1.7角平分线的性质 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《1.7角平分线的性质》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 2．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 二、填空题 8．如图，若作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是 ． 9．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为 ． 10．如图，在中，是角平分线， 交于点E，若，则 °． 11．如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ． 12．如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ． 13．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 14．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 三、解答题 15．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 16．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，平分，平分，于点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 18．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 19．如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 20．如图1，已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与射线交于点D，且，当时，的长为 【感悟】 （1）试说明：①；②； 【探究】 （2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？请说明理由； 【拓展】 （3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 由题意无法证明，故C不一定正确． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键． 过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度． 【详解】解：如图，过D作于E， 则长即为 长的最小值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于F， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，作于， 、分别平分和，， ， 与之间的距离， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点O作于点F，根据角平分线的性质可得，再由以及的周长是8，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F， ∵分别为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵的面积是16， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是8， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 8．角平分线上的点到角的两边距离相等 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． 9．①②③④ 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定；正确地识别图形是解题的关键．根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， ， 同理可得，， ， 射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线， 也是的平分线． 故答案为：①②③④． 10．30 【分析】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质定理；根据角平分线的性质得到，再结合平行线的性质定理得到，即可求出． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． 11．8 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质可得，根据，即可求出长． 【详解】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F， ∴． ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 13．42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线，交于点H，即可作答． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，的平分线和点H即为所求： 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，角平分线的意义，解题关键是掌握上述性质求解． （1）先利用角平分线的意义分别求出与，再利用三角形的内角和定理求得的度数； （2）先利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式求的面积． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）∵平分，于点，于点，， ∴， 又， ∴的面积为． 18．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 19．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)（2）中所得结论成立，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答； （3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是直角，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：（2）中所得结论成立，证明如下： 如图，过点F作于M．作于N，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 20．（1）①见解析；②见解析； （2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，新的结论是：，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线性质、全等三角形的判定与性质、垂直的性质等知识点，解题的关键在于通过作辅助线构造全等三角形，利用角平分线的性质和全等三角形的对应边相等，结合题目条件逐步推理出线段间的关系，从而解决问题． ①根据AP平分得，根据，得，由此依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； ②根据和全等得，再根据根据即可得出结论； 过点C作于点E，于点F，依题意得，同①证明和全等得，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，，据此即可得出答案； 过点C作于点K，于点T，依题意得，同①证明和全等得，，再证明和全等得，进而得，据此即可得出答案． 【详解】①证明：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ②证明：， 由①可知：， ； 仍然成立，理由如下： 过点C作于点E，于点F，如图2所示： ， 依题意得：， 同①证明：≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ； 不成立，新的结论是：，理由如下： 过点C作于点K，于点T，如图3所示： ， 依题意得：， 同①证明：≌， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $