7.3.3函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1) 1. 结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出该函数的图象，观察并研究参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2. 会用“五点法”画出函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图． 3. 能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，并在这个过程中认识到函数y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)的联系． 活动一 掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)简图的作法，理解y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)的图象的关系 如图，摩天轮的半径r为40 m，圆心O距地面的高度为48 m，摩天轮做逆时针匀速转动，每30 min转一圈．摩天轮上点P的起始位置在最低点处．如何确定在时刻t(min)时，点P距离地面的高度H? 思考1►►► (1) 写出用“五点法”作y＝sin x的图象的五个关键的点． (2) 在同一坐标系中观察y＝cos x的图象和y＝sin x的图象，思考y＝cos x的图象如何由y＝sin x的图象平移得到？ 思考2►►► 作出函数y＝sin 和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系． 思考3►►► 函数y＝sin 的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？ 例1　若y＝f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到y＝sin 的图象，则f(x)＝____________． 函数y＝sin (x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到的． 思考4►►► 作出函数y＝3sin x和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系． 思考5►►► 函数y＝sin x的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？ 函数y＝A sin x(A＞0且A≠1)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)而得到的． 思考6►►► 作出函数y＝sin 2x和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系． 思考7►►► 函数y＝sin 的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？ 函数y＝sin ωx(ω＞0且ω≠1)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)而得到的． 思考8►►► 作出函数y＝sin 和y＝sin 2x的图象，并找出两图象之间的关系． 思考9►►► 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sin ωx的图象经过怎样的图象变换而得到？可由函数y＝sin (x＋φ)的图象经过怎样的图象变换而得到？ 例2　将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为______________________． 思考10►►► 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sin x经过哪些图象变换而得到？写出图象变换的顺序． 活动二 掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的简单应用 例3　(1) 不用计算机和图形计算器，画出函数y＝3sin 的简图； (2) 根据函数的简图，写出(1)中函数的减区间． 作出函数y＝2sin 在长度为一个周期的闭区间上的图象． 1. (2025湖州期末)将函数y＝sin 2x图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式是(　　) A. y＝sin B. y＝sin C. y＝sin D. y＝sin 2. (2025东莞期末)为了得到函数y＝sin 的图象，只需要把函数y＝cos x上所有的点(　　) A. 向右平移个单位长度，横坐标变为原来的 B. 向左平移个单位长度，横坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来的，向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位长度 3. (多选)为了得到函数f(x)＝sin 的图象，只需将余弦曲线(　　) A. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4. (2025福建师大附中期末)若将f(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为________． 5. 设函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f＝. (1) 求ω和φ的值； (2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象． 7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2) 了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质． 活动一 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 由y＝sin x到y＝A sin (ωx＋φ)的过程中，其性质发生了哪些变化？请结合函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，归纳其周期性、单调性及最值的变化． 函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 例1　已知函数y＝a－b cos (b>0)的最大值为，最小值为－. (1) 求实数a，b的值； (2) 求函数g(x)＝－4a sin 的最小值，并求出对应x的集合． 已知函数f(x)＝sin ，x∈R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)在区间上的最小值和最大值． 对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(y＝A cos (ωx＋φ)＋b)的最大值、最小值问题，重点在于求解函数取得最大值、最小值时相应自变量x的取值集合，这时一定要把ωx＋φ看作一个整体，将其与函数y＝sin x(y＝cos x)相类比． 活动二 熟练掌握图象的变换 例2　(1) 要得到y＝sin 的图象，只需将y＝cos 的图象上所有的点向______平移______个单位长度； (2) 为了得到y＝3sin 的图象，只需将y＝3sin 的图象上所有点的________坐标变为原来的________倍； (3) 将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，所得到的图象对应的函数解析式是____________． 如何由函数y＝cos x的图象得到函数y＝3cos 的图象？ 由y＝A cos ωx的图象变换成y＝A cos (ωx＋φ)的图象时，可将y＝A cos (ωx＋φ)化为y＝A·cos [ω(x＋)].由x＋与x的关系确定左右平移的方向，当>0时，向左平移个单位长度，当<0时，向右平移个单位长度． 活动三 函数y＝A sin (ωx＋φ)、y＝A cos (ωx＋φ) 和y＝A tan (ωx＋φ)的图象的对称性 例3　在函数y＝2sin 的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________；离y轴最近的一条对称轴方程为______________．　 将函数y＝2cos 的图象向左平移m个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的最小正值是________． 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴． 函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x轴的交点． 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为(，0)，k∈Z；函数y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为(，0)，k∈Z. 例4　(1) 函数y＝tan x的图象的对称中心的坐标是____________； (2) 函数y＝tan 的图象的对称中心的坐标是____________． 函数y＝A tan (ωx＋φ)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z. 活动四 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的简单应用 例5　(2025泰州兴化中学期末)已知函数f(x)＝A sin (2x＋φ)＋1，其中A>0，|φ|<. 从下列三个条件中选择两个作为已知条件，使得函数f(x)存在且唯一确定． ①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)的图象关于直线x＝对称；③函数f(x)在区间上的最小值为－1. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，讨论函数y＝g(x)在区间上的单调性． 1. 函数y＝2sin ＋1的最大值是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. (2025衡阳一中期末)若将函数f(x)＝sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)(2025深圳高级中学期末)已知函数f(x)＝3sin ，则下列结论中正确的是(　　) A. 函数f(x)的最小正周期是 B. 函数f(x)在区间上单调递增 C. 直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D. 函数f(x)的图象可以由函数g(x)＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度得到 4. (2025杭州期末)已知f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f(x)最近的两个交点，且MN＝，则ω的值为________． 5. (2024山东滕州一中月考)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1) 求函数f(x)的解析式和其图象的对称轴方程； (2) 先将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到曲线C，再将曲线C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到g(x)的图象，若g(x)≥，求x的取值范围． 7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(3) 根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象特征及性质求函数解析式． 活动一 根据图象特征求解析式 例1　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的图象(部分)如图所示，求函数f(x)的解析式． 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，求函数的解析式． 1. 一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2. 因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω. 3. 从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ. 例2　设函数y＝A sin ＋b(A＞0，ω>0)，在同一周期内，当x＝时，y有最大值；当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式． 已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，在同一周期内，当x＝时，函数取最大值4；当x＝时，函数取最小值－4，那么函数的解析式为________________． 活动二 掌握三角函数的单调性与奇偶性 例3　求下列函数的单调区间： (1) f(x)＝sin ； (2) f(x)＝cos ； (3) f(x)＝2tan . (1) 求函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调增区间； (2) 求函数f(x)＝sin 的单调增区间； (3) 求函数f(x)＝lg 的单调减区间． 设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<0)，函数y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. (1) 求φ的值； (2) 求函数y＝f(x)的单调区间及最值． 例4　将函数y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象对应的函数是偶函数，则φ的最小正值是________． (1) 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝________；若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝________； (2) 若f(x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝________；若f(x)＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝________． 1. (2024葫芦岛期末)已知函数f(x)＝2sin ，若将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象. 若函数g(x)为奇函数，则t的最小值是(　　) A. B. C. D. 2. (2024衡水期中)函数f(x)＝cos 的单调减区间是(　　) A. ，k∈Z B. ，k∈Z C. ，k∈Z D. [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 3. (多选)(2025湘潭期末)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A. A＝3 B. ω＝ C. φ＝－ D. 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝3cos 2x的图象 4. (2024温州期中)若将函数y＝2sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象经过原点，则m的最小值是________． 5. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，且f(0)＝f. (1) 求函数f(x)的最小正周期T； (2) 求函数f(x)的解析式，并写出它的单调增区间． 7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1) 【活动方案】 背景引入：取O为坐标原点，水平线为x轴，建立平面直角坐标系． 设P(x，y)，则点P距离地面的高度H＝y＋48. 又＝sin α，其中r＝40，α为在时刻t(min)时点P所对应的角，则α＝t＋φ. 又t＝0时，P位于最低点，故取φ＝－， 从而α＝t－，所以y＝40sin ， H＝40sin ＋48. 思考1：(1) (0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得到y＝cos x的图象． 思考2： y＝sin 的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到的． 思考3：y＝sin 的图象是由y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的． 例1　sin 思考4： y＝sin xy＝3sin x. 思考5：y＝sin xy＝sin x. 思考6： y＝sin xy＝sin 2x. 思考7：y＝sin xy＝sin . 思考8： y＝sin 2xy＝sin (2x＋). 思考9：函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可以看作是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移||个单位长度，纵坐标变为原来的A倍而得到的． 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以看作是将函数y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的A倍而得到的． 例2　y＝2sin 2x　将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度得函数y＝sin [2(x－)＋]＝sin 2x的图象，再将纵坐标扩大为原来的2倍得到函数y＝2sin 2x的图象． 思考10：方法一：y＝sin xy＝sin ωx y＝sin (ωx＋φ) y＝A sin (ωx＋φ). 方法二：y＝sin xy＝sin (x＋φ) y＝sin (ωx＋φ) y＝A sin (ωx＋φ). 例3　(1) 方法一：先用“五点法”作出一个周期的图象，列表： 2x－ 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移(每次π个单位长度)得出整个图象，如图． 方法二：y＝sin xy＝sin 2x y＝sin y＝3sin . 方法三：y＝sin xy＝sin y＝sin y＝3sin . (2) 由函数的图象可知函数y＝3sin 的减区间是(k∈Z). 跟踪训练　列表： ＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 描点作图，如图所示： 【检测反馈】 1. C　将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin 的图象． 2. A　将y＝cos x＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 的图象，或者将y＝cos x＝sin (x＋)图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin 的图象． 3. AD　对于A，将余弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos x的图象，再将其向右平移个单位长度，得到y＝cos ＝cos (x－)＝sin (x－＋)＝sin 的图象，故A正确；对于B，将余弦曲线向左平移个单位长度，得到y＝cos (x＋)的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos (x＋)＝sin (x＋＋)＝sin (x＋＋π)＝－sin (x＋)的图象，故B错误；对于C，将余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos 2x的图象，再将其图象向右平移个单位长度，得到y＝cos 2＝cos ＝sin (2x－＋)＝sin (2x＋)的图象，故C错误；对于D，将余弦曲线向右平移个单位长度，得到y＝cos (x－)的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos (x－)＝sin (x－＋)＝sin (x＋)的图象，故D正确．故选AD. 4. 　由题意，得g(x)＝f＝sin (3x－＋)＝－cos .当x∈时，3x＋∈，则－1≤cos ≤，所以－≤－cos (3x＋)≤1，所以g(x)在区间上的值域为. 5. (1) 由题意，得T＝＝π，解得ω＝2. 又f＝cos ＝，－<φ<0， 所以φ＝－. (2) 由(1)知f(x)＝cos ，列表如下： 2x－ － 0 π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点作图，如图所示： 7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2) 【活动方案】 例1　(1) 因为x∈R，所以cos ∈[－1，1]. 又因为b>0，所以－b<0， 所以当cos ＝－1时，ymax＝a＋b＝， 当cos ＝1时，ymin＝a－b＝－， 联立解得 (2) 由(1)知g(x)＝－2sin . 因为sin ∈[－1，1]， 所以当sin ＝1时，g(x)取最小值－2， 此时x－＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝2kπ＋，k∈Z， 所以对应x的集合为. 跟踪训练　(1) T＝＝π. (2) 因为≤x≤，所以0≤2x－≤， 所以－≤sin ≤1， 所以－1≤sin ≤， 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1. 例2　(1) 右　π　(2) 横　2　(3) y＝sin 4x 跟踪训练　方法一：y＝cos x y＝cos y＝3cos . 方法二：y＝cos x y＝cos 2x y＝cos 2 y＝3cos 2＝3cos . 例3　　x＝－　由4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数y＝2sin 的图象的对称中心坐标为(k∈Z).取k＝1，得点(，0)满足条件．由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－，取k＝0时，x＝－满足题意． 跟踪训练　　将函数y＝2cos 的图象向左平移m个单位长度，得函数y＝2cos (x＋m＋)的图象，且图象关于原点对称，所以m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z，所以取k＝1，得m的最小正值为. 例4　(1) ，k∈Z (2) ，k∈Z　令2x－＝ (k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数y＝tan (2x－)的图象的对称中心的坐标是，k∈Z. 例5　(1) 若选①②：因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z. 又－<φ<，所以取k＝0，φ＝， 所以f(x)＝A sin (2x＋)＋1. 因为f＝A sin 0＋1＝1，所以函数f(x)的图象关于点对称， 但不能确定A的值，不符合题意； 若选①③：因为函数f(x)的图象关于点对称， 所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z. 又－<φ<，所以取k＝0，φ＝， 所以f(x)＝A sin (2x＋)＋1. 因为x∈，所以2x＋∈， 所以sin ∈. 又A>0，所以f(x)∈， 则－＋1＝－1，解得A＝4， 所以f(x)＝4sin (2x＋)＋1; 若选②③：因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z. 