13.1三角形的概念讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的概念、特性与分类，构建从图形识别到边角关系理解的完整知识链，以“定义—特征—分类—应用”为主线，层层递进，帮助学生建立清晰的几何认知结构。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出数学眼光中的几何直观与空间观念，如通过例题1和变式训练引导学生观察线段组合是否构成三角形，培养抽象能力；在三角形个数问题中融入逻辑推理，强化推理意识，例如题型精讲1借助图形分析提升学生有序思考能力；同时借助思维导图梳理知识点脉络，便于学生形成系统认知。课中可辅助教师精准施教，课后利于学生查漏补缺，巩固基础并拓展思维，真正实现学以致用。

第十三章 三角形 第一节 三角形的概念 01体系构建·思维可视 2 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形及其相关概念 3 知识点2三角形的特性 3 例题1三角形的识别 4 例题2三角形中的相邻与相对关系 4 知识点3 三角形的分类 7 例题 8 题型精讲1 三角形的个数问题 11 例题 11 03拓展培优 13 04课堂检测 17-28 知识思维导图 课程学习目标 1.能准确说出三角形的定义，明确由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形； 2.会用符号表示三角形，能指出三角形的顶点、边、角； 3.能按边的关系（不等边、等腰、等边三角形）对三角形进行分类，并举例说明； 4.理解三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边； 5.会运用三边关系判断三条线段能否组成三角形； 6.能结合简单实例，说明三角形在生活中的应用，感受数学与实际的联系。 【新知学习】 【知识点1】 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 ，有 。 相邻两边组成的角叫做三角形的 ，简称三角形的角。有 。 相邻两边的公共端点叫做三角形的 。有 。 用符号 来表示三角形，即表示为 作“ ABC”。 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 【知识点二】三角形的特性 三角形有下面三个特性： （1）三角形有 线段 （2）三条线段不在 直线上 三角形是 图形 （3）首尾 相接 例题1：下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A．B．C． D． 【变式训练1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   例题2：如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】在∆ABC中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在∆BEC中，边的对角 ． 【知识点03】 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做 ；有两条边相等的三角形叫做 . 在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ,另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ,腰和底边的夹角叫做 . 2.三角形的分类 例题1：下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【变式训练1】如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式训练2】如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【变式训练3】把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 题型精讲1 三角形的个数问题 例题1：图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1】如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 【变式训练2】看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【变式训练3】（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【拓展培优】 【典例1】（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【变式训练1】如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【变式训练2】如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【变式训练3】如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 含边的三角形有． 【典例2】如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 2．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 3．已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．若一个三角形的两个内角的度数分别为，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 5．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB．正确的个数为( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为(   ) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 二、填空题 9．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 10．图中有 个三角形． 11．在中，，，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 12．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是 .（填写序号） （1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数） 13．如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 14．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 三、解答题 15．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 16．（1）如图1，共有________条线段，分别是________________； （2）如图2，若有一点，与线段不在同一直线上，分别连接各点，则共有_________个三角形，分别为_______________．    17．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 18．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 19．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 第一节 三角形的概念 01体系构建·思维可视 2 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形及其相关概念 3 知识点2三角形的特性 3 例题1三角形的识别 4 例题2三角形中的相邻与相对关系 4 知识点3 三角形的分类 7 例题 8 题型精讲1 三角形的个数问题 11 例题 11 03拓展培优 13 04课堂检测 17-28 知识思维导图 课程学习目标 1.能准确说出三角形的定义，明确由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形； 2.会用符号表示三角形，能指出三角形的顶点、边、角； 3.能按边的关系（不等边、等腰、等边三角形）对三角形进行分类，并举例说明； 4.理解三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边； 5.会运用三边关系判断三条线段能否组成三角形； 6.能结合简单实例，说明三角形在生活中的应用，感受数学与实际的联系。 【新知学习】 【知识点1】 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由 不在同一直线上 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB、BC、AC 。 相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠A、∠B、∠C 。 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点A、B、C 。 用符号 △ 来表示三角形，即表示为 △ABC 读作“三角形ABC”。 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 【知识点二】三角形的特性 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 例题1：下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【来源】河北省廊坊市第十中学八年级上学期期中数学试题 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答． 【详解】 解：符合三角形概念的是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边． 【变式训练1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省德州市宁津县第四实验中学八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式训练2】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【来源】海南省省直辖县级行政单位屯昌县八年级上学期期末数学试题 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题． 【详解】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 例题2：如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省佳木斯市富锦市第二中学2024-2025学年八年级上学期阶段验收测试数学试卷 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 【变式训练1】在∆ABC中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市八年级上学期部分学校第一次线上数学教学质量监测联考试题 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 【变式训练2】如图，在∆BEC中，边的对角 ． 【答案】/ 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查的是三角形的概念，根据三角形相关概念直接解决即可． 【详解】解：在中，边的对角是， 故答案为：． 【知识点03】 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2.三角形的分类 例题1：下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练1】如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【来源】河北省邢台市信都区2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 【变式训练2】如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【答案】 锐角 等边 【来源】 2025年山东省青岛市青岛大学附属中学新生班考数学试题 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②三角形按角分是锐角三角形， ③按边分是等边三角形， 故答案为：，锐角，等边． 【变式训练3】把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 题型精讲1 三角形的个数问题 例题1：图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】天津市宁河区八年级上学期阶段性练习数学试卷 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【变式训练1】如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 6 / 【来源】贵州省安顺市上学期“初高衔接”五校联考（一）八年级数学试题 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的认识，涉及三角形的个数问题，三角形外角的定义及性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】图中三角形的个数为6个，分别是； 以为外角的三角形是； 在中，边的对角是； 在中，的对边是； 故答案为：6；；；． 【变式训练2】看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 26． 【变式训练3】（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【答案】 4 B，G，E 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：；B，G，E；；． 【拓展培优】 【典例1】（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 【变式训练1】如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【答案】(1)5个 (2)的边：，角： (3)是的边，是的角 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． （1）根据三角形的定义，观察图形可得； （2）根据三角形的边、角的定义，即可求解； （3）根据三角形的边、角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：图中有：，共5个； （2）解：的边：，角：； （3）解：是的边， 是的角． 【变式训练2】如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【变式训练3】如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 【答案】(1)图中有7个三角形，即 (2)的三个内角是 (3)含边的三角形有 【知识点】角的表示方法、三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【详解】（1）解：图中有7个三角形， 分别为：； （2）解：在中， 它的三个内角是； （3）解：由（1）知图中有7个三角形，即， 含边的三角形有． 【典例2】如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【来源】8.1.1认识三角形 第1课时 三角形的有关概念及分类 【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形．按三角形的分类标准逐选项分析. 【详解】钝角三角形属于按角分类，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 3．已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 4．若一个三角形的两个内角的度数分别为，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和求出第三个内角，根据三角形的分类确定即可． 【详解】解：∵一个三角形的两个内角的度数分别为， ∴第三个角为： ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：B． 5．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 6．如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB．正确的个数为( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质：对应角相等，对应线段、对应点的连线平行（或在同一条直线上）即可判定. 【详解】①∵将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF， 根据平移的性质可得： AC=DF，AC∥DF，∠ABC＝∠DEF，AD∥BE， 故①、②正确；③错误； ∵  AD∥BE ∴  ∠DAE＝∠AEB 故④正确； 综上所述：正确的为：①②④. 故答案为B. 【点睛】本题主要考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 7．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 8．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为(   ) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】∵在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， ∴x+2x+3x=180°，解得x=30°， ∴∠C=3x=90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选：C． 二、填空题 9．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 10．图中有 个三角形． 【答案】14 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 11．在中，，，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，熟记钝角三角形的概念是解题的关键． 利用三角形的内角和定理求得的度数即可判断． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 12．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是 .（填写序号） （1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数） 【答案】（1）（2）（3）（5） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、三角形的分类、判断三边能否构成直角三角形 【分析】(1)(2)(3)(5)根据勾股定理的逆定理进行判断，(4)根据直角三角形的定义判断． 【详解】解：（1），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意； （2），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意； （3）由，可得：，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意； （4），此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； （5），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意； 故答案为：（1）（2）（3）（5）. 13．如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 14．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【知识点】图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 三、解答题 15．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 16．（1）如图1，共有________条线段，分别是________________； （2）如图2，若有一点，与线段不在同一直线上，分别连接各点，则共有_________个三角形，分别为_______________．    【答案】（1）6 ，，，，，，；（2）6，，，，，， 【知识点】线段的和与差、三角形的个数问题 【分析】（1）根据线段的定义求解即可； （2）根据三角形的定义求解即可． 【详解】（1）如图1，共有6条线段， 分别是，，，，，； （2）共有6个三角形，分别为，，，，，． 17．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 18．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 19．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $