2023年青少年数学国际城市邀请赛个人赛试题

BIMC 2023 Bulgaria International Mathematics Competition 2023（Virtual） Bulgaria，1st to 7th July 2023 2023年青少年数学国际城市邀请赛个人赛试题 1.已知是实数，且知，请问的最小可能值是什么?[新加坡供题] 2.一个半径为1cm的圆与一个等边三角形的三边都相切.从这个圆开始，然后绘制三个无限小圆序列，每个角一个，使得每个圆都与序列中的前一个圆以及三角形的两条边相切，如图所示.请问所有圆的周长之和为多少cm?（取π=3.14）[尼泊尔供题] 3.若ABCDEF与AGHIJK为不重迭的两个正六边形，如图所示.假设并且.满足面积关系：. 请问为何?（注：表示多边形P的面积）[墨西哥供题] 4.以下的53位数 37，984，318，966，591，152，105，649，545，470，741，788，308，402，068，827，142，719可以写成的形式，其中是正整数.请问之值为何?[泰国供题] 5.考虑方程，其中x、y为整数.假设m是的最大可能值，n是解的数量，请问之值为何?[印度尼西亚供题] 6.已知非零实数a、b、c满足. 请问之值为何?[越南供题] 7.如果一个数可以写成，其中a、b为不同的非负整数，那么称这个数为「幸运数」.将所有幸运数以递增方式列出，请问第64个幸运数是什么?[中国供题] 8.已知等边三角形ABC的面积为36cm2，且知等腰三角形EFD中，，点F是三角形ABC的中心，并且点B与点C分别位于EF与FD的中点，如图所示.若且，请问阴影部分的面积是多少cm2?[印度尼西亚供题] 9.一家神秘的公司开发了一个先进机器，它需要20份不同的蓝图来建造.每位员工可以获得恰好5份不同的蓝图，并且任何5份不同的蓝图都至少有一位员工可以获得.公司总经理想要将员工分成一些部门，使得没有哪一个部门可以独自建造此机器.也就是说，没有任何一个部门能从该部门的至少一位员工中得到每一份蓝图.请问公司总经理最少需要组成几个部门?[俄罗斯供题] 10.一片V形三方块是由3个1×1正方形构成，如下图所示： 所有V形三方块必须与方格表的网格线吻合，请问在一个8×8方格表内至少要放入多少片V形三方块才能使得剩下的空位无法再放入一片2×2的正方形?[新加坡供题] 11.有17个空盒子以及无穷多颗球.每一步，选择其中一些盒子，然后在每个盒子里放入不同颗数的球，放入的球的数量都必须是2的非负整数次幂.经过k步之后，使得所有的盒子内都有相同非零数量的球，请问正整数k的最小值是什么?[越南供题] 12.下图所示是一个形成4×4方阵的地下迷宫.一条初始位置在P点的蛇，沿着的路径循环爬行.一只老鼠从点A开始沿着网格线想爬到点B.老鼠每次只能向上或向右爬行.老鼠与蛇的爬行速度相同，如果老鼠与蛇同时出现在同一点，则蛇会吃掉老鼠.已知老鼠与蛇同时出发，请问老鼠从点A爬到点B共有多少条安全路径?（例如：是一条安全路径，因为当老鼠到达R时，蛇爬行的路径为）[阿拉伯联合酋长国供题] 答案解析 1.【参考解法】 根据与，得到的范围为：. 因此的最小值为8当或者时取到. 答：8 2.【参考解法1】 因为是等边三角形，因此每个角为60度. 三角形与都是直角三角形，其中. 所以，即且. 由于，. 第一个圆的半径为1cm、第二个圆的半径为、第三个圆的半径为、…，依此类推.因此所有圆的周长之和为 [参考解法2] 因为是等边三角形，因此每个角为60度.三角形与都是直角三角形，其中且.注意到线段CD由圆B与顶点C之间的所有接触圆（不包括圆B本身）的直径组成，因此这些圆的总直径为.由于有3组这样的接触圆（等边三角形的每个顶点一组），因此包括圆B在内的所有圆的总直径为1×3+2=5cm，因此它们的总面积为5π=15.7cm. 答：15.7cm. 3.【参考解法】 两个，正六边形的面积之比为3:4.因此边长之比为.显然三角形的三个内角为30°-60°-90°，其斜边为.我们将正六边形分割为12个全等的三角形，如图所示，每个三角形都与三角形全等. 因此. 答：1：12 4.【参考解法】略 答：319 5.【参考解法1】 注意到是一个解.方程可以变形为 由于x、y是整数，因此可能的解满足 与. 于是或1.由于，得到. 所以y=-3、-1、1、3. 因此的最大值当与时取到，. 解的数量为. 因此得到. 【参考解法2】 因与，因此有.于是，y=0、1、-1、2、-2、3、-3. 若，我们得到是一个解. 若或者-1，得到. 于是得到或-1. 得到解（1，1）、（1，-1）、（-1，1）、（-1，-1）. 若或-2，则，即无解. 若或-3，得到. 因此，得到解（3，1）、（3，-1）、（-3，1）、（-3，-1）. 综上所述，的最大值为3+1=4.共有组解，因此. 答：13 6.【参考解法】 引理 若，则有. 证明： 现回到原题.可知 或者， 因此. 同理，，. 现在根据引理即可以得知. 答：. 7.【参考解法】 注意到幸运数是2进制下恰有两个1的数.于是有 第一个幸运数是； 第二个幸运数是； 第三个幸运数是； 第四个幸运数是； 第五个幸运数是； 第六个幸运数是； 第七个幸运数是； 要找到第64个幸运数，可假设第64个幸运数有位，则 由于11×10=110<128<11×12-132，因此.由于，因此 第66个幸运数是； 第65个幸运数是； 第64个幸运数是. 答：2304 8.【参考解法】 由于是三角形的中心，因此有与.作直线经过F得知，连接与.由于、、且，因此三角形、、、为全等的30°-60°-90°直角三角形.我们可以得到三角形与也是30°-60°-90°直角三角形，并全等于三角形、、、，故每个面积都是三角形面积的.由于是三角形的中心，因此四边形的面积为三角形的、三角形的面积为的. 因与、，所以三角形的面积为三角形的四倍，即是三角形面积的.故阴影部分面积为. 答：. 9.[参考解法]若部门数量不多于5个，则每个部门都至少有一份无法获得的蓝图，每个部门选取一份无法获得的蓝图，共可得到5份蓝图.如果少于5个部门或者选择的部分蓝图相同，则随机添加蓝图使他成为5张即可.但是，拥有这5张蓝图的人不可能在第一、二、三、四、五部门工作，所以矛盾.因此，不可能有5个或更少的部门. 如果有6个部门，公司总经理可以把没有第1个蓝图的员工调到第1个部门，没有第2个蓝图的员工调到第2个部门，以此类推，没有第5个蓝图的员工调到第5个部门.然后，把剩下那些有第1-5蓝图的员工全都送到最后一个部门.答：6 10.[参考解法]将8×8方格表依照以下左图方式涂色： 显然每片V形三方块只能阻止一片涂上阴影的2×2正方形放入，因此至少需要放入9片V形三方块.放入9片V形三方块达到要求的方法有许多个，例如：右上图. 答：9片 11.【参考解法】 注意，对任何个不同的非负整数，，有 设为在每一步中放入盒子内的最大球数.在每一步中，用在这一步的总球数不超过. 另一方面，最终每个盒子中至少有个球. 因此. 于是. 以下的9步骤可以达成目的： 盒子 1 2 3 … 8 9 10 11 … 17 步骤1 … 0 0 … 0 步骤2 … 0 0 … 0 步骤3 0 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … 步骤9 0 0 … 0 0 0 0 … 最终每个盒子内有个球. 答：9 学科网（北京）股份有限公司 $