精品解析：福建省莆田市莆田第一中学2025-2026学年九年级上学期返校考数学考卷

莆田一中2025九年级数学暑假返校考试试卷 一、选择题（每小题4分，共10个小题，共40分） 1. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 2. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意． 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 5. 如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点， ∴当时，则， 故选：B 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结果． 【详解】解：设，原方程变为，即． 因式分解得， 解得或， 当时，方程的判别式，存在实数解， 当时，方程的判别式，无实数解， 因此，代数式的值为2， 故选：B． 9. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：点在抛物线上， 把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设（ ）， 点，关于轴对称， ． 过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则． ∴，， ∴，． 四边形周长， ． ∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线． ∴当时，． 故选： ． 二、填空题（每小题4分，共6个小题，共24分） 11. 如图，已知，，如果，那么的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：5． 12. 如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：菱形的面积为：， 故答案为：24． 13. 已知点，在直线上，则m，n的大小关系_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵点，在直线上， ∴， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和为． 故答案为：． 15. 点在线段上，若，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 16. 如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理与相似三角形的判定与性质，灵活的运用相关知识是解题的关键． 在直角三角形中根据勾股定理可得，设正方形的边长为x，则，，，利用正方形的性质可知，，则可证得，利用相似比可得，由此求解出正方形的边长，再计算其面积即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 设正方形的边长为x， 则，，， 在正方形中， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 正方形的面积为：． 故答案为：． 三、解答题（共9个小题，共86分） 17. 已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 19. 课本再现．人教版初中数学教科书九年级上册第页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第行有一个点，第行有两个点第行有个点 小明同学发现，前行的点数和是，前行的点数和是，前行的点数和是前行的点数和是，他有点疑惑，能不能用含的式子把表示出来． 小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的．经过思考后，他发现： 设，① 则，② 由①②可得 （1）探索：三角点阵中前行的点数之和为________，那么，前行的点数之和为________； （2）应用：若图中三角点阵前行的点数之和为，求的值为________． 【答案】（1）36， （2） 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，一元二次方程的应用；能由所给图形表示出前行的点数之和是解题的关键． （1）由于第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，则前行共有个点；前行共有个点，根据题意①②可得，然后即可计算求解； （2）由题意，利用（1）中表达式可得，，再用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点， 前行的点数之和为， 记前行的点数之和为， 则①， 又②， ①②得，， ，即前行的点数之和为． 故答案为：36，． 【小问2详解】 解：由（1）知，前行的点数之和为， 前行的点数之和为， 整理得，， 因式分解得，， 于是得，或， ，， ， ，即的值为． 故答案为：． 20. 如图，在中，点在边上，，是中点．点与点关于直线对称，且，与交于点． （1）求作点；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）连接，，若，，求的值． 【答案】（1） 点即为所求；                 （2） 【解析】 【分析】（1）答案不唯一，作的平分线，在角平分线上截取，即可求解： （2）点与点关于直线对称，则，，，得出，如图，连接，是中点，，进而得出 ，解法一：根据已知得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可求解；解法二：根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，得出，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图点即为所求． 作的平分线：取任意长度为半径，作弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的长的一半为半径在内部作弧交于一点，过点与这点作射线，截取，则点即为所求； 【小问2详解】 点与点关于直线对称， ，， ， ， 如图，连接， 在中， 是中点， ， ， 解法一： ， 解法二： ， ， 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 （1）直接写出的最小值为______． （2）请求出的值最小时x的值． 【答案】（1）10 （2）的值最小时x的值为 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）通过构造几何图形，利用勾股定理将代数式中的根式转化为直角三角形的斜边，再依据两点之间线段最短的性质来求解最小值． （2）证明，根据相似三角形性质求出结论． 【小问1详解】 解：如下图所示， 在中，可看成是直角边分别为x和2的直角三角形的斜边的长度， 延长到D，使得，则为， 以点D为直角构造，使得，可得， 过点E作交的延长线的垂线交于点F， 此时为直角三角形，四边形为矩形， 连结交于点， ∵， ∴当点A、C、E三点共线时，最小，最小值为的长， 即当x等于时，最小， 此时最小值， 故答案为：10； 【小问2详解】 由（1）知，当x等于时，最小， ， ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， 的值最小时x的值为． 22. 整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: （1）为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； （2）现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【小问1详解】 解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， 【小问2详解】 解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 23. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则 （用含的式子表示）； （2）当和的面积相等时， ． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由是等腰直角三角形，，得，，求出，知，故； （2）过F作交延长线于H，设交于G，由和的面积相等，可得，即可证明，得，故，而，有，从而求出． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过F作交延长线于H，设交于G，如图： ∵和的面积相等， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和相似三角形判定定理． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）求该二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）连接， 求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）存在，点 P 的坐标为 （3）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，根据，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标； （3）由（2）可知，则四边形面积，当时，四边形面积的最大值为． 【小问1详解】 解：抛物线过与点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点坐标为， 轴， 点的坐标为， ； 如图，连接， ， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ； 过点作于，则， ， ， 解得：，（舍去）， 此时； ∴点 P 的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 四边形面积， ∵， ∴当时，四边形面积的最大值为． 25. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025九年级数学暑假返校考试试卷 一、选择题（每小题4分，共10个小题，共40分） 1. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 2. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 9. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 二、填空题（每小题4分，共6个小题，共24分） 11. 如图，已知，，如果，那么的长为______． 12. 如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为_______． 13. 已知点，在直线上，则m，n的大小关系_______． 14. 如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是________． 15. 点在线段上，若，那么的值为______． 16. 如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为______． 三、解答题（共9个小题，共86分） 17. 已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 课本再现．人教版初中数学教科书九年级上册第页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第行有一个点，第行有两个点第行有个点 小明同学发现，前行的点数和是，前行的点数和是，前行的点数和是前行的点数和是，他有点疑惑，能不能用含的式子把表示出来． 小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的．经过思考后，他发现： 设，① 则，② 由①②可得 （1）探索：三角点阵中前行的点数之和为________，那么，前行的点数之和为________； （2）应用：若图中三角点阵前行的点数之和为，求的值为________． 20. 如图，在中，点在边上，，是中点．点与点关于直线对称，且，与交于点． （1）求作点；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）连接，，若，，求的值． 21. 参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 （1）直接写出的最小值为______． （2）请求出的值最小时x的值． 22. 整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: （1）为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； （2）现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 23. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则 （用含的式子表示）； （2）当和的面积相等时， ． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）求该二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）连接， 求四边形面积的最大值． 25. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $