13.2.2三角形的中线、角平分线、高讲义 2025-2026学年人教版（2024） 八年级数学上册

第十三章 三角形 第三节 三角形的中线、角平分线、高 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点 三角形中的主要线段 2 题型精讲1根据三角形中线求长度 4 题型精讲2根据三角形中线求面积 6 题型精讲3重心的概念 7 题型精讲4三角形角平分线的定义 9 题型精讲5画三角形的高 9 题型精讲6与三角形的高有关的计算问题 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1. 明晰三角形中线、角平分线、高的定义，精准掌握其规范画法，能用符号语言表述。 2. 借折叠、测量等活动，知晓三角形三条中线交于重心，归纳不同类型三角形高的位置特点，理解其几何意义。 3. 经观察、操作、推理，洞悉三种线段与三角形面积、角度等要素的联系，提升几何直观与逻辑推理能力，从容应对新中考相关题型 。 【新知学习】 【知识点】三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的 。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的 。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 （简称三角形的高）。 （4）三角形有 中线，有 高线，有 角平分线，它们都是 . （5）锐角三角形的三条高在三角形 ，相交于三角形 一点，直角三角形有两条高与直角边 ，另一条高在三角形 ，它们的交点是 ；钝角三角形有两条高在三角形 ，一条高在三角形 ，三条高所在直线相交于三角形 一点. 例题1：下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 题型精讲1根据三角形中线求长度 例题1：（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练2】（25-26八年级上·全国）如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【变式训练3】（25-26八年级上·全国）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 题型精讲2根据三角形中线求面积 例题1：（黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，将四根长度分别为的木条钉成一个四边形木框，E，F分别是木条的中点，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（    ） ①为使其稳定，新增的木条的长度可能是； ②若阴影部分的面积为，则四边形木框的面积为 A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【变式训练4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 题型精讲3重心的概念 例题1：三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【变式训练4】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．三角形三条中线不一定交于一点 D．所有合数都是偶数 题型精讲4三角形角平分线的定义 例题1：（八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（八年级上·全国）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【变式训练4】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 题型精讲5画三角形的高 【例题1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·河北保定·期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4】请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    题型精讲6与三角形的高有关的计算问题 【例题1】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知一个三角形的面积是60，若三角形的底是10 m，该底上的高是x m，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【变式训练1】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【变式训练3】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 【变式训练4】（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【拓展培优】 【典例1】根据三角形中线求面积（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【变式训练2】（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点和在x轴上，其中负数b的立方根等于它本身，又． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)已知线段与y轴交于点，点P为y轴正半轴上一点，且满足，请直接写出点P的坐标； (3)点M为线段上一点（不与A，B两点重合），点N为线段上一点（不与A，C两点重合）． ①如图2，若，点Q是线段上一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点E，试探究与的数量关系并证明； ②如图3，若，，连接，交于点F．记的面积为，的面积为，的面积为，已知，求出n的值． 【典例2】动点 （24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【变式训练1】（22-23七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，a，b，c分别是，，的对边，点E是上一个动点（点E与B、C不重合），连，若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．    (1)求a，b，c的长； (2)若平分的周长，求的大小； (3)是否存在线段将三角形的周长和面积同时平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【典例3】与三角形的高有关的计算问题（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 【变式训练1】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M、N，，垂足为D，，则重叠部分的面积为 ．    【变式训练2】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25四川成都·期中）在中，画出边上的高，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 3．（17-18八年级·河南新乡·阶段练习）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 7．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 8．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、是线段、的中点，若四边形的面积是22，则的面积是 ． 11．（19-20八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 14．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 第三节 三角形的中线、角平分线、高 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点 三角形中的主要线段 2 题型精讲1根据三角形中线求长度 4 题型精讲2根据三角形中线求面积 6 题型精讲3重心的概念 7 题型精讲4三角形角平分线的定义 9 题型精讲5画三角形的高 9 题型精讲6与三角形的高有关的计算问题 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1. 明晰三角形中线、角平分线、高的定义，精准掌握其规范画法，能用符号语言表述。 2. 借折叠、测量等活动，知晓三角形三条中线交于重心，归纳不同类型三角形高的位置特点，理解其几何意义。 3. 经观察、操作、推理，洞悉三种线段与三角形面积、角度等要素的联系，提升几何直观与逻辑推理能力，从容应对新中考相关题型 。 【新知学习】 【知识点】三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段. (5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点. 【易错提醒】 0的绝对值是 0。 例题1：下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【来源】四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可． 【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 【变式训练1】下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】A 【难度】0.85 【来源】四川省绵阳市涪城区绵阳东辰国际学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、三角形的三条中线交于一点，说法正确，符合题意； B、三角形的角平分线是线段，原说法错误，不符合题意； C、三角形的高所在的直线交于一点，当三角形为锐角三角形时，交点在三角形的内部，当三角形为直角三角形时，交点在直角顶点上，当三角形为钝角三角形时，交点在三角形的外部，原说法错误，不符合题意； D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原说法错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查三角形的三条重要线段．熟练掌握三角形中的中线，角平分线和高线是三条线段，三角形的中线平分三角形的面积，以及高线所在的直线交于一点，该点可能在三角形的内部，外部和三角形上，是解题的关键． 题型精讲1根据三角形中线求长度 例题1：（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国）如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中线，是的中线，故选项A，B正确，不符合题意； ∴，，故选项C正确，不符合题意； 在中，的对边是，在中，的对边是，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 【答案】 8 6 【知识点】加减消元法、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6． 题型精讲2根据三角形中线求面积 例题1：（黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线， 根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴. 同理，. 故选：A. 【变式训练1】（河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积．根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论． 【详解】解：∵的中线和相交于点， ∴， ∴， ∴，， 但得不到；故①③正确，②④错误； 故选：B． 【变式训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，将四根长度分别为的木条钉成一个四边形木框，E，F分别是木条的中点，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（    ） ①为使其稳定，新增的木条的长度可能是； ②若阴影部分的面积为，则四边形木框的面积为 A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的三边关系及三角形中线的应用，解决本题的关键是熟练掌握三角形的三边关系及三角形中线，根据三角形三边关系及三角形中线的定义求解并判断即可． 【详解】解：①由三角形三边关系可得：，且， ， 新增的木条的长度不可能是， 故①错误； ②E，F分别是木条的中点， 故②正确， 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式训练4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【答案】见详解 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 题型精讲3重心的概念 例题1：三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】垂心、重心的概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 【答案】D 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、重心的概念、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意； B、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意． D、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练4】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．三角形三条中线不一定交于一点 D．所有合数都是偶数 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、重心的概念、判断命题真假 【分析】本题考查命题的真假判断，根据平行线的性质、不等式的性质、偶数和三角形中线判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故此选项是真命题，符合题意； B．如果，那么或，故此选项是假命题，不符合题意； C．三角形三条中线一定交于一点，故此选项是假命题，不符合题意； D．合数不一定是偶数，如9，故此选项是假命题，不符合题意； 故选A． 题型精讲4三角形角平分线的定义 例题1：（八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（八年级上·全国）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【变式训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练4】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 题型精讲5画三角形的高 【例题1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是关键．由三角形的高的定义容易得出结论． 【详解】解：由三角形的高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·河北保定·期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 【变式训练4】请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    【答案】作图见解析 【知识点】画三角形的高、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      题型精讲6与三角形的高有关的计算问题 【例题1】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知一个三角形的面积是60，若三角形的底是10 m，该底上的高是x m，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确得到方程是解题的关键． 根据三角形面积公式直接列方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 【变式训练1】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 【变式训练3】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)：，：：，补充见解析 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键. （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作延长线于，根据三角形面积公式得到，推出，求得，于是得到； （3）过作轴于点，设，，连接，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； 故答案为：，； （2）过作延长线于，， 由，可得， 在和中，， ， ； ， ， 故答案为：，； （3）过作轴于点，设，，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练4】（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【拓展培优】 【典例1】根据三角形中线求面积（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑥ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， 故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出， 故⑤错误； F不一定是的中点， 不能得出， 故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑦错误； ，， ， ， 故⑥正确； 综上可知，正确的有②③④⑥， 故答案为：②③④⑥． 【变式训练2】（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点和在x轴上，其中负数b的立方根等于它本身，又． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)已知线段与y轴交于点，点P为y轴正半轴上一点，且满足，请直接写出点P的坐标； (3)点M为线段上一点（不与A，B两点重合），点N为线段上一点（不与A，C两点重合）． ①如图2，若，点Q是线段上一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点E，试探究与的数量关系并证明； ②如图3，若，，连接，交于点F．记的面积为，的面积为，的面积为，已知，求出n的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①；见解析；②1 【知识点】立方根概念理解、根据平行线的性质探究角的关系、根据三角形中线求面积、坐标与图形综合 【分析】（1）根据b的立方根是它本身，求出负数b，再根据完全平方和绝对值的非负性求出n和c，即可得到三点坐标； （2）根据割补法用点P坐标表示出三角形的面积，代入两个三角形面积的关系，求解P点坐标即可； （3）①根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和求解即可； ②根据割补法将转化为和的面积差，然后根据等高三角形面积之比等于底边之比求解n值即可． 【详解】（1）解：∵负数b的立方根等于它本身， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由A，B，C坐标可知，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵P在y轴正半轴上， ∴； （3）①；证明如下： ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和以及坐标与图形性质，根据坐标确定三角形面积是本题解题的关键． 【典例2】动点 （24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【答案】(1) (2)7 (3)2， (4)和 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、【分析】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式，是解题的关键： （1）用的长减去点的路程，列出代数式即可； （2）求出点运动的时间，进而求出点的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可； （4）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； （2）由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； （3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； （4）当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． 【变式训练1】（22-23七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，a，b，c分别是，，的对边，点E是上一个动点（点E与B、C不重合），连，若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．    (1)求a，b，c的长； (2)若平分的周长，求的大小； (3)是否存在线段将三角形的周长和面积同时平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)； (3)不存在，见解析 【知识点】绝对值非负性、求一元一次不等式组的整数解、根据三角形中线求长度、等边对等角 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值； （2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性质得出，进而得出答案； （3）分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案． 【详解】（1）解：，且， ，， 解方程组，得：， 解不等式组，解得：， 满足的最大正整数为10， ，，，； （2）平分的周长，的周长为24， ， ，， ， 为等腰直角三角形，，； （3）不存在． 当将分成周长相等的和时，，， 此时，的面积为：． 的面积为：面积不相等， 平分的周长，不能平分的面积， 同理可说明平分的面积时，不能平分的周长． 【典例3】与三角形的高有关的计算问题（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、与三角形的高有关的计算问题、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系． 【详解】（1）解：， ，， ，, ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，； 故答案为：，； （2）由（1）可知，，，， ， ， ， ，且点P在x轴上，， ， ， ， 点P的坐标为或； （3）已知，如图所示，连接， ，，， ， ， ∵三角形与三角形面积之比为， ， 化简得：． 【变式训练1】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M、N，，垂足为D，，则重叠部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】过点E作于点G，根据等边三角形性质得出，，根据折叠得出，，求出，， 根据得出答案即可． 【详解】解：过点E作于点G，如图所示：    ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 根据折叠可知，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【答案】 8 【知识点】利用平行线间距离解决问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 【详解】解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 【变式训练3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）分在上，分别表示出的长，即可求解； （3）根据，则在上，代入（2）的式子，即可求解； （4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25四川成都·期中）在中，画出边上的高，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 2．（21-22全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】垂心、重心的概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 3．（17-18八年级·河南新乡·阶段练习）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义．根据题意得到是的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E是是中点，而O不一定是的中点，即可得到②． 【详解】解：是的角平分线， 则是的角平分线， 是的角平分线，故①正确； 是三角形的中线， 则E是是中点，而O不一定是的中点，故②错误． 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 6．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 二、填空题 7．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 8．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 6 // 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可． 【详解】解：（1）， 点B到的距离是； （2）当时，线段的值最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值是， 故答案为：6；． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、是线段、的中点，若四边形的面积是22，则的面积是 ． 【答案】11 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，证明，，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点、是线段、的中点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是22，， ∴． 故答案为：11． 11．（19-20八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形的面积，过点作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式计算即可．作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 【答案】分别是的角平分线．分别是的中线．是的高． 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查三角形的角平分线、高和中线的定义，关键是理解三角形的高、角平分线和中线的定义解答．利用三角形的高、角平分线和中线的定义解答即可． 【详解】解：由可知， 分别是的角平分线； 由可知， 分别是的中线； 由可知， 是的高． 14．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【答案】三角形的面积是45 ． 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 学科网（北京）股份有限公司 $