7.2.1任意角的三角函数学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦任意角的三角函数定义及其符号规律，从锐角三角函数出发，通过坐标法自然过渡到任意角，构建起“数形结合”的认知桥梁，形成由特殊到一般的学习支架，帮助学生理解函数本质与几何意义的统一。 资料特色鲜明，突出数学抽象、直观想象与逻辑推理三大核心素养。以单位圆为载体，巧妙引入三角函数线，实现从代数表达到几何刻画的跃迁，强化空间观念与运算能力。习题设计层次清晰，既有基础计算又有开放探究，如符号判断、函数值比较和定义域求解，有效培养学生的理性思维与应用意识，提升数学建模与问题解决能力。

7.2.1　任意角的三角函数(1) 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义． 2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号． 活动一 理解任意角α的正弦、余弦、正切 用(r，α)与用坐标(x，y)均可表示圆周上的点P，那么，这两种表示有什么内在联系？ 为了建立(x，y)与(r，α)之间的关系，我们可以从简单的情形出发，先考察α为锐角时的情形． 思考1►►► 初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间的关系有什么联系？ 思考2►►► 对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P 在角α的终边上的位置改变而改变？ 思考3►►► 对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？ 思考4►►► 如何定义任意角α的正弦、余弦、正切？ 1. 任意角的正弦、余弦、正切是在坐标系中定义的，角的范围是使比值有意义的实数集． 2. 任意角的正弦、余弦、正切值是比值，是一个实数，这个实数的大小只与α有关，而与α终边上的点P的位置无关． 3. 正弦、余弦、正切符号是一个整体，离开α的sin ，cos ，tan 是没有意义的，如sin α表示的是一个比值，而不是sin 与α的积． 例1　已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值． 已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值． 由于sin α，cos α，tan α的值与α的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择α终边上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值，例如选择α的终边与单位圆的交点． 例2　(1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值； (2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值． 例3　对于表中的角α，计算sin α的值，填写下表： α 0 π sin α α 2π sin α 把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α，sin α). 活动二　掌握任意角的三角函数值的符号　 思考5►►► 从例3的表与所画的图中，你能得到什么结论？ 思考6►►► 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？(将符号标在各个象限内) 　　 例4　确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1) sin ； (2) cos (－465°)； (3) tan . 确定下列三角函数值的符号． (1) cos 250°； (2) sin ； (3) tan (－672°)； (4) tan . 三角函数值在各象限内的符号规律： 根据三角函数的定义知： (1) 正弦值的符号取决于纵坐标y的符号； (2) 余弦值的符号取决于横坐标x的符号； (3) 正切值当x，y同号时为正，异号时为负． 由此，三角函数值在各象限内的符号规律可用口诀表示为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值均为正，第二象限内只有正弦值为正，第三象限内只有正切值为正，第四象限内只有余弦值为正． 1. 已知角α的终边过点(sin 30°，－sin 30°)，则sin α的值为(　　) A. － B. C. － D. 2. (2025阳江期末)“α是第四象限角”是“<0”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. (多选)(2025承德期末)已知角θ的终边经过点(－1，)，则下列说法中正确的是(　　) A. sin θ＝ B. cos θ＝ C. tan θ＝－ D. θ为第四象限角 4. (2025成都期末)若第二象限角α的终边与单位圆交点的横坐标为－，则tan α＝________． 5. 已知α为第二象限角，其终边上的一点为P(x，)，且cos α＝x，求实数x的值. 7．2.1　任意角的三角函数(2) 1. 了解有向线段的概念，理解三角函数线的概念． 2. 会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． 3. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围． 活动一 理解三角函数线的概念 在任意角三角函数的定义中，sin α＝，cos α＝与点P(x，y)在角α终边上的位置无关． (1) 当r＝1时，对任意角α，点P的轨迹是什么？ (2) 此时sin α，cos α的值分别是怎样的？ (3) 什么叫有向线段及其数量？ 思考1►►► 能否用几何方法(有向线段的数量)表示角α的正弦、余弦值？ 探究1　用适当的有向线段来表示第一象限角α的正切． 思考2►►► 当角α的终边在不同象限时，其三角函数线是怎样的？ 思考3►►► 当角α的终边在坐标轴上时，其三角函数线发生什么变化？ 正弦线、余弦线和正切线分别是正弦函数、余弦函数和正切函数的一个几何表示，它是与单位圆有关，且平行于坐标轴的某些特定的有向线段，用它们的长度和方向来表示三角函数值．三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数的正负．具体来说，正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，与y轴同向的为正值，反向的为负值；余弦线由原点指向垂足，与x轴同向的为正值，反向的为负值；正切线由切点指向与角α的终边的交点，与y轴同向的为正值，反向的为负值． 例1　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1) ；　　　　　　(2) ； (3) －；　　 (4) －. 思考4►►► 作三角函数线的一般步骤是怎样的？ 活动二 利用三角函数线探究三角函数的简单性质　　 思考5►►► 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数．那么，在弧度制下，你能得到正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域吗？ 探究2　探究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域． 探究3　探究正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的单调性． 探究4　探究正切函数在区间上的单调性． 活动三 掌握三角函数线的简单应用 例2　比较下列各组数的大小． (1) cos 和cos ； (2) sin 和tan . 作出角，－的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小． 例3　在单位圆中，画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此得出角α的取值范围． (1) sin α≥； (2) cos α＜－； (3) tan α≥. 求函数y＝的定义域． 1. 如图，已知A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于点M，过点A 作单位圆的切线交角α的终边于点T，则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　) A. 有向线段OM，AT，MP B. 有向线段OM，MP，AT C. 有向线段MP，AT，OM D. 有向线段MP，OM，AT 2. 若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　) A. a<b B. b<a C. a＝b D. 不能确定 3. (多选)给出下列四个命题，其中正确的是(　　) A. 当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B. 单位圆中，有相同正弦线的角相等 C. α和α＋π有相同的正切线 D. 具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 4. 若θ∈，则sin θ的取值范围是________． 5. 求下列函数的定义域． (1) y＝lg (－sin x)； (2) y＝. 7.2.1　任意角的三角函数(1) 【活动方案】 思考1：是放在直角三角形中定义的．sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 思考2：根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α的终边上的点P的位置无关． 思考3：r＝，此时P是角α的终边与半径为r的圆的交点(如图所示).根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α终边上的点P的位置无关． 　　 思考4：我们规定： ①比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝； ②比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝； ③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0). 例1　因为x＝2，y＝－3， 所以r＝＝， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－. 跟踪训练　因为r＝，sin α＝＝，所以x2＋9＝13，解得x＝±2. 例2　(1) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x＞0，y＞0). 根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝. 又由勾股定理，得x2＋＝1，解得x＝， 所以点P的坐标为， 所以sin ＝＝，cos ＝＝， tan ＝＝. (2) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点为P′，根据点P′与(1)中点P关于y轴对称可知，点P′的坐标为， 所以sin ＝＝，cos ＝＝－， tan ＝＝－. 例3　通过计算，可得　 α 0 π 2π sin α 0 1 0 － － －1 － － 0 把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α，sin α)，如图所示． 思考5：由例3可知，对于每一个实数α，都有唯一实数sin α与α对应，故sin α是α的函数．同理cos α也是α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于每一个实数α(α≠＋kπ(k∈Z))，都有唯一实数tan α与α对应，因此tan α也是α的函数．sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为α的三角函数． 思考6： 　　 例4　(1) 因为是第二象限角，所以sin ＞0. (2) 因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以cos (－465°)＜0. (3) 因为＝2π＋，即是第四象限角， 所以tan ＜0. 跟踪训练　(1) 因为250°是第三象限角， 所以cos 250°＜0. (2) 因为－是第四象限角，所以sin ＜0. (3) 因为－672°＝－2×360°＋48°，即－672°是第一象限角，所以tan (－672°)＞0. (4) 因为是第四象限角，所以tan ＜0. 【检测反馈】 1. C　由题意，得点的坐标为，则sin α＝＝－. 2. A　当α是第四象限角时，cos α>0，tan α<0，则<0一定成立，故充分性成立；当<0时，cos α与tan α异号，此时α为第三或第四象限角，故必要性不成立，所以“α是第四象限角”是“<0”的充分且不必要条件． 3. AC　由题意，得sin θ＝＝，cos θ＝＝－，tan θ＝－，故A，C正确，B错误；易得θ为第二象限角，故D错误．故选AC. 4. －　由题意，得第二象限角α的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan α＝＝－. 5. 由题意，得x<0，r＝， 所以cos α＝＝x，解得x＝－. 7．2.1　任意角的三角函数(2) 【活动方案】 背景引入：(1) 点P的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆． (2) sin α＝y，cos α＝x. (3) 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 思考1：如果x＞0，有向线段OM与x轴同向，其数量为x；如果x＜0，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x.同理可知MP＝y，所以sin α＝MP，cos α＝OM.这表明，有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线． 探究1　当角α的终边在第一象限时(如图所示)，在角α的终边上取点T(1，y′)，则tan α＝＝y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点). 思考2： 　　 　　 思考3：当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． 例1　如下列各图所示，有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线． (1) 　(2) (3) 　(4) 思考4：①作出单位圆和角α的终边； ②过终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M； ③过点A(1，0)作x轴的垂线与角α的终边所在的直线相交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角α的正弦线、余弦线、正切线． 思考5： 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α 探究2　正弦函数的值域为[－1，1]，余弦函数的值域为[－1，1]，正切函数的值域为R. 探究3　正弦函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 余弦函数在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，2π]上单调递增． 探究4　单调递增． 例2　(1) 如图，在单位圆中分别作出和的余弦线OM1和OM2.因为OM1>OM2，所以cos >cos . (2) 如图，分别作出的正弦线MP和正切线AT.因为AT>MP，所以tan >sin . 跟踪训练　如图1，图中有向线段MP，OM，AT分别表示角的正弦线、余弦线、正切线． 如图2，图中有向线段M′P′，OM′，A′T′分别表示角－的正弦线、余弦线、正切线． 由图可知MP＞0＞M′P′，OM<0<OM′，A′T′<AT<0， 所以sin ＞sin ，cos ＜cos ，tan ＞tan . 图1 图2 　　 例3　(1) 作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1阴影部分)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． (2) 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2阴影部分，不包括边界)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}． (3) 作直线y＝交单位圆在点A处的切线于点T，连接OT，则直线OT与y轴围成的区域(如图3阴影部分，不包括y轴)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|＋kπ≤α＜＋kπ，k∈Z}． 图1　 图2 图3 跟踪训练　由题意，得2cos x－1≥0，则cos x≥. 如图，在x轴上取点M1使OM1＝，过点M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2， 则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围， 所以满足cos x≥的角的集合即y＝的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 【检测反馈】 1. D　由题图知，圆O为单位圆，则OA＝OP＝1，且tan α＝＝AT，sin α＝＝MP，cos α＝＝OM，故角α的正弦线、余弦线、正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 2. B　因为<2<π，作出2的正弦线MP，余弦线OM，则a＝sin 2>0，b＝cos 2<0，所以b<a. 3. AD　由正弦线的定义可知当α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；与有相同的正弦线，但≠，故B错误；由正切线的定义可知当α＝时，α和α＋π的正切线均不存在，故C错误；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．故选AD. 4. 　由图可知sin ＝，sin ＝－1，所以－1<sin θ<，即sin θ∈. 5. (1) 由题意，得－sin x＞0，则sin x＜， 所以角x的终边所在区域如图所示， 所以2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 所以原函数的定义域是{x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}．　 (2) 由题意，得tan x－1≥0，则tan x≥1， 所以角x的终边所在区域如图所示， 所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z， 所以原函数的定义域为{x|＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $