《九章算术》中 记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折 者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，折断后 其竹尖恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远.问： A A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺 原处还有多高的竹子？（1丈 尺）则竹子折断处离地面 ( ) 分层训练 构建学科思维 10 第7题图 7.如图，在高为，坡面长为 的 楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 第8题图 8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架 梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距 离为，顶端距离地面 若梯子底端 位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端 距离地面 ，则小巷的宽度为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 9.某应急物资储藏室门的截面是由如图所示的图形构成的，图形 下面是长方形，上面是半圆形，其中 ， ，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽 ， 它能通过储藏室的门吗？请通过计算说明理由. 题图 分层训练 构建学科思维 13 解图 解：如解图，取的中点，点 为半圆的圆心， 点 为运输车的外边沿. 由题意，得运输车从中间过更容易通过储藏室的门， 能通过的最大高度为EF的长度. 由题意，可知 ， ， . 分层训练 构建学科思维 14 在 中，由勾股定理，得 ，所以 所以 因为 ， 所以该运输车能通过储藏室的门. 分层训练 构建学科思维 10.如图1，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． 分层训练 构建学科思维 16 （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角 形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为 ，结 合图1，试验证勾股定理． 解： ， ， 即，则 ． 分层训练 构建学科思维 17 （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接， 形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24， ，求该飞镖状图案的面积． 解：设 ，根据题意，得 ，解得 所以 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 分层训练 构建学科思维 18 （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方 形，正方形，正方形的面积分别为，， ， 若，则___．（提示：设四边形 的面 积为，其余八个全等三角形的面积均为 ） 分层训练 构建学科思维 19 $第一章 勾股定理 核心素养专练 1 1.【数学文化】【几何直观、运算能力】第14届数学教育大会 会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵 爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一 个小正方形拼成的大正方形．若， ，则直角 三角形 的面积为( ) 分层训练 构建学科思维 2 图1 图2 A.2 B.4 C.5 D.6 √ 分层训练 构建学科思维 3 2.【运算能力、几何直观、模型观念、应用意识】八 （3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如 图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得 的长 度为 ；②根据手中剩余线的长度计算出 A A. B. C. D. 风筝线的长为；③松松身高为 .若松松同学想使 风筝沿方向下降 ，则他应该往回收线 ( ) 分层训练 构建学科思维 4 3.【数学文化】【运算能力、创新意识】 （广西中考）《九章算术》是古代东方数学代表 C A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不 合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，2（图2为图1的平面 示意图），推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点 距离 门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是 ( ) 分层训练 构建学科思维 5 4.【新定义】（雅安中考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美” 四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ， 对角线，交于点.若，，则 ____. 20 分层训练 构建学科思维 6 5.【几何直观、推理能力】如图，正方形 的边长为，其面积标记为，以 为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角 三角形的一条直角边为边向外作正方形，其 2026 面积标记为， ，按照此规律继续下去，若，则 的 值为______. 分层训练 构建学科思维 7 6.【模型观念、应用意识】为加快旧城改造步伐，增强城市功能， 改善人居环境，我市对部分旧城区天然气管道进行改造.在改造 过程中发现原有管道因弯道过多带来安全隐患，因此需要改造. 某小区管道 改造方案如图.（实线为改造前，所有实线均互 相平行或垂直，虚线为改造后） （1）改造前管道的长度是_______； （2）改造后 之间的距离减少了_______. 分层训练 构建学科思维 8 $第一章 勾股定理 问题解决策略：反思 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 圆柱侧面上两点间的最短距离 第1题图 1.如图，一只蜗牛从圆柱的点 出发，绕圆柱侧面沿最 短路线爬行到了的中点处，若沿 将圆柱侧面剪 开并展开，所得侧面展开图示意正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，有一个圆柱体礼盒,高 ，底面周长为 .现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带 一端粘在处,另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在处 为的中点 ,则彩带最短为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为 的圆 柱粮仓模型如图1所示.如图2，是底面直径， 是高.现要在此 模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过, 两点 （接头不计），则装饰带的长度最短为____ . 50 图1 图2 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 长方体（或正方体）表面上两点间的最短距离 第4题图 4.如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点 沿表面爬 向点 ,则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图 中用虚线可以表示为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 第5题图 5.如图，长方体的底面长和宽分别是 和 ,高为,如果用一根细线从点 开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最 短需要____ . 10 分层训练 构建学科思维 7 6.如图，是长方形地面，长，宽 ， 中间有一堵砖墙高，一只蚂蚁从点爬到 点，它必 须翻过中间那堵墙，则它至少要爬____ . 26 第6题图 分层训练 构建学科思维 8 第7题图 7.如图所示的是长方体透明玻璃鱼缸,假设其长 ,高,水深 .在 水面上紧贴内壁的处有一块面包屑,点 在水面 线上，且 ,一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬到鱼缸内的 处吃面包屑，则蚂 蚁爬行的最短路程为_____ . 100 分层训练 构建学科思维 9 8.两个正数的和是24,求它们积的最大值.你有哪些 解决问题的方法？ 解:方法一:面积法（借助赵爽弦图）. 设这两个正数分别为, ,如图，用8个全等的直角 边的长分别为, 的直角三角形拼成“弦图”. 由图可知， . 分层训练 构建学科思维 10 由题意，得 ____. 8个直角三角形的面积为___________ _____ , 所以_____ . 所以求的最大值,即求 的最小值. 又因为 最小值为___. 24 576 144 0 所以 的最大值为_____. 144 分层训练 构建学科思维 11 方法二:利用平方差公式求解. 设这两个正数分别为 ,________. 则它们的乘积为 ______________ . 所以求它们积的最大值,即求 的最小值. 又因为 的最小值为___， 所以它们积的最大值为_____. 144 0 144 分层训练 构建学科思维 12 9.追本溯源：题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答， 提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为, , ，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点 ，你 能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 分层训练 构建学科思维 13 解：如解图1，由勾股定理，得 . 解图1 解图2 分层训练 构建学科思维 14 如解图2，由勾股定理，得 .因为 ，且 , 所以蚂蚁爬行的最短路线为为的中点 ，最短路 程是 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为 ，点 在棱上，，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 爬 到点 ，需要爬行的最短路程是多少？ 图1 图2 分层训练 构建学科思维 16 解：将长方体按下列三种方案展开： 解图3 解图4 解图5 分层训练 构建学科思维 17 ①如解图3，一直角边的长为 ，另外一条直角边的长为 ， 由勾股定理，得 . ②如解图4，一直角边的长为 ，另外一条直角边的长为 ， 由勾股定理，得 . 分层训练 构建学科思维 18 ③如解图5， ， ， 由勾股定理，得 . 因为， . 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点 ，需要爬行的最 短路程是 ． 分层训练 构建学科思维 19 $第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 在几何中的应用 1.如图，在中， ，为 上一点，且 ，若的面积为10，则 的长为( ) 第1题图 A A.3 B.4 C.5 D.4.5 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，在长方形中， ， ，将此长方形折叠，使点与点 重 合，折痕为，则 的面积为( ) A A.54 B.90 C.108 D.216 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，在中，是边上的高， ， ，，则的面积为____ ． 84 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在中，，点在 上， ，， ． （1）判断 的形状，并说明理由； 解： 是直角三角形，理由如下： 在中， ， 所以 ，所以 ， 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 6 （2）求线段 的长． 解：设，则 . 在中，由勾股定理，得 ，解得 ． 所以线段 的长为16.9. 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 在实际问题中的应用 5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中 的尺寸（单位：），则两圆孔中心和的距离为_____ . 150 第5题图 分层训练 构建学科思维 8 6.如图，某市地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是 由水平、竖直方向的，两段构成，若段长度为 ，点 ，之间的距离比段长，则段的长度为____ ． 15 第6题图 分层训练 构建学科思维 9 7.如图， ，， ，一机器人在 点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点 ，机器 人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点 处截 住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么 机器人行走的路程 是多少？ 分层训练 构建学科思维 10 解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相 等，所以 . 设，则 . 在中，由勾股定理，得 ，即 ，解得 . 答：机器人行走的路程是 . 分层训练 构建学科思维 11 8.【新考向：跨语文学科】 《醉翁亭记》中写道：“……射者 中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏.现有一圆柱形投 壶内部底面直径是,内壁高,若箭长 ,则箭在投壶外 面部分的长度不可能是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 第9题图 9.如图，一梯子斜靠在一竖直墙 上，测得梯 子的顶端到地面的距离为，若梯子的顶端 沿 墙下滑到点，此时梯子的底端滑到了 处， 测得，则梯子 的长度为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 第10题图 10.如图，将长方形纸片沿 折叠后， 点，分别落在点，的位置， 的延 长线恰好经过点，若 ， ，则 ___． 4 分层训练 构建学科思维 14 11.如图，，两村庄相距3千米， 为供气 站，千米， 千米，为了方便 供气现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和 村； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从铺设管道到点 处， 再从点处分别向、 两村铺设． 分层训练 构建学科思维 15 （1）试判断 的形状，并说明理由； 解： 是直角三角形．理由如下： 因为， ，所以 ， 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 16 （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 解：因为 ， 所以 （米）. 因为 （米）， （米）， 且4.2米 米， 所以方案一铺设管道较短． 分层训练 构建学科思维 17 12.如图，有一台环卫车沿公路由点向点 行驶， 已知点为一所学校，且点与直线上两点， 的距离分别为和， ，环卫 车周围 以内为受噪声影响区域． 分层训练 构建学科思维 18 （1）学校 会受噪声影响吗？为什么？ 解：学校 会受噪声影响．理由如下： 如图，过点作于点 . 因为，， ，所以 ． 所以 是直角三角形． 分层训练 构建学科思维 19 所以 ， 所以 . 因为环卫车周围 以内为受噪声影响区域， 所以学校 会受噪声影响． 分层训练 构建学科思维 20 （2）若环卫车的行驶速度为 ，则环卫车噪声影响该学 校持续的时间有多少分钟？ 解：如图，当，时，正好影响学校 . 因为 ， 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 21 因为环卫车的行驶速度为 ， 所以 . 答：环卫车噪声影响该学校持续的时间有 ． 分层训练 构建学科思维 22 $第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识勾股定理 1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长是1，另一条直角边 长是2，那么斜边长的平方是( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 分层训练 构建学科思维 3 2.下列说法正确的是( ) D A.若，，是的三边长，则 B.若，，是的三边长，则 C.若，，是的三边长， ，则 D.若，，是的三边长， ，则 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，在中， . （1）若，，则 ___； （2）若，，则 ___； （3）若，，则 ___. 5 8 9 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次 丢失，牧羊人要在如图所示的宽、长 的 长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则 这根木条的长至少为_______. 第5题图 5.如图，在中，，是 边上的中线，， ，则 的长是____ 25 分层训练 构建学科思维 6 6.如图，在中，，是 边上的高， ，则 ___． 6 分层训练 构建学科思维 7 7.如图，在中，，垂足为，， ， 分层训练 构建学科思维 8 （1）求 的长； 解：因为 ， 所以 . 在中，因为 ， 所以 所以 因为，所以 分层训练 构建学科思维 9 （2）求 的长. 解：在中，因为 ， 所以 所以 因为，所以 所以 分层训练 构建学科思维 10 知识点2 利用勾股定理求面积 第8题图 8.（教材3随堂练习 1变式）如图，已知两个正 方形的面积分别为225，289，则字母 所代表的正 方形的面积为( ) C A.4 B.8 C.64 D.16 分层训练 构建学科思维 11 9.如图，带阴影的长方形的面积是____ 51 第9题图 分层训练 构建学科思维 12 10.在中，斜边，则 的值为 ( ) C A.15 B.25 C.50 D.无法计算 11.在中， ，， ，则这 个直角三角形的面积是( ) C A.24 B.48 C.54 D.108 分层训练 构建学科思维 13 第12（1）题图 12.（1）（2025·浏阳期中）如图是一株美丽 的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形．若正方形 、 、 、D的边长分别是2，4，1，2，则正方 形 的面积是( ) B A.36 B.25 C.18 D.9 分层训练 构建学科思维 14 第12（2）题图 （2）（2025·广东期中）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角 形．若 ，则图中阴影部分的面积为 ( ) D A.6 B. C. D.25 分层训练 构建学科思维 15 （3）（2025·广州期中）如图，在 中， ，分别以，， 为边向外作半 圆，并分别记它们的面积为，， ，若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 16 13.已知的三边长分别为，，，且，，以 为直径作圆，则该圆的面积为_ _________. 14.如图，于点，于点，是 的中点，若 ，，，则 的长是____． 或 12 分层训练 构建学科思维 17 15.如图，在四边形草坪中， .若 ，，，求这块草坪 的面积. 题图 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图，连接 . 在 中，由勾股定理，得 所以 在 中，由勾股定理，得 所以 分层训练 构建学科思维 19 所以 所以这块草坪的面积为 分层训练 构建学科思维 16.（教材9习题变式）如图，在中，已知 ， ，求 的面积.如下是老师给出的部分解题 步骤，请阅读并补全解题过程. 分层训练 构建学科思维 21 解：如图，过点作于点 由题意，得，， 设，则 ， 在中， ， 即 在中， 分层训练 构建学科思维 22 解：补充解题过程如下： ，即 所以 ， 解得 在中， ， 即 解得 （负值已舍去）. 所以 分层训练 构建学科思维 23 $第一章 勾股定理 章末复习 勾股定理 1 复习点1 勾股定理及其验证 1.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6 根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒( ) C A.20根 B.14根 C.24根 D.30根 分层训练 构建学科思维 2 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证 明勾股定理的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第3题图 3.（2025·阜阳期中）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的 四条边为边向外作四个正方形，其面积分别 记为，，，．若， ， ，则 的长为( ) D A.7 B.5 C.4 D.6 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，的顶点，， 在边长为1的正方形网格的格点 上,于点,则 的长为___. 3 第4题图 分层训练 构建学科思维 5 5.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边 的 中点处，点落在点处，其中，，求 的长. 分层训练 构建学科思维 6 解：根据题意，得，， . 因为为边 的中点， 所以 . 设，则 ， 所以 . 在中， ， 所以，解得 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 复习点2 勾股定理的逆定理 6.（2025·咸宁期中）古埃及人曾经用如 图所示的方法画直角：用13个等距的结把 一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时 握住绳子的第1个结和第13个结，两个助 手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三 角形，这样做的道理是( ) 分层训练 构建学科思维 8 A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于 C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形 √ 分层训练 构建学科思维 9 7.如图,点,,都在方格线的交点上，则 的度数是______． 分层训练 构建学科思维 10 8.如图，在中，边上的垂直平分线与， 分别交 于点，，且 . 题图 （1）求证： ； 分层训练 构建学科思维 11 解图 证明：如解图，连接 . 因为边上的垂直平分线为 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 所以为直角三角形, . 分层训练 构建学科思维 12 （2）若，，求 的长. 解：设，则 . 在中， ， 所以，解得 . 所以的长为 . 分层训练 构建学科思维 13 复习点3 勾股数 9.【新考向：数学文化】（2025·东莞期中）我国是最早了解勾 股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀 算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是( ) B A.2，3，5 B.6，8，10 C.6，6，6 D.5，12，11 分层训练 构建学科思维 14 10.【新考向：数学文化】勾股定理最早出现在商高的《周髀算 经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直 角边中较短者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为 “弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25； ， 这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了 勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15， 17；….若此类勾股数的勾为10，则其弦是____． 26 分层训练 构建学科思维 15 复习点4 勾股定理及其逆定理的应用 11.（2025·聊城期中）如图所示的是某款自动感应水龙头的示意 图，在距离洗手台面的点处连接着出水口 所在的水管， 水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点 的距离为，出水口到点的距离为，且 ， 则红外线感应装置距离洗手台面的高度为____ ． 12 分层训练 构建学科思维 16 第12题图 12.【新考向：数学文化】（2025·安徽模拟） 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道 关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时， 踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至处时（即水平距离 ），踏板离 地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直， 则绳索的长是_____ ． 3.25 分层训练 构建学科思维 17 第13题图 13.如图，圆柱体的底面周长为， 是底面圆的 直径，在圆柱表面的高上有一点, , ,一只蚂蚁从点 出发，沿圆柱的表面爬行 到点的最短路程是___ . 5 分层训练 构建学科思维 18 14.（2025·禹州期中）某工厂计划生产一批自行车，如图1为自 行车的实物图，图2为其车架部分示意图，经测量，上管 ，下管， ，后下叉 ，后上叉．根据设计要求需保证 ， 请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由． 图1 图2 分层训练 构建学科思维 19 解：该车架符合设计要求，理由如下： 因为 ，， ． 所以 ， 所以 . 因为， ， 所以 ， 分层训练 构建学科思维 20 所以是直角三角形， ， 所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 21 $第一章 勾股定理 专题训练（一） 方程思想在勾股定理中的运用 1 类型1 单勾股列方程求解 【例1】 如图，在中， ，， ， 为的垂直平分线，求 的长. 分层训练 构建学科思维 2 解题思路：如图，连接，设，则， _______. 根据勾股定理，得 ， 可列方程为___________________. 解得 _ __. 分层训练 构建学科思维 3 1.（随州中考）如图，在中， ， ， ，为上一点，若是的角平分线，则 ___. 5 分层训练 构建学科思维 4 类型2 双勾股列方程求解 方法1 作高，利用勾股定理构建方程 条件：已知 的三边长. 方法：作，垂足为 . 结论： . 分层训练 构建学科思维 5 【例2】 如图，在中， ， ，，，求 的长. 解题思路：设，则 _______. 根据勾股定理，得 9 ，可列方程为________________ _____________. 解得 ___. 分层训练 构建学科思维 6 2.如图，在中，，，，求 的 面积. 题图 分层训练 构建学科思维 7 解图 解：如解图，过点作，交 的延长线于点 .设，则 . 因为 ， 所以，解得 . 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 8 方法2 共边，利用勾股定理构建方程 条件： ，于点 . 结论：（1），，，，， 中， 知二可求四； （2） ； （3） ； （4） . 分层训练 构建学科思维 9 3.如图，在中， ，于点 ， ，，求 的长. 分层训练 构建学科思维 10 解：设 ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， 即 ， 解得.所以 . 分层训练 构建学科思维 11 $第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 直角三角形的判定 1.（2025·马鞍山期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形 的是( ) C A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 2.（教材11习题变式）在中，，， 的对边分 别为，，，且 ，则下列说法正确的是( ) B A.是直角 B.是直角 C.是直角 D. 是锐角 分层训练 构建学科思维 3 3.若的三边长，，满足 ， 则 是( ) A A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，三个正方形的面积分别为， ， ，则分别以它们的一边为边围成的三角形 中， _____. 5.木工要做一个长方形桌面，量得做完的桌面的长为 ，宽 为，对角线长为 ，则这个桌面________ （填“合格”或“不合格”）. 不合格 6.若一个三角形的三边长之比为，且周长为 ，则它的 面积为_____ 216 分层训练 构建学科思维 5 7.在中，，，的对边分别为，， ，已知 ，，，则 是直角三角形吗？ 小亮的解答如下： 解： 不是直角三角形.理由如下： 因为， ， 所以 所以 不是直角三角形. 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程. 分层训练 构建学科思维 6 解：小亮的解答不正确. 正确的解答过程如下： 是直角三角形.理由如下： 因为 ， ， 所以 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 7 8.如图，已知 ，， ， 分层训练 构建学科思维 8 （1）求， 的长； 解：在中， ，， ， 由勾股定理，得 ，所以 在中， ，， ， 由勾股定理，得 ，所以 分层训练 构建学科思维 9 （2）判断 的形状，并说明理由. 解： 是直角三角形.理由如下： 因为， ， 所以 所以 分层训练 构建学科思维 10 因为， ， 所以 所以 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 11 知识点2 勾股数 9.下列各组数据，是勾股数的是( ) D A.，， B.，， C.，， D.12，16，20 10.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数 是____. 25 分层训练 构建学科思维 12 11.在中，，，的对边分别是，， ，下列条件 不能判定 为直角三角形的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 12.（教材14随堂练习 1变式）有五根小木棒，其长度分别为7， 15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 13.（益阳中考）已知，是线段 上的两点， ，，以点为圆心， 长为半径画弧；再 以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接， ， 则 一定是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 分层训练 构建学科思维 15 14.（贵阳中考）如图，每个小正方形的边长为1，，， 是小 正方形的顶点，则 _____. 分层训练 构建学科思维 16 15.如图是一块地，已知，， ， ，且 题图 （1）连接，说明 是直角三角形； 分层训练 构建学科思维 17 解图 解：如解图，连接 . 因为，所以 . 因为， ， 所以 又因为，所以 因为， ，所以 ，且 ，所以 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 18 （2）求这块地的面积 解： 答：这块地的面积是 分层训练 构建学科思维 19 16.（2025·桂林期中）我们在课堂上学习了勾股定理后，知道 “勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5； 5，12，13；7，24，25；9，40， 学生发现这些勾股数的 勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题 让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，____，____． 60 61 分层训练 构建学科思维 20 （2）若第一个数用字母为奇数，且 表示，则后两个数 用含 的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有 这样的规律：，， 于是他很快 表示出了第二个数为，则用含 的代数式表示第三个数为 _ ____． 分层训练 构建学科思维 21 （3）用所学知识说明（2）中用字母 表示的三个数是勾股数. 解：因为， ， 所以 又因为为奇数，且 ， 所以，， 都是正整数． 所以，， 是勾股数． 分层训练 构建学科思维 22 $