第6章幂函数、指数函数和对数函数本章复习学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦幂函数、指数函数与对数函数的综合复习，以知识网络构建为起点，通过数的大小比较、复合函数单调性分析及实际应用问题层层递进，形成由概念到方法再到建模的学习支架，帮助学生系统梳理三类函数的核心性质与内在联系。 资料亮点突出，注重培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力和数学建模意识，尤其在例题设计中巧妙融合图像观察、代数运算与实际情境，引导学生从具体数值比较中提炼函数单调性规律，再迁移至复合函数结构分析，体现“同增异减”的思维本质，强化了数学语言表达与理性思考的训练，助力学生实现从解题技能向核心素养的跃升。

第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本 章 复 习 1. 了解幂函数的概念，理解指数函数、对数函数的概念． 2. 会用函数图象和代数运算的方法研究幂函数、指数函数与对数函数的性质，并能综合运用其解决简单的问题. 3. 理解这些函数中蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题；体会这些函数在解决实际问题中的作用． 活动一 构建知识网络 活动二 数的大小比较 数的大小比较常用方法： (1) 比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3) 比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0且小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 例1　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a 已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. b＜a＜c 活动三 复合函数的单调性 1. 一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上也是单调函数． 2. 对于函数y＝f(t)，t＝g(x). 若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例2　已知函数f(x)＝. (1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数f(x)有最大值3，求a的值． 已知函数f(x)满足f(x)＋log2x＝log2(ax＋1). (1) 当a＝1时，解不等式f(x)＞1； (2) 若关于x的方程f(x)＝2 x的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围； (3) 设a＞0，若∀t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 活动四 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比： 指数函数与对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系． (1) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．当a变化时，函数的图象和性质也随之变化． (2) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0). (3) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性． (4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两个函数的图象关于直线y＝x对称． 例3　(1) 若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________； (2) 若函数f(x)＝log2在区间(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________． (2025临沂期末)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(a－x)(a>0)为偶函数． (1) 求实数a的值； (2) 若f(m－1)<log25，求实数m的取值范围． 1. (2025绍兴期末)函数f(x)＝x ln |x|的图象大致形状是(　　) A B C D 2. (2025郴州期末)已知a＝，b＝8，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　) A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a 3. (多选)(2024济南一中月考)已知函数f(x)＝a－2x2＋x－1(0<a<1)，则下列说法中正确的是(　　) A. f(x)有最小值 B. f(x)的单调增区间为 C. f(x)有最大值 D. f(x)的单调增区间为 4. (2025漳州期末)函数f(x)＝的定义域为________． 5. (2025山西部分地市期末)已知函数f(x)＝3－2logax(a>1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2. (1) 求实数a的值； (2) 若对任意的x∈(1，4]，都有f(x2)·f()>k·log2x，求实数k的取值范围． 本 章 复 习 【活动方案】 例1　C　因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x＞0时，f(x)＞0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，所以a＝g(－log25.1)＝g(log25.1).又20.8＜2，且4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以0＜20.8＜log25.1＜3，所以g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，即b＜a＜c. 跟踪训练　A　由题意，得m－1＝1，所以m＝2，所以2n＝8，所以n＝3，所以f(x)＝x3，易知f(x)＝x3是定义在R上的增函数．又－＜0＜＜＝1＜ln π，所以c＜a＜b. 例2　(1) 当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3. 因为g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上是减函数， 所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的增区间是(－2，＋∞)，减区间是(－∞，－2). (2) 令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝. 因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1， 所以必有解得a＝1. 跟踪训练　(1) 由题意可得 解得0<x<1.故不等式的解集为(0，1). (2) 方程有且仅有一解，等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一正解． 当a＝0时，x＝1符合题意； 当a>0时，Δ＝1＋4a>0，x1·x2＝－<0，此时方程有一正根、一负根，满足题意； 当a<0时，要使ax2＋x－1＝0有且仅有一正解，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，则方程的解为 x＝2，满足题意． 综上，实数a的取值范围是∪[0，＋∞). (3) 由题意，得f(x)＝log2. 当0＜x1＜x2时，＋a>＋a， 所以log2>log2， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)， 则f(t)－f(t＋1)＝log2－log2(＋a)≤1， 即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈恒成立． 因为a＞0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增， 所以当t＝时，y有最小值a－. 由a－≥0，得a≥. 故a的取值范围为. 例3　(1) －　因为x<1，所以0<2x<2.要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0，2)，由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－. (2) 　原问题等价于a·4x＋2x＋1>0对任意x∈(－∞，1]恒成立．因为4x>0，所以a>－在区间(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝－，x∈(－∞，1].由y＝－与y＝－在区间(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在区间(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.因为a>－[()x＋()x]在区间(－∞，1]上恒成立，所以a>－，故所求a的取值范围为. 跟踪训练　(1) 因为a>0，所以f(x)的定义域为(－3，a). 又f(x)为偶函数，所以f(x)的定义域一定关于原点对称，则a＝3， 此时f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，f(－x)＝log2(3－x)＋log2(3＋x)，满足f(－x)＝f(x). 故a的值为3. (2) 由(1)知，f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，则f(m－1)＝log2(2＋m)＋log2(4－m)， 所以f(m－1)<log25可转化为 解得－2<m<－1或3<m<4， 所以实数m的取值范围为(－2，－1)∪(3，4). 【检测反馈】 1. D　由题意，得 f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝－x ln |x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，排除A，B；f(1)＝0，f＝ln <0，排除C. 2. A　由题意，得a＝＝2>1，b＝8＝(23)＝2>1，c＝ln 2<ln e＝1.因为>，y＝2x在R上单调递增，所以2>2，即a>b，所以a>b>c. 3. AD　设u(x)＝－2x2＋x－1＝－2－，则u(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为y＝ax(0<a<1)为减函数，所以根据复合函数的单调性可知f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)有最小值，无最大值．故选AD. 4. (0，4]　由2－log2x≥0，得log2x≤2＝log24，解得0<x≤4，所以函数f(x)＝的定义域为(0，4]. 5. (1) 当a>1时，函数f(x)在区间[2，4]上单调递减， 所以f(x)max－f(x)min＝f(2) －f(4)＝3－2loga2－(3－2loga4)＝2loga2＝2， 解得a＝2. (2) 由(1)知，f(x)＝3－2log2x. 由f(x2)·f()>k·log2x，得(3－2log2x2)·(3－2log2)＝(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x. 令t＝log2x，当x∈(1，4]时，t∈(0，2]， 则(3－4t)·(3－t)>kt对任意的t∈(0，2]恒成立， 所以k<＝＝4t－15＋. 又4t＋≥2＝12，当且仅当4t＝，即t＝时，等号成立， 所以＝12－15＝－3， 所以k<－3. 故实数k的取值范围为(－∞，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $