13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形中线、角平分线、高的核心知识点，系统梳理三者定义（中线连接顶点与对边中点，角平分线为内角平分线与对边交点的线段，高是顶点向对边作垂线的垂线段），通过关键词解析、图形构建及性质对比，以概念理解-性质掌握-应用区分为支架，帮助学生明确共性（均为线段，三条交于一点）与区别（关联中点、角相等、垂直）。 该资料亮点在于通过关键词提炼与图形想象培养几何直观（数学眼光），设计分层练习（选择、填空、综合题）发展推理意识（数学思维），结合折叠作角平分线等操作提升应用意识（数学语言）。课中辅助概念辨析与例题讲解，课后通过练习及答案解析助力学生查漏补缺，巩固知识。

2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的概念。 2. 能够准确区分三角形的中线、角平分线和高。 3. 知道三角形的中线、角平分线、高都是线段。 4. 了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高（或其延长线）分别交于一点。（注：对于高，只要求了解这一事实，不深入探讨交点位置差异及名称） 知识点梳理 一、 三角形的中线 1. 定义： 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 讲解： (1) 关键词：“顶点”、“对边中点”、“连接”、“线段”。 (2) 如图（请自行在脑海中构建或参考教材图形），在△ABC中，若点D是边BC的中点（即BD = DC），则线段AD就是△ABC的一条中线。 (3) 一个三角形有三条中线，因为每个顶点都可以和它对边的中点相连。 2. 性质与说明： (1) 三角形的中线是一条线段，它的两个端点分别是三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点。 (2) 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。（此为了解内容，不做深入要求） (3) 三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。 二、 三角形的角平分线 1. 定义： 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 讲解： (1) 关键词：“内角的平分线”、“与对边相交”、“顶点”、“交点”、“线段”。 (2) 如图（请自行在脑海中构建或参考教材图形），在△ABC中，若BE是∠ABC的平分线，且交边AC于点E，则线段BE就是△ABC的一条角平分线。 (3) 一个三角形有三条角平分线，因为三角形有三个内角。 2. 性质与说明： (1) 三角形的角平分线是一条线段，而不是射线。它的两个端点分别是三角形的一个顶点和这个顶点的角平分线与对边的交点。 (2) 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。（此为了解内容，不做深入要求） (3) 三角形的角平分线将它所在的内角分成两个相等的角。例如，若BE是∠ABC的平分线，则∠ABE = ∠CBE。 三、 三角形的高 1. 定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，简称三角形的高。 讲解： (1) 关键词：“顶点”、“对边所在直线”、“作垂线”、“顶点”、“垂足”、“线段”。 (2) 如图（请自行在脑海中构建或参考教材图形），在△ABC中，若从顶点C向它的对边AB所在直线作垂线，垂足为F，则线段CF就是△ABC的一条高。 (3) 一个三角形有三条高，因为每个顶点都可以向它的对边（或对边的延长线）作垂线。 2. 性质与说明： (1) 三角形的高是一条垂线段，它的两个端点分别是三角形的一个顶点和从这个顶点向对边所在直线作垂线得到的垂足。 (2) 三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点，这个点叫做三角形的垂心。（此为了解内容，不做深入要求） (3) 注意： · 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 · 直角三角形的两条直角边互为对方边上的高，第三条高在三角形的内部。 · 钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。（这部分了解即可，重点是掌握高的定义） 知识点总结 1. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，它们都是三角形中的重要线段。 2. 三角形的中线：连接顶点和对边中点的线段。一个三角形有三条中线。 3. 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。一个三角形有三条角平分线。 4. 三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。一个三角形有三条高。 5. 三角形的三条中线、三条角平分线、三条高（或其延长线）分别交于一点（这些交点的名称和性质后续可能会学习，现阶段只需了解这一事实）。 6. 区分这三个概念的关键在于它们的定义不同：中线关联“中点”，角平分线关联“角相等”，高关联“垂直”。 巩固练习 一、选择题 1．三角形的角平分线是（　　） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 2．下列说法正确的是（　　） A．同旁内角相等，两直线平行 B．若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．三角形的三条高至少有一条在三角形内部 3．如图，在中，已知点D、E分别为BC、AD的中点，且的面积等于，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 4．以下是四位同学在钝角三角形中作的边上的高正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC 的高的是(　　) A． B． C． D． 6．如图，D，E，F分别是 BC，AD，AC的中点，若阴影部分的面积为 6，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．14 C．15 D．16 7．如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC 中，AD 为BC边上的中线，若△ABD 与△ADC 的周长差为5，AC=8，则AB的长为(　　) A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 9． 如图，在中，，，D是BC边上的一点，若的周长比的周长大2，则AD是（　　） A．的高 B．的角平分线 C．的中线 D．都有可能 二、填空题 10．若一个三角形三条高线的交点为这个三角形的顶点，则这个三角形是　 　三角形. 11．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是　 　． 12．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长　 　． 13．如图，BD是△ABC的中线，CE是ABCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4.则△DEF 的面积为　 　 14． 如图，CD是的中线，DE是的中线，EF是的中线，若的面积为，则的面积为　 　. 15．如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=42°，D为边BC 延长线上的一点，BF平分∠ABC，E 为射线BF上一点.若直线 CE 垂直于△ABC 的一边，则∠BEC 的度数为　 　. 16．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝60°，∠BCD＝　 　． 17．如图，在中，，，与是的高，则 ． 三、解答题 18．任意剪一个三角形，用折叠的方法(如图)，作出这个三角形的三条角平分线。你发现了什么? (请与同伴交流) 19．如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长． 20．如图，已知的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，中，若是边上的中线，则的面积 的面积（填“”、“”或“”）； （2）如图2，若、分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，设，，联想第一小问结论，通过列方程组来求四边形的面积． （3）如图3，，，请求出四边形的面积； 21． 综合与实践：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. 已知：如图1，在中，点D是BC边上的中点，连接AD. 则：. （1）如图2，在中，点D是BC边上的中点，若，　 　； （2）如图3，在中，点D是BC边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程； （3）现在有一块四边形土地ABCD（如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙. 要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述. 可利用带刻度的直尺. 参考答案 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．直角 11．10 12． 13． 14．8 15．9°或51°或 129° 16．60° 17． 18．解：如图所示： 通过实验发现，三角形的三条角平分线相交于一点. 19．或． 20．（1）= （2）四边形的面积为20 （3） 21．（1）3 （2）解：， 证明：作AP⊥BC于点P， ∵CD+BD=BC，CD=2BD， ∴2BD+BD=BC ∴ ∵，， ∴​​​​​​​ （3）解：连接BD，取BD的中点Q连接AQ、CQ，折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分， 证明：∵Q是BD的中点 ∴AQ是△ABD的中线，CQ是△CBD的中线， ∴S△ABQ=S△ADQ，S△CBQ=S△CDQ， ∴S△ABQ+S△CBQ=S△ADQ+S△CDQ， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分. 学科网（北京）股份有限公司 $