7.1.2弧度制 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦弧度制的核心概念，通过比较弧长与圆心角的关系，引导学生从角度制自然过渡到弧度制，构建起“数形结合”的认知支架，实现从生活经验到数学抽象的跨越。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合。以问题链驱动探究，如思考2中半径变化对圆心角的影响，培养几何直观与推理能力；例题设计层层递进，强化弧度与角度互化、扇形面积最值等关键技能，凸显运算能力与模型意识，帮助学生建立数学与现实世界的联系，提升解决实际问题的能力。

7．1.2　弧　度　制 1. 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数． 2. 了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性． 3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 活动一 理解角度、弧度的概念 在半径为r的圆O中，如何比较∠AOB与∠COD的大小，并说明理由． 思考1►►► 在初中，我们已经学过角的度量，1度的角是怎样定义的？角还有没有新的度量方法？ 思考2►►► 当弧长l一定时，随着半径r的增大，圆心角α发生什么变化？ 思考3►►► 弧长l、半径r和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式？ 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0. 思考4►►► (1) 圆的半径为r，弧长为2r、3r、的弧所对的圆心角(正角)分别为多少弧度？ (2) 角的弧度数与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角． 探究1　作图，探求平角、周角的弧度数并与它们的角度数进行比较． 注意：(1) 以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式； (2) 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示时不能混用． 探究2　在下图中写出各特殊角所对应的弧度数． 活动二　掌握角度与弧度互化　 例1　将下列各角从弧度化为度： (1) ； (2) 3.5； (3) －. 例2　将下列各角从度化为弧度： (1) 250°； (2) －22°30′； (3) －150°. 将下列各角度与弧度互化： (1) ； (2) －； (3) －157°30′. 活动三　用弧度表示终边相同的角　 例3　已知角α＝2 020°. (1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2) 在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). (1) (2) 　 活动四 掌握扇形的弧长与面积公式　　 探究3　推导弧度制下的弧长和扇形面积公式． 角度制 弧度制 角 n° α 半径 r r 弧长公式 l＝ 扇形面积公式 S＝·πr2 例4　已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积． 　　 求解下列各题： (1) 已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角(正角)的弧度数； (2) 若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积； (3) 若一扇形的周长为60 cm，当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 1. (2025嘉兴期末)－是(　　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. (2025盐城期末)若α＝－5，则角α的终边在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. (多选)(2024新乡月考)下列说法中，正确的是(　　) A. 100°化成弧度是 rad B. rad化成角度是2° C. －420°化成弧度是－ rad D. － rad化成角度是－75° 4. (2025湖北部分市州期末)已知扇形的半径为2，圆心角为30°，则该扇形的面积为________． 5. (2024揭东二中月考)已知角α＝1 200°. (1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β≤2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2) 在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角． 7．1.2　弧　度　制 【活动方案】 背景引入：①用量角器度量；②比较弦长；③比较弧长． 思考1：周角的为1度的角，还有弧度制． 思考2：变小． 思考3：|α|＝. 思考4：(1) 2，3，. (2) 无关． 探究1　 　 探究2　 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 例1　(1) rad＝×＝108°. (2) 3.5 rad＝3.5×＝≈200.54°. (3) － rad＝－×＝－1 140°. 例2　(1) 250°＝250× rad＝ rad. (2) －22°30′＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad. (3) －150°＝－150× rad＝－ rad. 跟踪训练　(1) 75°　(2) －210°　(3) － rad 例3　(1) 2 020°＝2 020× rad＝ rad＝5×2π＋ rad.　 又π＜＜，所以α与终边相同，是第三象限的角． (2) 与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－；当k＝－2时，γ＝－；当k＝－1时，γ＝－. 跟踪训练　(1) 以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}． (2) 以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝， M2＝， 所以阴影部分内的角的集合为 M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}． 探究3　由|α|＝，可得弧长l＝|α|r. 在弧度制中，若|α|≤2π，则圆心角为α的扇形面积S＝·πr2＝|α|r2＝rl. 例4　设扇形的半径为r，弧长为l， 则解得 所以扇形的面积为S＝rl＝4(cm2). 跟踪训练　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为θ. (1) 因为l＋2r＝20，所以l＝20－2r. 又lr＝9，所以(20－2r)r＝9， 解得r＝1或r＝9. 当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18>2π(不符合题意，舍去)，所以r＝9，所以l＝2，θ＝， 即扇形的圆心角的弧度数为. (2) 扇形的圆心角的弧度数为75×＝，扇形半径为15 cm，则扇形的面积S＝θ·r2＝××152＝(cm2). (3) 设扇形的面积为S. 由题意，得l＋2r＝60，则l＝60－2r，且0<r<30. 又S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225. 当r＝15时，Smax＝225， 此时θ＝＝＝＝2. 故当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为225 cm2. 【检测反馈】 1. C　因为－＋2π＝， 且π<<，所以是第三象限角，所以－是第三象限角． 2. A　因为0<2π－5<，所以2π－5为第一象限角. 又α＝－5的终边与角2π－5的终边重合，所以角α的终边在第一象限． 3. AB　对于A，100°＝100× rad＝ rad，故A正确；对于B， rad＝×＝2°，故B正确；对于C，－420°＝－420× rad＝－ rad，故C错误；对于D，－ rad＝－×＝－135°，故D错误．故选AB. 4. 　设该扇形的圆心角为α，半径为r，则α＝30°＝，r＝2，所以该扇形的面积为S＝αr2＝××4＝. 5. (1) 因为α＝1 200°＝1 200× rad＝ rad＝＋3×2π rad， 所以角α与的终边相同． 又<<π，所以角α是第二象限角． (2) 因为与角α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z, 所以由－4π≤＋2kπ≤0，得－≤k≤－. 因为k∈Z， 所以k＝－2或k＝－1. 当k＝－2时，＋2×(－2)π＝－； 当k＝－1时，＋2×(－1)π＝－， 所以在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－. 学科网（北京）股份有限公司 $