第21章 一元二次方程 单元检测 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程 一、选择题 1.若一元二次方程的两根为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.已知，则关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 4.方程的解，正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（   ） A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6.若，则的值为（    ） A．3 B． C．1或3 D．或 7．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　） A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 8.若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A．6 B．12 C．12或 D．6或 9.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间要赛一场，计划安排15场比赛，则比赛组织者邀请球队的数量是（　　） A．10 B．8 C．7 D．6 10.如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则该有盖纸盒的高为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 1.一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 　 　． 2.若a是一元二次方程的一根，则的值为______． 3．若一元二次方程没有实数根，则常数项c的最小整数值为_______． 4.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 5.对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____． 6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 三、解答题 1．用配方法解方程： (1)． (2)； 2．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 3．如下图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止．如果点从点先出发，点再从点出发，那么点运动几秒后，？ 4． 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”． (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解． 5．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 6．常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题 1.2． 2. 3．3 4. 5.-3或4 6．8． 三、解答题 1．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 2．(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 3．4s 【分析】本题可设点P出发后，由题可得在列方程求出答案即可. 【详解】解：设点运动后，，则点运动的时间为． 由题意，得， 整理，得， 解得． 故点运动后，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键在于弄清图形与实际问题的关系. 4．(1) (2)，；， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：根据对称方程的定义可得方程的“对称方程”是； （2）解：由移项，得． 关于的方程与互为“对称方程”， ，，解得，， 化为， 解得，． 5．(1)； (2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； (3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 6．(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以及三角形三边关系的结合是解题的关键． （1）先提取公因式2得到，再根据完全平方公式进行化简得到； （2）将式子前两项分为一组，后两项分为一组，对于，根据平方差公式可得到，对于提取公因式3可得到， 此时原式变为，再提取公因式即可； （3）先将通过拆项分组，得到，根据完全平方公式化简为，根据非负数的性质得到式子，，求出，的值，再根据三角形的三边关系求出，最后计算的周长即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：，．．，．，．由三角形的三边关系，可知，即．又为正整数，．的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $