第13章三角形单元测试（提升卷）2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第13章三角形单元测试（提升卷） 一．选择题（共10小题） 1．有长2分米、4分米两根小棒，再选一根长（　　）分米就一定能拼成一个三角形． A．1.9 B．2.3 C．6 D．6.5 2．下列说法正确的是（　　） A．1条射线长12厘米 B．角的大小与边的长短有关系 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．圆的周长和它的直径成正比例 3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 5．如图，∠2＝136°，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则∠1为（　　） A．108° B．136° C．98° D．92° 6．如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝50°，∠3＝76°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 7．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE 的度数为（　　） A．89° B．83° C．93° D．103° 8．∠1、∠2和∠3是一个三角形的三个内角．如果∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 10．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°； 结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 二．填空题（共5小题） 11．在△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，且∠C＝2∠B．那么如果按角分，这是一个　 　 三角形；按边分，这是一个　 　 三角形． 12．如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　 　 ． 13．如图，将一个等腰三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　 ． 14．将一副三角尺按如图的方式拼摆，∠BED的度数为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1＝50°，∠2＝60°，求∠A的度数． 17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为边AB上的高，AD与CE交于点F，∠B＝44°，∠ACB＝80°．求∠AFC的度数． 19．如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 20．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 21．【课本再现】（1）如图1，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°．则∠DAB等于 　 　 ，∠BAC等于 　 　 ； 【类比探究】（2）我们在小学知道，三角形的内角和为180°，请你在（1）的启发下，利用图1给予证明吗？ 【结论应用】（3）如图，直线DE经过点A，∠BAC＝70°，∠ACB 比∠B大30°，且∠DAB＝40°，求证：BC∥ED． 22．如图1、图2，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在边AC所在直线上，作DE⊥BC，垂足为点E，BM为∠ABC的平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G． 特例感悟： （1）如图1，延长AB交DG的延长线于点F，若BM∥DG，∠F＝30°， ①∠ABC＝　 　 °； ②请说明AC⊥AB． 深入探究： （2）如图2，若0°＜α＜90°，点M在线段AD上，DG的延长线与MB的延长线交于点H，请用含α的代数式表示∠BHD，并说明理由． 拓展延伸： （3）当点D在射线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式． 第13章三角形单元测试（提升卷）答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D C C B A B 1．解：由三角形三边关系可得：4﹣2＜第三边＜4+2． ∴2＜第三边＜6， 故选：B． 2．解：A、射线不能度量，没有长度，说法错误，故不符合题意； B、角的大小与边的长短无关，说法错误，故不符合题意； C、等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，说法错误，故不符合题意； D、圆的周长和它的直径成正比例，说法正确，故符合题意； 故选：D． 3．解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 4．解：∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OB′， ∵∠OAC＝20°， ∴∠OB′A＝20°， ∴∠A′OA＝20°×2＝40°． 故选：B． 5．解：∵∠2+∠4+∠6＝180°，∠2＝136°， ∴∠6+∠4＝180°﹣136°＝44°， ∵∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠4+∠6）＝88°， 又∵∠1+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°， ∴∠1＝180°﹣88°＝92° 故选：D． 6．解：∵光线的反射角等于入射角，∠1＝50°，∠3＝76°， ∴∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3＝76°，∠2＝∠4， ∴． 故选：C． 7．解：∵∠ACB是△FCD的外角， ∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC， ∴∠DFC＝∠ACB﹣∠CDF＝45°﹣18°＝27°， ∴∠AFE＝180°﹣60°﹣27°＝93°， 故选：C． 8．解：∵三角形三个内角的和为180°， ∴∠1+∠2+∠3＝180°． 又∵∠1＝∠2+∠3， 整理得∠1+∠1＝180°，即2∠1＝180°． 解得∠1＝90°． 有一个角是直角的三角形是直角三角形． A、锐角三角形三个角都小于90°，所以此选项错误，不符合题意； B、直角三角形有一个角是90°，所以此选项正确，符合题意； C、钝角三角形有一个角大于90°，所以此选项错误，不符合题意； D、可确定为直角三角形，所以此选项错误，不符合题意． 故选：B． 9．解：∵∠ABC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°）． 故选：A． 10．解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°， ∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°， ∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°， ∵BC 平分∠OBA， ∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意； 结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下： ∵∠BAD＝∠C+∠ABC， ∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC， ∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO， ∴，∠ABC∠ABO． ∴∠C∠MAB∠ABO， 又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO， ∴∠C∠MAB∠ABO （∠MAB﹣∠ABO） 90°＝45°． ∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C， ∴∠C+∠C＝180°， 即∠C＝90°， ∵∠C＝2∠B， ∴，∠A＝90°﹣45°＝45°， ∴按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：直角，等腰． 12．解：如图， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠PCB∠ABC，∠PCD∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P， ∴∠A＝2∠P， ∵∠P＝40°， ∴∠A＝80°， 故答案为：80°． 13．解：∵△EFG是等腰直角三角形， ∴∠G＝45°， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠G＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝85°． 故答案为：85°． 14．解：∵图中是一副直角三角板， ∴∠DAB＝30°，∠ABE＝45°， ∴∠DAB+∠ABE＝30°+45°＝75°， 故答案为：75°． 15．解：过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，如图， 则∠APB+∠PAF＝90°， ∵∠APB+2∠PAB＝90°， ∴∠PAF＝2∠PAB， ∴∠EAB＝∠FAB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠BAC+2∠ABC＝180°， ∵∠PBC＝∠BAC，∠PBC+∠CBF＝180°， ∴∠CBF＝2∠ABC， ∴∠ABE＝∠ABF， 在△ABE和△ABF中， ， ∴△ABE≌△ABF（ASA）， ∴AE＝AF，BE＝BF，∠AEB＝∠AFB＝90°， ∵AB＝AC，BC＝8， ∴BEBC＝4＝BF， 在Rt△PBE中， ∵PB＝5 ∴由勾股定理，得PE3，PF＝PB+BF＝5+4＝9， 设AF＝x，则AP＝x+3， 在Rt△PAF中， 由勾股定理，得PA2＝AF2+PF2， 即（x+3）2＝x2+92， 解得x＝12， 在Rt△ABF中， 由勾股定理，得AB， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16．解：∵MN∥EF， ∴∠BCD＝∠1＝50°． 在△BCD中，∠BCD＝50°，∠2＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠2＝70°． 在Rt△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝20°． 17．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°． 18．解：∵∠B＝44°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣44°﹣80°＝56°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴， ∵CE为边AB上的高，即∠AEC＝90°， ∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝34°， ∴∠AFC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACF＝180°﹣28°﹣34°＝118°． 19．解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°． ∵BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠AEB＝∠BDO＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°． 20．解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠DAE的度数为15°； （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴． 21．（1）解：∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B＝44°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180﹣44°﹣57°＝79°， 故答案为：44°，79°； （2）证明：∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴三角形内角和为180°； （3）证明：∵∠BAC＝70°，∠ACB＝∠B+30°，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠B+30°＝70°+2∠B+30°＝180°， ∴∠B＝40°， ∵∠DAB＝40°， ∴∠B＝∠DAB ∴BC∥ED． 22．解：（1）①∵BM∥DG， ∴∠ABM＝∠F＝30°， ∵BM为△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABM＝60°， 故答案为：60； ②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°， ∵BM∥DG， ∴∠DGC＝∠CBM＝30°， ∵DE⊥BC， ∴∠EDG＝60°， ∵DG平分∠ADE， ∴∠ADF＝60°， ∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴AC⊥AB； （2）45°α． 理由：在△BHG和△DEG中， ∠BHD＝180°﹣∠BMD﹣∠ADH ＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）∠ADE ＝180°（∠ABC+∠BAC）﹣（180°﹣∠CDE） ＝180°∠ABC﹣∠BAC﹣90°（90°﹣∠ACB） ＝180°∠ABC﹣∠BAC﹣90°+45°∠ACB ＝135°﹣α（180°﹣α） ＝45°α； 故答案为：45°α； （3）①如图，当点D在线段AC的延长线上时， 在△ABM和△MND中， ∠BAM+∠ABN＝180°﹣∠AMB，∠N+∠MDN＝180°﹣∠NMD， ∵∠AMB＝∠NMD， ∴∠BAM+∠ABN＝∠N+∠MDN， ∴∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN ∠ABC+α（90°﹣∠ACB） （∠ABC+∠ACB）+α﹣45° ＝45°α； ②如图，当点D在线段AC上时， 由四边形的内角和得， ∠BND＝360°﹣90°∠ABC∠ADE ＝270°（270°﹣α） ＝135°α； ③当α为钝角时，设∠ADG＝∠GDE＝γ，∠ABM＝∠MBC＝β， ∵∠DEG＝90°， ∴∠DGE＝90°﹣γ， ∴∠BNG＝90°﹣γ﹣β， ∴∠BND＝180°﹣（90°﹣γ﹣β）＝90°+γ+β， 在四边形ABND中，∠BND＝360°﹣α﹣（γ+β）， ∴360°﹣α﹣（γ+β）＝360°﹣α﹣（∠BND﹣90°）＝∠BND， ∴∠BND＝225°α； 综上，∠BND＝45°或135°α或225°α． 第6页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $