6.3对数函数学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦对数函数的核心概念与性质，从细胞分裂、放射性衰变等真实情境引入，通过指数函数与对数函数的互逆关系构建知识支架，自然过渡到对数函数定义域、图象特征及单调性的探究，实现从具体到抽象的认知跃迁。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的深度融合。以问题链驱动学习，如“如何用y表示x”引导学生发现反函数本质，强化几何直观与符号意识；在比较大小、图像变换等环节中渗透分类讨论与数形结合思想，提升逻辑推理能力；习题设计层次清晰，涵盖基础巩固、能力拓展与综合应用，尤其注重跨情境迁移与真实问题建模，有效发展学生的数学建模意识与理性精神。

6．3　对 数 函 数 6.3.1　对数函数(1) 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念. 2. 能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质. 3. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 4. 能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小． 活动一 对数函数的概念 在某种细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x.因此，知道x的值(输入值是分裂次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数).现在，如果我们知道了细胞个数y，如何确定分裂次数x？这就是本节我们要研究的对数函数． 思考1►►► 在背景引入中，y与x的关系式为y＝2x，那么，如何用y来表示出x? 思考2►►► 在思考1得出的关系式中，x是y的函数吗？为什么？ 思考3►►► 前面提到的放射性物质，经过的时间x(单位：年)与物质剩余量y的关系式为y＝0.84x，那么，如何用y来表示出x? x是y的函数吗？ 思考4►►► 习惯上，用x表示自变量，用y表示它的函数．这样，上面两个函数可写出怎样的形式？ 思考5►►► 函数y＝log2x，y＝log0.84x，y＝log3x，y＝x具有什么共同特征？ 一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域为(0，＋∞). 例1　求下列函数的定义域： (1) y＝log0.2(4－x)； (2) y＝loga(a>0，a≠1). 求下列函数的定义域： (1) y＝log3(1－x)； (2) y＝； (3) y＝log7； (4) y＝log(2x－1)(－4x＋8). 活动二　对数函数的图象及性质　 思考6►►► 写出在同一平面直角坐标系内作出函数y＝log2x及y＝x的图象的过程，观察图象，并指出这两个函数有哪些相同的性质和不同的性质？ 思考7►►► 根据思考6的图象，能看出函数y＝log2x及y＝x的图象的对称关系吗？ 我们可以对照指数函数的图象和性质得到对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质： a>1 0<a<1 图象 性质 (1) 定义域：(0，＋∞) (2) 值域：R (3) 图象过点(1，0) (4) 增函数； 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 减函数； 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 例2　(1) 若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________； (2) 函数y＝log3x与y＝x的图象关于________对称； (3) 函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是(　　) A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 (1) 已知对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　) A. y＝log4x B. y＝x C. y＝x D. y＝log2x (2) 函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 思考8►►► 函数y＝logax与y＝ax(a>0，a≠1)的定义域、值域之间有怎样的关系？ 思考9►►► 函数y＝logax与y＝ax(a>0，a≠1)的图象有怎样的关系？ 当a>0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数．反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数．一般地，如果函数y＝ f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f-1(x).互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 例3　比较下列各组数中两个数的大小： (1) log23.4，log28.5； (2) log0.51.8，log0.52.1； (3) log75，log67. 比较两个同底数的对数的大小，首先要根据对数底数判断对数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判断两个对数值的大小．若底数不同，则需要找一个中间值来进行比较．对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论． 比较下列各组中两个值的大小： (1) ln 0.3，ln 2； (2) loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3) log30.2，log40.2； (4) log3π，logπ3. 1. 已知集合A＝{x|y＝ln x}，B＝{y|y＝ln x}，则A∩B等于(　　) A. ∅ B. [0，＋∞) C. (0，＋∞) D. R 2. 