又－<φ<，所以取k＝0，φ＝， 所以f(x)＝A sin (2x＋)＋1. 因为x∈，所以2x＋∈， 所以sin ∈. 又A>0，所以f(x)∈， 则－＋1＝－1，解得A＝4， 所以f(x)＝4sin ＋1. (2) 将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin ＋1的图象， 再向右平移个单位长度，得到g(x)＝4sin (x－＋)＋1＝4sin ＋1的图象． 因为x∈，所以x－∈， 当x－∈，即x∈时，g(x)单调递增； 当x－∈，即x∈时，g(x)单调递减． 综上，函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【检测反馈】 1. C　因为x∈R，所以－1≤sin ≤1，所以y≤2＋1＝3. 2. D　将函数f(x)＝sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数的解析式为y＝sin [2(x－m)＋]，即y＝sin .因为函数y＝sin (2x－2m＋)的图象关于y轴对称，所以－2m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－－，k∈Z.因为m>0，所以当k＝－1时，mmin＝－＋＝. 3. ACD　对于A，易知函数f(x)的最小正周期是T＝，故A正确；对于B，当x∈时，－≤3x＋≤π，易知函数y＝sin x在区间上不单调，所以函数f(x)在区间上不单调，故B错误；对于C，因为f＝3sin ＝3sin ＝3＝f(x)max，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；对于D，将g(x)＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度得到y＝3sin 3(x＋)＝3sin 的图象，故D正确．故选ACD. 4. 3　由题意，设相邻的两个交点M，N的横坐标分别为t1，t2，且t1>t2，则t1－t2＝.因为2sin (ωx＋φ)＝－1，所以ωx＋φ＝－＋2kπ或ωx＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得ωt1＋φ＝－，ωt2＋φ＝－，则ω(t1－t2)＝，所以ω＝3. 5. (1) 因为f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以f(x)的最小正周期为π， 所以＝π，即ω＝2， 所以f(x)＝2sin . 由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z). (2) 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到曲线C：y＝2sin ， 将曲线C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到g(x)＝sin 的图象． 由g(x)≥，得sin ≥， 所以2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以x的取值范围为(k∈Z). 7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(3) 【活动方案】 例1　由图象知A＝2，＝－＝， 所以ω＝π，所以f＝2sin ＝2. 又|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin . 跟踪训练　显然A＝2，又图象过点(0，1)， 所以f(0)＝1，所以sin φ＝. 又因为|φ|＜，所以φ＝. 由图象结合“五点法”可知，对应五点中的点(2π，0)，所以·ω＋＝2π，所以ω＝2， 所以f(x)＝2sin . 例2　由题意，得解得 由T＝＝2×，得ω＝， 所以y＝sin ＋. 跟踪训练　y＝4sin 　由最值可以得出A＝4，再由相邻两条对称轴的距离知T＝π，则 ω＝2.代入一个最值点的坐标，即可求得φ＝，故y＝4sin . 例3　(1) 单调增区间为(k∈Z)， 单调减区间为(k∈Z). (2) 单调增区间为(k∈Z)， 单调减区间为(k∈Z). (3) 单调增区间为(k∈Z)， 不存在单调减区间． 跟踪训练1　(1) 由题意，得－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 又x∈[0，π]， 所以函数f(x)的单调增区间为，. (2) f(x)＝sin ＝－sin . 由题意，得＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (3) 由题意，得sin >0，且y＝sin (2x＋)单调递减， 所以2kπ＋≤2x＋<π＋2kπ，k∈Z， 解得kπ＋≤x<kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z). 跟踪训练2　(1) 由题意，得2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ，k∈Z. 因为－π<φ<0，所以φ＝－. (2) 由(1)知，f(x)＝sin . 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的单调增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z). 同理可得函数f(x)的单调减区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z). 当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1； 当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最小值－1. 例4　　将y＝cos 的图象向右平移 φ个单位长度，得y＝cos 的图象．因为y＝cos 是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以cos ＝±1，所以φ－＝kπ，k∈Z.当k＝－1时，φ取得最小正值. 跟踪训练　(1) kπ，k∈Z　kπ＋，k∈Z (2) kπ＋，k∈Z　kπ，k∈Z 【检测反馈】 1. C　由题意，得g(x)＝f(x－t)＝2sin [2(x－t)－]＝2sin .因为函数g(x)为奇函数，所以－2t－＝kπ，k∈Z，解得t＝－－，k∈Z. 又t>0，所以当k＝－1时，t有最小值. 2. A　因为cos ＝cos ，令2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝cos 的单调减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z. 3. AB　由图象，得A＝3.由＝－＝π，得T＝4π，则ω＝＝，故A，B正确；因为f＝3cos (×＋φ)＝－3，所以＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).又|φ|<，所以φ＝，故C错误；由题意，得g(x)＝3cos ＝3cos ，故D错误．故选AB. 4. 　由题意知，平移后的函数解析式为y＝2sin (x＋－m).因为函数y＝2sin 的图象过原点，所以0＝2sin ，即0＝sin ，则－m＝kπ，k∈Z，所以m＝－kπ，k∈Z.又m>0，所以当k＝0时，m取最小值. 5. (1) 由题意知，函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝＝，则＝－＝， 即T＝π， 所以函数f(x)的最小正周期是π. (2) 由图象可知A＝2. 由(1)可知T＝π，所以ω＝＝2. 又f＝－2，所以2sin ＝－2， 即sin ＝－1， 所以＋φ＝2kπ－，k∈Z， 解得φ＝2kπ－，k∈Z. 因为0<φ<2π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin . 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $