13.1三角形的概念讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.1三角形的概念xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】三角形 1 【知识点2】等腰三角形的性质 2 【知识点3】等边三角形的性质 3 【题型1】三角形的概念 5 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 7 【题型3】三角形的个数 8 【题型4】三角形的分类 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 1.（2024秋•广阳区校级月考）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，由此即可判断． 【解答】解：由题意得：只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025•扬州三模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE=CO．若∠AOD=60°，则∠AED的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【解答】解：∵CE=CO， ∴∠AED=∠COE， ∵CO=DO， ∴∠OCD=∠D， ∵∠OCD=∠AED+∠COE， ∴∠D=∠OCD=2∠AED， ∵∠AOD=∠AED+∠D=60°， ∴∠AED=20°， 故选：B． 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024春•陆丰市校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时，P，Q两点停止，当t为（　　）时，△PBQ是直角三角形． A．1s B．2s C．3s D．1s或2s 【答案】D 【分析】根据题意，△PBQ是直角三角形分两种情况，一是∠BQP=90°，二是∠BPQ=90°，分别求解即可． 【解答】解：依题得AP=t cm,BQ=t cm, ∵△ABC是边长3cm的等边三角形， ∴AB=BC=3cm,∠B=60°， ∴BP=（3-t）cm, 当∠BQP=90°时， BP=2BQ，即3-t=2t得t=1， 当∠BPQ=90°时， BQ=2BP，即t=2（3-t）得t=2， 故当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形． 故选：D． 2.（2024•浙江模拟）如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，作AE⊥BD于点E，若BC=7，∠AEC=150°，则CD的长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD．根据三角形全等的判定以及三角形相似的性质是解题的关键． 【解答】解：过点E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD，交BD延长线于点F， ∵∠AEC=150°， ∴∠AEG=60°， ∴△AEG是等边三角形， ∵∠BAE+∠EAC=∠GAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAG， 在△AGC和△AEB中， ， ∴△AGC≌△AEB（SAS）， ∴∠AGC=∠AEB=90°， ∵∠EGA=60°，∠AGC=90°， ∴∠EGC=∠AGC-∠EGA=30°， ∠GCE=∠GEC-∠EGC=60°， 设EG=x, ∴， ∵∠AEC=150°，∠AED=90° 则∠CEF=150°-90°=60° ∴， ∵∠CFD=∠AED，∠ADE=∠CDF， ∴△CFD∽△AED， ∴， ∴， 故选：C． 【题型1】三角形的概念 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【举一反三1】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项． 【举一反三2】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【举一反三3】三角形是指（　　） A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【答案】C 【解析】解：三角形是指由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形， 故选：C． 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】在△ABE中，边所对的角是（   ） A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 【答案】B 【解析】解：在△ABE中，边所对的角是∠AEB． 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在△中，的对边是． 【举一反三2】如图，△中，与的夹角是            ，的对边是            ，，的公共边是            ．    【答案】 【解析】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是． 【举一反三3】如图，请写出图中以E为顶点的三角形：　     　． 【答案】△EBF，△EBA，△EAF，△EAD． 【解析】解：图中以E为顶点的三角形：△EBF，△EBA，△EAF，△EAD． 故答案为：△EBF，△EBA，△EAF，△EAD． 【举一反三4】如图，写出以∠A 为角的三角形，写出以BC为边的三角形. 【答案】解： 以∠A为角的三角形有△ABC，△ABE. 以BC为边的三角形有△ABC，△EBC，△BCD. 【题型3】三角形的个数 【典型例题】下列图形中三角形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.9个 D.5个 【答案】D 【解析】解：图中的三角形有：△ACD、△ACB、△AED、△ABD、△DBE共5个， 故选：D． 【举一反三1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】A 【解析】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD， ∴图中共有5个三角形． 故选：A． 【举一反三2】线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A.8个 B.10个 C.12个 D.20个 【答案】B 【举一反三3】如图，图中共有     个三角形． 【答案】4 【解析】解：图中有△OAD，△OBC，△BDE，△ACE，共4个． 【举一反三4】如图所示图形中，共有 　   　个三角形，其中以B为顶点的三角形有 　   　个，以AB为边的三角形有 　   　个． 【答案】15 9 6 【解析】解：要找出所有的三角形，首先要有次序．以A为顶点时，BF上有6条线段，组成6个三角形；BC上有6条线段，组成6个三角形；再加上△BDM，△BEN，△BCF共15个三角形．其中以B为顶点的有AD上的线段3条，AE上的线段3条，AC上的线段3条，共9个．以AB为边的第三个顶点有剩下的6个顶点． 【举一反三5】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　  　个三角形；图③有　  　个三角形；图④有　  　个三角形；…猜测第七个图形中共有　   　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　       　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 【题型4】三角形的分类 【典型例题】如图，图中的锐角三角形有　　 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】图中有三角形：△ABD，△ADC，△ABC，其中锐角三角形是：△ABC，△ADC共2个． 故选：C． 【举一反三1】有两个角是锐角的三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【答案】D 【解析】有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角，也可能是钝角， ∴这个三角形可能是锐角三角形，直角三角形，也可能是钝角三角形， 故选：D． 【举一反三2】说出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】解：由题意得锐角三角形有，直角三角形有，钝角三角形有． 【举一反三3】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】解：由题意得：锐角三角形有：△AED，直角三角形有：△ACD，钝角三角形有：△ABC，△BDC． 【举一反三4】如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． （1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称； （2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】解：（1）如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB； （2）△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1三角形的概念 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】三角形 1 【知识点2】等腰三角形的性质 2 【知识点3】等边三角形的性质 2 【题型1】三角形的概念 3 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 4 【题型3】三角形的个数 5 【题型4】三角形的分类 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 1.（2024秋•广阳区校级月考）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025•扬州三模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE=CO．若∠AOD=60°，则∠AED的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024春•陆丰市校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时，P，Q两点停止，当t为（　　）时，△PBQ是直角三角形． A．1s B．2s C．3s D．1s或2s 2.（2024•浙江模拟）如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，作AE⊥BD于点E，若BC=7，∠AEC=150°，则CD的长为（　　） A．3 B． C． D． 【题型1】三角形的概念 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】三角形是指（　　） A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】在△ABE中，边所对的角是（   ） A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，△中，与的夹角是            ，的对边是            ，，的公共边是            ．    【举一反三3】如图，请写出图中以E为顶点的三角形：　     　． 【举一反三4】如图，写出以∠A 为角的三角形，写出以BC为边的三角形. 【题型3】三角形的个数 【典型例题】下列图形中三角形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.9个 D.5个 【举一反三1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【举一反三2】线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A.8个 B.10个 C.12个 D.20个 【举一反三3】如图，图中共有     个三角形． 【举一反三4】如图所示图形中，共有 　   　个三角形，其中以B为顶点的三角形有 　   　个，以AB为边的三角形有 　   　个． 【举一反三5】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　  　个三角形；图③有　  　个三角形；图④有　  　个三角形；…猜测第七个图形中共有　   　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　       　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【题型4】三角形的分类 【典型例题】如图，图中的锐角三角形有　　 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三1】有两个角是锐角的三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【举一反三2】说出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【举一反三3】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【举一反三4】如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． （1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称； （2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $