7.1.2 弧度制-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数中的弧度制，系统讲解角度制与弧度制的概念、互化方法及弧度制下的弧长和扇形面积公式，通过自主预习环节衔接角度制旧知，以温馨提示、微点拨等学习支架帮助学生理解弧度单位省略规则等易错点。 其亮点在于以数学眼光抽象弧度制本质，通过角度与弧度互化例题（如将-1500°化为弧度）培养运算能力，结合扇形面积最值问题（周长一定时求最大面积）发展推理意识。采用题型分类与方法总结，学生能构建知识体系提升解题能力，教师可借助同步讲义高效实施教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．1．2　弧度制 度 弧度 半径长 2π π 180° α·R 课下培优巩固练（三十五） [课程标准]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 一、角度制与弧度制 1．角度制：用___作为单位来度量角的单位制； 1度的角等于周角的 eq \f(1,360) . 2．弧度制：以______作为单位来度量角的单位制； 1弧度的角：长度等于_________的圆弧所对的圆心角． 二、弧度数和角度制的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝______ rad 2π rad＝360° 180°＝___ rad π rad＝________ 1°＝ eq \f(π,180) rad≈0．017 45 rad 1 rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °≈57.30° 度数× eq \f(π,180) ＝弧度数 弧度数× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °＝度数 [温馨提示]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． eq \f(1,2) α·R2 三、 弧度数公式、弧长公式和扇形面积公式 1．弧度数公式为：|α|＝ eq \f(l,r) . 2．设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝_________ l＝_________ 扇形的面积 S＝_________ S＝_________＝_________ eq \f(απR,180) eq \f(απR2,360) eq \f(1,2) l·R 微点拨：(1)在应用扇形面积公式S＝ eq \f(1,2) αR2时，要注意α的单位是“弧度”，且α为实数． (2)在弧度制下的扇形面积公式S＝ eq \f(1,2) lR，与三角形面积公式S＝ eq \f(1,2) ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)1°的角是周角的 eq \f(1,360) ，1 rad的角是周角的 eq \f(1,2π) . (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列转化结果错误的是(　　) A．60°化成弧度是 eq \f(π,3) B．－ eq \f(10,3) π化成度是－600° C．－150°化成弧度是－ eq \f(7,6) π D． eq \f(π,12) 化成度是15° 解析：对于A，60°＝60× eq \f(π,180) ＝ eq \f(π,3) ； 对于B，－ eq \f(10π,3) ＝－ eq \f(10,3) ×180°＝－600°； 对于C，－150°＝－150× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(5,6) π； 对于D， eq \f(π,12) ＝ eq \f(1,12) ×180°＝15°.故C项错误． 答案：C 3．(2025·苏州高一上期末)已知某扇形的圆心角为 eq \f(π,3)，半径为2，则该扇形的面积为________． 解析：该扇形的面积为S＝ eq \f(1,2)× eq \f(π,3)×22＝ eq \f(2π,3). 答案： eq \f(2π,3) 题型一　角度制与弧度制的互化 例1. （苏教版必修一P163例3、例4改编）把下列弧度与角度进行互化. (1) eq \f(23π,6) ＝________． (2)－ eq \f(13π,6) ＝________． (3)－1 500°＝________． (4)67°30′＝________． 解析：(1) eq \f(23π,6) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)×\f(180,π))) °＝690°. (2)－ eq \f(13π,6) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)×\f(180,π))) °＝－390°. (3)－1 500°＝－1 500× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(25,3) π. (4)67°30′＝67.5°＝67.5× eq \f(π,180) ＝ eq \f(3π,8) . 答案：(1)690°　(2)－390° (3)－ eq \f(25π,3) 　(4) eq \f(3π,8) [总结] 　角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ eq \f(π,180) rad和1 rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π))) °；n°＝n· eq \f(π,180) rad. 【练一练】 1．将下列角度与弧度进行互化： (1) eq \f(511,6) π；(2)－ eq \f(7π,12) ；(3)10°；(4)－855°. 解：(1) eq \f(511,6) π＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(511,6)π×\f(180,π))) eq \s\up12(°) ＝15 330°. (2)－ eq \f(7π,12) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π×\f(180,π))) eq \s\up12(°) ＝－105°. (3)10°＝10× eq \f(π,180) ＝ eq \f(π,18) . (4)－855°＝－855× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(19π,4) . 题型二　用弧度制表示终边相同的角 例2.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图). 解：(1)以OA为终边的角为 eq \f(π,6) ＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－ eq \f(2π,3) ＋2kπ(k∈Z). ∴阴影部分内的角的集合为{α|－ eq \f(2π,3) ＋2kπ＜α＜ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z}． (2)以OA为终边的角为 eq \f(π,3) ＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为 eq \f(2π,3) ＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))) ， M2＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)))) . ∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜ eq \f(π,3) ＋2kπ，或 eq \f(2π,3) ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}． [总结] 　1.用弧度表示与α终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)的注意点 (1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍； (2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2kπ(k∈Z)是错误的． 2．象限角的表示 例如：第一象限角的集合为{α|2kπ＜α＜2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z}． 3．轴线角的表示 例如：终边在坐标轴上的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z)))) . 【练一练】 2．(1)用弧度制表示与角300°的终边相同的角的集合为__________________． 解析：300°＝300× eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,3) ，故与角300°终边相同的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)))) . 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)))) (2)若角α的终边与 eq \f(π,3) 角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值． 解：如图，设 eq \f(π,3) 角的终边为射线OA， 射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB， 则以射线OB为终边的一个角为 eq \f(π,4) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4))) ＝ eq \f(π,6) ， ∴以OB为终边的角的集合为{α|α＝2kπ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z}． 又∵α∈(－2π，2π)，∴－2π<2kπ＋ eq \f(π,6) <2π，且k∈Z， ∴k＝－1或k＝0. 当k＝－1时，α＝－ eq \f(11π,6) ；当k＝0时，α＝ eq \f(π,6) . ∴角α的值为－ eq \f(11π,6) 或 eq \f(π,6) . 题型三　扇形弧长和面积公式 例3.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝ eq \f(π,3) ，R＝10，∴l＝ eq \f(10π,3) ， S弓＝S扇－S△＝ eq \f(1,2) × eq \f(10π,3) ×10－ eq \f(\r(3),4) ×102＝50( eq \f(π,3) － eq \f(\r(3),2) ). (2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R， ∴S扇＝ eq \f(1,2) Rl＝ eq \f(1,2) R(C－2R) ＝－R2＋ eq \f(1,2) RC＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(C,4))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(C2,16) ， ∴当R＝ eq \f(C,4) 时，S扇有最大值且为 eq \f(C2,16) ， 此时l＝C－2R＝ eq \f(C,2) ， ∴|α|＝ eq \f(l,R) ＝ eq \f(C,2) · eq \f(4,C) ＝2. 故|α|＝2时，该扇形的面积最大． [总结] 　关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝ eq \f(l,r) ，S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． 解析：设扇形的半径为r，则S＝ eq \f(1,2)|α|r2＝ eq \f(1,2)×2×r2＝4，∴r＝2，则扇形的弧长为2×2＝4，故扇形周长为2r＋4＝8. 答案：B 【练一练】 3．(2025·南通如皋高一上期末)已知扇形的圆心角为2 rad，面积为4，则扇形的周长为(　　 ) A．10 B．8 C．6 D．4 4．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) ×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝ eq \f(l,r) ＝ eq \f(40－2×10,10) ＝2 rad. $