13.2.1三角形的边讲义 2025-2026学年人教版（2024） 八年级数学上册

第十三章 三角形 第一节 三角形的边 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形边的定义 2 知识点2三角形的稳定性 4 题型精讲1构成三角形的条件 4 题型精讲2求第三边的取值范围 6 题型精讲3三角形三边关系的应用 7 题型精讲4三角形的稳定性及运用 9 题型精讲5四边形的不稳定性 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1.明晰三角形及边的概念，准确识别不同类型三角形。 2.掌握三角形三边关系定理，能判定三条线段能否构成三角形，能依已知两边求第三边范围。 3.经历三边关系探究，提升抽象、推理能力，能用数学思维解决新中考中的相关实际问题，发展直观想象、逻辑推理素养。 【新知学习】 【知识点1】三角形边的定义 构成三角形需满足：三边中任意两边之和 第三边、任意两边之差 第三边； 【知识点二】三角形的稳定性 三角形的形状是 ，三角形的这个性质叫做三角形的 。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 题型精讲1构成三角形的条件 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 例题1：（2025八年级上·全国）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，9，17 D．6，8，10 【变式训练1】（24-25·重庆江北·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25·山东青岛·阶段练习）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 题型精讲2求第三边的取值范围 【思维建模】求三角形第三边取值范围，核心是依托 “三边关系”： 1.先明确已知两边的长度，设较长边为a、较短边为b。 2.第三边c需同时满足两个条件：既大于两边之差（a - b），又小于两边之和（a + b），即(a - b < c < a + b)。 例题1：（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练1】（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 题型精讲3三角形三边关系的应用 例题1：（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 例题2：（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【变式训练1】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【变式训练2】（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 【变式训练3】（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 题型精讲4三角形的稳定性及运用 例题1：（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【变式训练2】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【变式训练3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 题型精讲5四边形的不稳定性 例题1：（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【变式训练1】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【变式训练2】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 【变式训练3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【拓展培优】 【典例1】（16-17七年级下·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【变式训练2】已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由． 【典例2】 （2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【典例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，，，是上的中线，则的长可能是（    ） A． B．2 C． D．3 5．（19-20八年级上·广西南宁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm 6．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知某三角形的三条边长分别为，，关于的不等式有且只有个正整数解，则a的取值范围为 ． 9．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为，则最长边是 ． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 三、解答题 13．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 15．（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 16．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 第一节 三角形的边 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形边的定义 2 知识点2三角形的稳定性 4 题型精讲1构成三角形的条件 4 题型精讲2求第三边的取值范围 6 题型精讲3三角形三边关系的应用 7 题型精讲4三角形的稳定性及运用 9 题型精讲5四边形的不稳定性 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1.明晰三角形及边的概念，准确识别不同类型三角形。 2.掌握三角形三边关系定理，能判定三条线段能否构成三角形，能依已知两边求第三边范围。 3.经历三边关系探究，提升抽象、推理能力，能用数学思维解决新中考中的相关实际问题，发展直观想象、逻辑推理素养。 【新知学习】 【知识点1】三角形边的定义 构成三角形需满足：三边中任意两边之和 大于 第三边、任意两边之差小于第三边； 【知识点二】三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 题型精讲1构成三角形的条件 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 例题1：（2025八年级上·全国）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，9，17 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不能组成三角形 B．，不能组成三角形 C．，不能组成三角形 D．，能组成三角形 故选：D 【变式训练1】（24-25·重庆江北·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解本题的关键． 根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【详解】解：两根长度为和的木棒， 则第三边的取值范围为：， 即：， 故选：C． 【变式训练3】（24-25·山东青岛·阶段练习）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系即可求解，解题的关键是正确理解三角形形成的条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：任取三根，共有，，；，，；，，；，，四种情况， ， ∴，，不能构成三角形， ∴能构成三角形的有，，或，，或，，，共三种， 故选：C． 题型精讲2求第三边的取值范围 求三角形第三边取值范围，核心是依托 “三边关系”：先明确已知两边的长度，设较长边为a、较短边为b。 第三边c需同时满足两个条件：既大于两边之差（a - b），又小于两边之和（a + b），即(a - b < c < a + b)。 例题1：（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【变式训练1】（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、加减消元法、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 【变式训练3】（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 题型精讲3三角形三边关系的应用 例题1：（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用．由题意知，结合构成三角形的三边关系即可得到，代值求解即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两点可以重合， 可以为， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 例题2：（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 【变式训练1】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 【变式训练2】（2025·四川成都·模拟预测）已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为 ； 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，因式分解等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先对，进行因式分解，在根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得，的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当三边为，，时，能构成三角形， ∴底边长为； 当三边为，，时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为， 故答案为：． 【变式训练3】（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 题型精讲4三角形的稳定性及运用 例题1：（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：B 题型精讲5四边形的不稳定性 例题1：（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【变式训练1】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 【变式训练2】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 【答案】②③ 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性质． 利用三角形的稳定性进行判断即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可得， 具有稳定性的图形是②和③， 故答案为：②③． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 【拓展培优】 【典例1】（16-17七年级下·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】加减消元法、构成三角形的条件 【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可． 【详解】 ①-②得：y=3-m 把y=3-m代入②，得x=3m-3 故方程组的解为 若x为腰，y为底，则2x+y=7 即2(3m-3)+3-m=7 解得：m=2 此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件 若y为腰，x为底，则2y+x=7 即2(3-m)+3m-3=7 解得：m=4 此时x=9，y=-1，不合题意 若x=y，即3m-3=3-m 解得： 此时腰为，底为 但+<4，不符合构成三角形的条件 故不合题意 所以满足条件的m为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、构成三角形的条件 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 【变式训练2】已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由． 【答案】a，b，m为长度能构成一个三角形，以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形 【知识点】加减消元法、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出，结合可求出a，b，m的值，然后利用三角形三边关系和等腰三角形的定义判定即可． 【详解】解∶∵是方程组的解， ∴， 又， ∴联立方程组，解得， ∴， ∴， ∵， ∴a，b，m为长度能构成一个三角形， 以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形． 【典例2】 （2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、一元一次不等式组的其他应用、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 【典例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、乘方的应用、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形的分类、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系． 根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：由题知  ，， ， 能与a、b一起组成三角形的第三边c满足， 可选、， 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据几何图形的基本性质，三角形具有稳定性，而其他多边形不具备这一特性． 【详解】解：三角形是最稳定的几何图形，因为当三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，无法变形．而四边形（如正方形）、五边形、六边形等边数超过3的多边形，在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 故选A． 3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系定理. 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边.对于每组线段，只需验证最长边是否小于其余两边之和即可. 【详解】A：1、2、3，最长边为3，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B：3、4、5，最长边为5，，满足条件，可以构成三角形； C：1、1、3，最长边为3，，不满足条件，无法构成三角形； D：因选项B符合条件，故D错误； 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，，，是上的中线，则的长可能是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】延长到点E，使，构造，得出，再利用三角形的三边关系得出的取值范围，即可求出结果． 【详解】解：如图，延长到点E，使，    ∵是边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5．（19-20八年级上·广西南宁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质和三角形两边之差小于第三边即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 如图：在上取点P，连接 ∵垂直平分， ∴ ∴ 在中， 当P、B、C共线时，即P运动到与重合时，有最大值，此时． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段之差的最大值、三角形的三边关系、垂直平分线的性质等知识点，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键． 6．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、加减消元法、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用．由题意知，结合构成三角形的三边关系即可得到，代值求解即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两点可以重合， 可以为， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知某三角形的三条边长分别为，，关于的不等式有且只有个正整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系，一元一次不等式的正整数解，掌握三角形两边之和大于第三边，结合不等式正整数解的个数确定参数范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到，求得，由不等式有且只有3个正整数解，得到，于是得到结论． 【详解】解：三角形的三边长为，， ， ， 有且只有个正整数解，即有且只有 个正整数解， ， ， 的取值范围为 故答案为： ． 9．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为，则最长边是 ． 【答案】36cm 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的识别与有关概念 【分析】设三角形的三边长为2x，3x，4x，找出等量关系：三角形的周长为81cm，列方程求出x的值，继而可求出三角形的边长． 【详解】解：设三角形的三边长为2x，3x，4x， 由题意得，2x+3x+4x=81， 解得：x=9， 则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm， 所以，最长边长为36cm． 故答案是：36cm． 【点睛】本题考查了一元一次方程在三角形中的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、构成三角形的条件 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 【答案】3 【知识点】代入消元法、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 解题时首先求出的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，最后取整，看有几种情况，即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 将代入得:， 解得:， 将代入得:， 解得：， ∴方程组的解. ∵的两边是方程组的解， ∴第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：． ∴这样的三角形有个． 故答案为：． 三、解答题 13．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 【答案】有3个 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，牢记三角形的三边关系定理是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：，即， 且x为正整数，则x可取的值为7，8，9， ∴这样的三角形有3个． 15．（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 16．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 1 学科网（北京）股份有限公司 $