13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （预习讲义）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （预习讲义） 学习目标 1. 理解并掌握三角形中线、角平分线、高的定义及画法。 2. 能区分三角形的中线、角平分线、高的不同特征。 3. 会应用三角形的中线、角平分线、高解决简单几何问题。 知识点梳理 1. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段。 · 性质： (1) 一个三角形有3条中线，且三条中线交于一点（称为重心）。 (2) 重心将每条中线分为2:1的两段（顶点到重心占三分之二）。 · 画法： (1) 找到边的中点； (2) 连接顶点与中点。 2. 三角形的角平分线 · 定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段。 · 性质： (1) 一个三角形有3条角平分线，且三条角平分线交于一点（称为内心）。 (2) 内心到三角形三边的距离相等。 · 画法： (1) 用量角器平分角； (2) 连接顶点与对边的交点。 3. 三角形的高 · 定义：从三角形一个顶点向它的对边（或延长线）作垂线，顶点到垂足的线段。 · 性质： · 一个三角形有3条高，三条高（或其延长线）交于一点（称为垂心）。 · 锐角三角形的垂心在内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在外部。 · 画法： 1. 过顶点作对边的垂线； 2. 标出垂足并连接线段。 知识点总结 名称 定义 交点名称 重要性质 中线 顶点到对边中点的线段 重心 重心分中线为2:1 角平分线 内角平分线与对边的交点 内心 内心到三边距离相等 高 顶点到对边的垂线段 垂心 垂心位置与三角形类型有关 注意事项： 1. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，而非直线或射线。 2. 画图时需标注中点、角平分线或垂直符号，确保准确性。 预习建议：结合教材中的图示动手画图，观察不同三角形中中线、角平分线、高的位置关系。 巩固练习 一、选择题 1．中，是中线，点D到的距离相等，则一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积为16，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 5．下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　) A． B． C． D． 6．下列关于三角形三条高的说法正确的是 （　　） A．均在三角形内部 B．均在三角形外部 C．不可能是三角形一边 D．以上说法均不正确 7．已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是（　　） A．14 B．9 C．16 D．不能确定 8．如图，三个图形A、B、C的面积分别用、、表示，按从小到大排列是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知D是的中点，分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知是的中线，若与的周长分别为，，则　 　． 11．如图，在中，，，则边上的高线为线段　 　． 12． 如图，BD是△ABC的中线，AB=3，BC=5，△ABD 的周长为9，则△BCD 的周长为　 　 13．如图，在中，，则　 　． 14．如图，是的中线，，和的周长的差是． 15．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是16cm2，则△BDE的面积是　 　 cm2． 16．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，且S△DEF＝4，则S△ABC＝　 　 ． 三、解答题 17．如图，，为的高，，相交于点， ，求的度数. 18．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长． 19．如图，与分别是△ABC的角平分线和高． （1）已知，，求度数； （2）探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 20．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 参考答案 1．B 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．B 10．9 11． 12．11 13． 14．3 15．4 16．32 17．解：因为是的高，所以 ，所以 .因为是的高，所以 ，所以 ，所以.又因为 ，所以 . 18．解：如图， ∵AB＝AC，BD是AC边上的中线， ∴AB＝2AD＝2CD， ∴AB＋AD＝3AD. ①当AB与AD的和是12厘米时， AD＝12÷3＝4（厘米）， 所以AB＝AC＝2×4＝8（厘米）， BC＝12＋15－8×2＝12＋15－16＝11（厘米）； ②当AB与AD的和是15厘米时， AD＝15÷3＝5（厘米）， 所以AB＝AC＝2×5＝10（厘米）， BC＝12＋15－10×2＝12＋15－20＝7（厘米）. 所以三角形的三边可能是8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米 19．（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， （2）解：能，理由如下： 设∠C=x，则∠B=18°+x ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-18°-2x =162°-2x ∵AE平分∠BAC， ， ， ∴∠BAD=180°-90°-∠B =90°-18°-x =72°-x， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =81°-x-(72°-x) =81°-72° =9° 20．解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， ∴S△ABD＝ S△ABC，S△BDE＝ S△ABD， ∴S△BDE＝ × S△ABC＝ S△ABC， ∵△ABC的面积为40， ∴S△BDE＝ ×40＝10， 设△BDE中BD边上的高为x， ∵BD＝5， ∴ ×5•x＝10， 解得x＝4， 故△BDE中BD边上的高为4 ∴的周长为， ∴与的周长差为． 学科网（北京）股份有限公司 $