7.3.2三角函数的图象与性质 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦三角函数的图象与性质，以正弦、余弦函数的作图与性质探究为主线，通过“五点法”作图、诱导公式转化、周期性分析等环节构建知识支架，自然衔接从具体到抽象的认知路径，实现从直观感知到逻辑推理的过渡。 资料特色鲜明，突出数学眼光、思维与语言的融合应用。借助单位圆中的正弦线描点作图，强化几何直观与数形结合意识，体现数学的眼光；通过单调性比较大小、值域求解等典型问题训练逻辑推理能力，彰显数学的思维；在定义域、值域、最值等实际问题中引导学生用数学语言表达现实情境，展现数学的语言价值。习题设计层次清晰，涵盖基础巩固、能力提升与综合应用，尤其注重跨知识点整合与真实问题建模，有效促进学生核心素养的整体发展。

7．3.2　三角函数的图象与性质(1) 能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象． 活动一 掌握正弦函数的图象 为了更加直观的研究三角函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出三角函数的图象？ 思考1►►► (1) 作函数图象的常用方法是什么？ (2) 求三角函数值时，运算繁琐，数字复杂，作图不够精确，能否利用三角函数线来描点？ (3) y＝sin x的定义域为R，而正弦函数的周期是2π，用描点法作图时如何取点来简化作图？ 问题1　(1) 在同一个单位圆中作出大小分别为0，，，，的正弦线．借助正弦线作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象； (2) 作出y＝sin x(x∈R)的图象． 思考2►►► 正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？这些关键点分别是图象上的什么点？ 活动二　掌握余弦函数的图象　 问题2　(1) 根据所学的诱导公式，由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝cos x的图象？ (2) 作出余弦函数y＝cos x的图象． 思考3►►► 余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？ 正弦函数、余弦函数图象上的关键点的异同：作余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象时，其中起关键作用的是函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的最高点、最低点及其与x轴的交点．与正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个． 活动三　掌握用“五点法”作三角函数的图象．　 例　用“五点法”画出下列函数的简图． (1) y＝2cos x，x∈R； (2) y＝sin 2x，x∈R. 在画y＝A sin (ωx＋φ)的图象时常常是将ωx＋φ分别取0，，π，，2π得到五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图． 作出下列函数的简图． (1) y＝－1－cos x，x∈[0，2π]； (2) y＝1＋sin 2x，x∈[0，π]. 1. 用“五点法”作y＝cos 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A. 0，，π，，2π B. 0，，，，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0，，，， 2. 符合如图所示的图象的函数是(　　) A. y＝1＋sin x，x∈[0，2π] B. y＝1＋2sin x，x∈[0，2π] C. y＝1－sin x，x∈[0，2π] D. y＝1－2sin x，x∈[0，2π] 3. (多选)(2024山东实验中学月考)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是(　　) A. B. C. D. ∪ 4. (2025湘潭期末)已知x是三角形的一个内角，则不等式cos x>－的解集为________． 5. 用“五点法”作出下列函数的简图． (1) y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]； (2) y＝2＋cos x，x∈[0，2π]. 7．3.2　三角函数的图象与性质(2) 1. 借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质． 2. 通过观察、猜想、归纳，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力． 活动一 探究正弦函数、余弦函数的性质 根据正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的性质，完成下列表格． 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 图象 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心 活动二　掌握正弦函数、余弦函数的值域与最值　 例1　求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合． (1) y＝cos ； (2) y＝2－sin 2x. 求下列函数的值域． (1) y＝3－2cos x； (2) y＝sin2x＋cosx－1. 1. 求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间． 2. 求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或t＝cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或t＝cos x)的有界性． 活动三 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 例2　不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1) sin 与sin ； (2) cos 与cos . 比较下列各组数的大小． (1) cos 与cos ； (2) sin 194°与cos 160°. 比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用三角函数的单调性进行比较． 活动四 掌握正弦函数、余弦函数的性质的应用 例3　已知函数y＝3sin x. (1) 求函数的定义域、值域； (2) 求函数的最小正周期； (3) 求函数的单调增区间． 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在区间[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系． 1. 若函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B. (－π，0] C. D. (－π，π) 2. (2024汕头期末)函数 y＝－sin2x＋4cosx－6的最小值是(　　) A. －11 B. －10 C. －7 D. －2 3. (多选)下列关系式中，正确的是(　　) A. sin 11°>cos 10° B. sin 168°>sin 11° C. sin 168°>cos 10° D. cos 10°>sin 11° 4. 函数y＝lg (－2cos x)的定义域为______________． 5. 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的取值集合． (1) y＝cos －1; (2) y＝sin 2x＋2. 7．3.2　三角函数的图象与性质(3) 1. 用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质． 2. 能应用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题． 活动一 掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质 思考►►► 如何作正弦曲线和余弦曲线？ 活动二　掌握三角函数的定义域和值域的求法　 例1　求下列函数的值域： (1) y＝3－2cos x，x∈； (2) y＝2－sin 2x，x∈. 1. 对于求形如y＝a sin x＋b或y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到正弦、余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑sin x或cos x的范围． 2. 求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解． 例2　求下列函数的值域： (1) y＝1－2sin2x＋2cosx； (2) y＝. 求函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈[－，]的值域． 例3　求下列函数的定义域： (1) y＝； (2) y＝. 求下列函数的定义域： (1) y＝log3(sin x－)； (2) y＝； (3) y＝＋lg (2sin x－1). 1. 求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图象，关键有两点：(1) 选取合适的一个周期；(2) 确定边界值． 2. 当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集． 活动三　掌握三角函数的单调性　 例4　(1) 求函数y＝sin 2x的增区间； (2) 求函数y＝cos 的增区间． (1) 求函数y＝cos 的单调区间； (2) 求函数y＝2sin 的增区间． 求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤： (1) 当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的减区间； (2) 当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－A sin (－ωx－φ)，则y＝A sin (－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间． 余弦函数y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上． 1. 函数y＝sin 2x的单调减区间是(　　) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. [π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D. (k∈Z) 2. (2025莆田一中期末)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3. (多选)(2024宿迁期末)已知函数f(x)＝2cos x，则下列说法中正确的是(　　) A. f(x)是偶函数 B. 若f(x)≥m恒成立，则m的最大值为1 C. f(x)＝1在区间[－10，10]上共有6个解 D. f(x)在区间[－π，0]上单调递增 4. (2025山西期末)若函数f(x)＝3sin x－4cos x的定义域为，则f(x)的值域为________． 5. (2025济宁期末)已知函数f(x)＝sin (π－2x)＋cos . (1) 求函数f(x)的单调减区间； (2) 记函数g(x)＝f，当x∈时，求函数g(x)的最大值和最小值，并求出取最值时x的值． 7．3.2　三角函数的图象与性质(4) 1. 能画出函数y＝tan x的图象，并能借助图象理解函数y＝tan x在区间上的性质． 2. 会利用正切函数的单调性比较函数值的大小． 3. 理解正切函数图象的对称性． 活动一 掌握正切函数的图象 为了更加直观的研究正切函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出正切函数的图象呢？ 思考1►►► 正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 探究1　正切函数的图象： (1) 仿照几何法画正弦曲线的过程，借助正切线画出y＝tan x，x∈的图象； (2) 画出y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图象． 思考2►►► 正切曲线有哪些主要特征？ 活动二 探究正切函数的性质　　 思考3►►► 诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？ 思考4►►► 诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？ 思考5►►► 从正切线上看，在区间上正切函数值是增大的吗？ 探究2　观察正切函数的图象完成下表： 函数性质 正切函数y＝tan x 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 活动三　掌握正切函数的定义域、值域　 例1　求函数y＝tan 的定义域． 思考6►►► 函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定义域是怎样的？ 例2　(1) 求函数y＝tan x(≤x≤且x≠)的值域； (2) 求函数y＝tan2x－2tanx＋3，x∈的值域． (1) 函数y＝的定义域是________________； (2) 求函数y＝tan2＋tan(3x＋)＋1的定义域和值域． 1. 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解． 2. 求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 活动四 掌握正切函数的单调性及其应用 例3　(1) 求函数y＝－tan 的单调区间； (2) 比较tan 与tan 的大小． (1) 比较大小：tan 1与tan 4； (2) 求函数y＝tan 的单调区间． 1. 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 2. 运用正切函数的单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小． 活动五　掌握正切函数的性质的应用　 例4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 思考7►►► 函数y＝tan x的图象的对称中心是什么？函数y＝|tan x|的图象的对称轴是什么？　 1. (2025宁波九校期末联考)函数f(x)＝tan 2x的定义域为(　　) A. B. C. D. 2. (2024陕西期末)若函数y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的图象与直线x＝2π没有交点，则φ的最小值为(　　) A. π B. C. D. 0 3. (多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列说法中正确的是(　　) A. f(x)的最小正周期为 B. f(x)是偶函数 C. f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称 D. f(x)在区间(k∈Z)上单调递增 4. 比较大小：tan ________tan .(填“>”“＝”或“<”) 5. 求函数y＝tan2x－2tanx，x∈的值域． 7．3.2　三角函数的图象与性质(1) 【活动方案】 背景引入：先画正弦函数的图象．由于y＝sin x是以2π为周期的周期函数，故只要画出在区间[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象．将 y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到余弦函数的图象．由于正切函数y＝tan x是以π为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性就可得出整个图象． 思考1：(1) 描点法． (2) 能．我们可以作坐标为(x0，sin x0)的点S(不妨设x0＞0).如图所示，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆．在圆O′中，设弧AP的长为x0(即∠AO′P＝x0)，则MP＝sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以弧AP的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点． (3) 在区间[0，2π]上取点． 问题1：(1) 知道如何作出函数y＝sin x图象上的一个点，就可作出一系列点．例如，在圆O′中，作出对应于，，，…，的角及相应的正弦线．相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0, 2π]上的图象，如图所示． (2) 我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2x]的图象向左、右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．正弦函数的图象叫作正弦曲线． 思考2：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，它们是图象上的最高点、最低点及与x轴的交点． 问题2：(1) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x的图象． (2) 如图． 思考3：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 例　(1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x 2 0 －2 0 2 描点作图，然后由周期性得整个图象，如图所示： (2) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表： x 0 π 2x 0 π 2π sin 2x 0 1 0 －1 0 描点作图，然后由周期性得整个图象，如图所示： 跟踪训练　(1) 列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点作图，如图所示： (2) 列表： x 0 π 2x 0 π 2π sin 2x 0 1 0 －1 0 1＋sin 2x 1 2 1 0 1 描点作图，如图所示： 【检测反馈】 1. B　根据“五点法”，可令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π. 2. C　将点代入选项检验，即可排除A，B，D.经检验，C符合题意，故C正确． 3. AC　在同一平面直角坐标系中画出正弦、余弦函数在区间[0，2π]上的图象，如图所示，在区间[0，2π]内，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的x的取值范围是和.故选AC. 4. 　由题意，得x∈(0，π)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝cos x(x∈(0，π))和 y＝－的图象，如图，则当0<x<时，cos x>－，所以不等式cos x>－的解集为. 5. (1) 列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 描点作图，如图所示： (2) 列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点作图，如图所示： 7．3.2　三角函数的图象与性质(2) 【活动方案】 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 周期函数，T＝2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间：，k∈Z 减区间：，k∈Z 增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 减区间：[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z 例1　(1) 由题意，得ymax＝1，令＝2kπ，k∈Z，得x＝6kπ，k∈Z， 故使函数y＝cos 取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}． (2) 由题意，得ymax＝3，令2x＝－＋2kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z， 故使函数y＝2－sin 2x取得最大值的x的集合为. 跟踪训练　(1) 因为－1≤cos x≤1， 所以－1≤－cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2， 所以1≤3－2cos x≤5，即1≤y≤5， 故函数y＝3－2cos x的值域为[1，5]. (2) 令t＝cos x(x∈R)， 则由－1≤cos x≤1，得－1≤t≤1， 所以y＝sin2x＋cosx－1＝－cos2x＋cosx＝－t2＋t＝－(t－)2＋(－1≤t≤1). 因为－1≤t≤1，所以－≤t－≤， 所以0≤≤，即－2≤y≤. 故函数y＝sin2x＋cosx－1的值域为. 例2　(1) 因为y＝sin x在区间上单调递增，且－＞－，所以sin >sin . (2) 因为y＝cos x在区间上单调递减， 且＜，所以cos ＞cos . 跟踪训练　(1) cos ＝cos ， cos ＝cos ＝cos . 因为y＝cos x在区间上单调递减， 且0<<<，所以cos >cos ， 即cos >cos . (2) sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°. 因为sin 14°<sin 70°，所以sin 194°>cos 160°. 例3　(1) 由函数的解析式，得函数对任意x∈R均有意义，故函数的定义域为R. 由－1≤sin x≤1，得－3≤3sin x≤3， 故函数的值域为[－3，3]. (2) 函数的最小正周期T＝2π. (3) ，k∈Z. 跟踪训练　由f(x＋1)＝－f(x)， 得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期． 因为函数f(x)是偶函数，且在区间[－4，－3]上单调递增， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递增． 又α，β是锐角三角形的两个内角， 所以α＋β＞，即＞α＞－β＞0. 因为y＝sin x在区间上单调递增， 所以sin α＞sin ＝cos β， 且sin α∈[0，1]，cos β∈[0，1]， 所以f(sin α)＞f(cos β). 【检测反馈】 1. B　因为y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减，所以a∈(－π，0]. 2. B　因为y＝－sin2x＋4cosx－6＝cos2x＋4cosx－7＝(cos x＋2)2－11，所以当cos x＝－1时，ymin＝－10. 3. BD　由题意，得sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°.因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 80°>sin 12°>sin 11°，即cos 10°>sin 11°，sin 168°>sin 11°.故选BD. 4. {x|＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}　由对数函数的定义知，－2cos x>0，即cos x<，所以＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为{x|＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}． 5. (1) 由题意，得ymin＝－2，令＝(2k＋1)π，k∈Z， 得x＝(12k＋6)π，k∈Z， 故使函数y＝cos －1取得最小值的x的集合为{x|x＝(12k＋6)π，k∈Z}． (2) 由题意，得ymin＝1，令2x＝－＋2kπ，k∈Z， 得x＝－＋kπ，k∈Z， 故使函数y＝sin 2x＋2取得最小值的x的集合为. 7．3.2　三角函数的图象与性质(3) 【活动方案】 思考：利用“五点法”作出正弦、余弦函数在区间[0，2π]内的图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线． 例1　(1) 因为－≤x≤，所以≤cos x≤1， 所以－1≤－cos x≤－， 所以－2≤－2cos x≤－， 所以1≤3－2cos x≤3－， 故函数y＝3－2cos x，x∈的值域为[1，3－].　 (2) 因为－≤x≤，所以－≤2x≤， 所以－≤sin 2x≤1， 所以－1≤－sin 2x≤， 所以1≤2－sin 2x≤2＋， 故函数y＝2－sin 2x，x∈的值域为. 例2　(1) 由题意，得y＝2cos2x＋2cosx－1＝2(cos x＋)2－，值域为. (2) 由题意，得y＝·＝(－)＝－×， 值域为∪[1，＋∞). 跟踪训练　y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sin x－1)2. 因为－≤x≤，所以－≤sin x≤， 所以－－1≤sin x－1≤－1， 所以－≤(sin x－1)2≤＋， 所以－－≤y≤－＋， 故所求函数的值域为. 例3　(1) 由2sin x＋1≥0，得sin x≥－， 所以定义域为(k∈Z). (2) 由题意，得 解得－1<cos x≤－， 所以定义域为∪(π＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 跟踪训练　(1) 由题意，得sin x>， 所以函数的定义域为(k∈Z). (2) 由题意，得2cos x－≥0，所以cos x≥， 所以函数的定义域为(k∈Z). (3) 由题意，得即 cos x≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}， sin x>的解集为{x|＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}， 所以函数的定义域为{x|＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z}． 例4　(1) 令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， 则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数的增区间是(k∈Z). (2) 令π＋2kπ≤≤2π＋2kπ，k∈Z， 则2π＋4kπ≤x≤4π＋4kπ，k∈Z， 故函数的增区间是[2π＋4kπ，4π＋4kπ](k∈Z). 跟踪训练　(1) 令2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z，则4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，故函数的增区间是，k∈Z. 令2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，故函数的减区间是[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z. (2) 因为函数y＝2sin ＝－2sin ，所以要求函数y＝2sin 的增区间只需求函数y＝2sin (2x－)的减区间即可． 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即原函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 【检测反馈】 1. B　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以y＝sin 2x的单调减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z). 2. A　当ω>0，x∈(0，π)时，ωx－∈.因为f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有最大值，没有最小值，所以ωπ－∈，解得<ω≤，所以ω的取值范围是. 3. ACD　对于A，由题意，得f(x)的定义域为R.又因为f(－x)＝2cos (－x)＝2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，当x∈R时，－1≤cos x≤1，可得≤2cos x≤2，若 f(x)≥m恒成立，则m的最大值为，故B错误；对于C，若f(x)＝1，则cos x＝0，可得x＝＋kπ，k∈Z，当x∈[－10，10]时，可得－10≤＋kπ≤10，即－－≤k≤－.由k∈Z，得k＝－3或k＝－2或k＝－1或k＝0或k＝1或k＝2，所以f(x)＝1在区间[－10，10]上共有6个解，故C正确；对于D，因为函数 y＝cos x，y＝2x在x∈[－π，0]上单调递增，所以 f(x)＝2cos x在x∈[－π，0]上单调递增，故D正确．故选ACD. 4. [－4，3]　因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以y＝－4cos x在区间上单调递增．又函数y＝sin x在区间上单调递增，所以函数f(x)＝3sin x－4cos x在区间上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝f＝3，所以f(x)的值域为[－4，3]. 5. (1) 因为f(x)＝sin (π－2x)＋cos ＝sin 2x＋sin 2x＝2sin 2x， 所以＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调减区间为，k∈Z. (2) 由(1)可知f(x)＝2sin 2x， 所以g(x)＝f＝2sin ＝2sin (2x＋)， 当0≤x≤时，≤2x＋≤， 当2x＋＝，即x＝时， 函数g(x)取得最大值，最大值为2sin ＝2； 当2x＋＝，即x＝时，函数g(x)取得最小值，最小值为2sin ＝1. 7．3.2　三角函数的图象与性质(4) 【活动方案】 背景引入：由于y＝tan x是以π为周期的周期函数，故只要画出在区间上的图象，然后利用函数周期性就可以得到整个图象． 思考1： 探究1　(1) (2) 如图． 思考2：正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．正切曲线可以向上、下无限延伸． 思考3：周期性 思考4：奇偶性 思考5：是增大的 探究2　 函数性质 正切函数y＝tan x 定义域 值域 R 周期性 以π为周期的周期函数 奇偶性 奇函数 单调性 增区间(k∈Z) 例1　由2x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为. 思考6：由ωx＋φ≠kπ＋(k∈Z)，得x≠－＋ (k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠－＋，k∈Z}． 例2　(1) (－∞，－]∪[1，＋∞). (2) 由题意，得y＝(tan x－1)2＋2. 因为x∈，所以tan x∈[1，]， 所以原函数的值域为[2，6－2]. 跟踪训练　(1) (k∈Z)　由题意，得tan ＞0，即tan ＜0，所以 kπ－＜x－＜kπ(k∈Z)，所以kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.故定义域为(k∈Z). (2) 由3x＋≠kπ＋(k∈Z)， 得x≠＋(k∈Z)， 所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 设t＝tan ，则t∈R， y＝t2＋t＋1＝＋≥， 所以原函数的值域是. 例3　(1) 因为y＝－tan 的减区间满足kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)， 所以4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)， 所以y＝－tan 的减区间是(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)，没有增区间． (2) tan ＝tan ＝tan ， tan ＝tan ＝tan . 因为y＝tan x在区间内单调递增， 且<<<π，所以tan ＞tan ， 即tan ＞tan . 跟踪训练　(1) 因为tan 4＝tan [π＋(4－π)]＝tan (4－π)，－＜4－π＜1＜，且y＝tan x在区间上单调递增， 所以tan (4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4. (2) 由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)， 得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)， 所以函数y＝tan 的增区间是(2k－，2k＋)(k∈Z)，没有减区间． 例4　y＝|tan x|的图象如图． 由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数， 增区间为(k∈Z)，减区间为(－＋kπ，kπ](k∈Z)，周期为π. 思考7：函数y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)，函数y＝|tan x|图象的对称轴是直线x＝(k∈Z). 【检测反馈】 1. A　因为2x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 2. B　易知函数y＝tan x的图象与直线x＝＋kπ(k∈Z)没有交点．若函数y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的图象与直线x＝2π没有交点，则2π＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z).因为φ≥0，所以φ的最小值为. 3. BCD　易得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，作出函数f(x)的图象，由函数f(x)＝|tan x|的图象，得最小正周期为π，故A错误；因为f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，故B正确；易得f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图象，得f(x)在区间(k∈Z)上单调递增，故D正确．故选BCD. 4. >　因为tan ＝－tan ＝tan ，tan ＝－tan ＝tan ，又0<<<，函数y＝tan x在区间上单调递增，所以tan <tan ，所以tan >tan . 5. 由题意，得y＝tan2x－2tanx＝(tan x－1)2－1. 因为x∈，所以tan x∈[－，]. 当tan x＝1，即x＝时，y取得最小值－1； 当tan x＝－，即x＝－时，y取得最大值3＋2， 所以函数的值域为[－1，3＋2]. 学科网（北京）股份有限公司 $