已知a＝ln 2，b＝ln 3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c>a>b B. c>b>a C. b>a>c D. b>c>a 3. (多选)(2024承德期末)已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，则函数y＝ax与y＝logbx的图象的交点坐标不可能为(　　) A. (2，2) B. (2，1) C. (1，1) D. (1，2) 4. (2025河北期末)函数f(x)＝log5x＋的最小值为________． 5. 若函数f(x)＝log3(2x2－8x＋m)的定义域为R，求实数m的取值范围． 6．3.2　对数函数(2) 1. 了解对数函数底数的大小与函数图象的关系. 2. 理解对数函数图象的画法及对数函数图象的平移，并能应用对数函数的性质解决相关问题. 3. 通过研究对数函数的有关性质，培养归纳和应用的思维能力． 活动一 对数函数底数的大小与函数图象的关系 思考1►►► 观察如图所示函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？ 思考2►►► 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？ 例1　(1) 比较下列各组数的大小： ①log3与log5； ②log1.10.7与log1.20.7. (2) 已知b<a<c，比较2a，2b，2c的大小关系． 比较对数数值大小的方法有很多：①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底数(利用换底公式)或利用对数函数的图象，数形结合来比较；③若不同底数，不同真数，则可利用中间值进行比较． (1) 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________； (2) 已知logm7<logn7<0，则m，n，0，1之间的大小关系是____________． 函数y＝logmx与y＝lognx中m，n的大小与图象的位置关系．当0<n<m<1时，如图1；当1<n<m时，如图2；当0<m<1<n时，如图3. 图1 图2 图3 例2　(1) 已知loga>1，求a的取值范围； (2) 已知log0.72x<log0.7(x－1)，求x的取值范围． logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根． 对于logaf(x)＞logag(x)等价于当0＜a＜1时，当a>1时， 解不等式： (1) x>(4－x)； (2) logx3>1； (3) loga(2x－5)>loga(x－1). 活动二 对数函数图象的平移变换　　 例3　说明函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的图象的关系． 已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？ 1. 当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象． 2. 当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向上平移a个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向下平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象． 1. (2025郑州期末)已知loga<1，则实数a的取值范围为(　　) A. (1，＋∞) B. ∪(1，＋∞) C. ∪(1，＋∞) D. 2. 已知a＝lg 2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c<b<a B. a<b<c C. a<c<b D. c<a<b 3. (多选)(2025达州期末)函数f(x)＝loga的图象可以为(　　) A B C D 4. (2025景德镇期末)已知函数y＝loga(x＋1)，它的反函数y＝f(x)经过点(2，3)，则a＝________． 5. (2025常州北郊高级中学期末)已知函数f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x). (1) 求函数y＝f(x)的定义域，并判断f(x)是否具有奇偶性； (2) 若f(m)－f(－m)<2，求实数m的取值范围． 6．3.3　对数函数(3) 1. 熟练掌握对数函数的图象和性质，并能应用对数函数的图象和性质解决问题. 2. 理解含有绝对值对数函数图象的画法，体会数形结合、分类讨论等思想方法的应用. 3. 通过研究与对数函数有关的复合函数的性质，培养分析问题、解决问题的能力. 活动一 利用数形结合解决含绝对值对数函数的问题 例1　画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间． 函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象． 说明下列函数的图象与对数函数y＝log2x的图象的关系，并画出它们的示意图，根据图象写出它们的单调区间： (1) y＝|log2x|； (2) y＝log2(－x)； (3) y＝－log2x. 例2　已知函数f(x)＝|logax|(0<a<1)，则下列各式中正确的是(　　) A. f>f(2)>f B. f>f>f(2) C. f(2)>f>f D. f>f(2)>f 设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则下列选项中正确的是(　　) A. x1x2＜0　　　　　B. x1x2＝0 C. x1x2＞1 D. 0＜x1x2＜1 从以上两个例题可知，一般地含绝对值的对数函数的解析式有两种情形： (1) 真数加上绝对值，改变原有的定义域． (2) 解析式整体加上绝对值，改变原有的值域． 基于这两种情形，题型是可以变化的，如研究f(x)＝log2(|x|＋1)的图象性质，可先画x>0的部分图象，再从奇偶性判断图象关于y轴对称． 再如，函数f(x)＝|loga|x||尽管两处都含有绝对值符号，只需借助数形结合的思想，画出图象，就能准确地得到问题的答案． 活动二 利用对数函数的图象和性质解决函数单调性与奇偶性的问题 例3　已知f(x)＝log4(4x－1). (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的单调性； (3) 求函数f(x)在区间上的值域． 已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1). (1) 求函数f(x)的定义域、值域； (2) 判断函数f(x)的单调性，并证明． 例4　已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数． (1) 求实数a的值； (2) 若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围． (2025郴州期末)已知f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数． (1) 求实数k的值； (2) 设h(x)＝－x2＋2tx－1，若∀x1∈[1，3]，∀x2∈[0，2]，都有h(x1)≤f(x2)＋x2成立，求实数t的取值范围． 1. 判断形如y＝logaf(x)的单调性时，常先分析f(x)的单调性，然后分a>1和0<a<1两类分别指出函数y＝logaf(x)的单调性． 2. 解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用． 1. (2024石家庄外国语学校期末)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调增区间为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. (0，＋∞) B. (－∞，0) C. (2，＋∞) D. (－∞，－2) 2. (2025广州期末)函数f(x)＝|log2(x＋1)|的图象大致为(　　) A B C D 3. (多选)(2025邯郸期末)已知函数f(x)＝ln 的图象关于原点对称，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝1 B. 函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减 C. 函数f(x)的值域为R D. 若f(x)>ln 2，则x> 4. (2025天河期末)已知函数f(x)＝|log5x|，若0<n<m，且f(m)＝f(n)，则n＋3m的取值范围是__________． 5. (2025新乡期末)已知函数f(2x－1)＝. (1) 求f(x)的解析式； (2) 判断f(x)在区间(－4，＋∞)上的单调性并根据定义加以证明； (3) 若函数g(x)＝logaf(x)在区间[－1，2]上的最小值是－1，求实数a的值． 6．3　对 数 函 数 6．3.1　对数函数(1) 【活动方案】 思考1：x＝log2y. 思考2：在关系式x＝log2y中，x是y的函数．因为对于每一个给定的y值，都有唯一的x值和它对应，其中y是自变量，x就是y的函数． 思考3：x＝log0.84y，同样地，y是自变量，x是y的函数． 思考4：y＝log2x和y＝log0.84x. 思考5：这些函数的解析式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量． 例1　(1) 当4－x>0，即x<4时，log0.2(4－x)有意义； 当x≥4时，log0.2(4－x)没有意义， 所以函数y＝log0.2(4－x)的定义域是(－∞，4). (2) 当>0，即x>1时，loga有意义； 当x≤1时，loga没有意义， 所以函数y＝loga的定义域是(1，＋∞). 跟踪训练　(1) 由1－x>0，得x<1， 所以所求函数的定义域为{x|x<1}． (2) 由log2x≠0，得x≠1，又x>0， 所以所求函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． (3) 由得x<， 所以所求函数的定义域为. (4) 由题意，得解得 所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|<x<2，且x≠1}． 思考6：作图步骤： ①列表；②描点；③用平滑的曲线连接各点． x … 1 2 4 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 … y＝x … 2 1 0 －1 －2 … 相同性质：两图象都位于y轴的右方，都经过点(1，0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1时，y＝0. 不同性质：函数y＝log2x的图象是上升的曲线， y＝x的图象是下降的曲线，这说明前者在区间(0，＋∞)上是增函数，后者在区间(0，＋∞)上是减函数． 思考7：两个函数的图象关于x轴对称． 例2　(1) －3　由题意设f(x)＝logax(a>0，a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a-2＝4，故a＝，即f(x)＝x，所以f(8)＝8＝－3. (2) x轴　函数y＝log3x与y＝x的图象关于x轴对称． (3) B　因为函数y＝log2x在区间(0，2]上单调递增，所以当x＝2时，y取得最大值，最大值是1. 跟踪训练　(1) D　设该函数为y＝logax(a>0，a≠1).因为对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2，所以对数函数的解析式为y＝log2x. (2) (0，－2)　因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2). 思考8：函数y＝logax与y＝ax的定义域和值域之间是互换的． 思考9：两个函数的图象关于直线y＝x对称． 例3　(1) 考察对数函数y＝log2x.因为2>1，所以y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为0＜3.4＜8.5，所以log23.4<log28.5. (2) 考察对数函数y＝log0.5x.因为0<0.5<1，所以y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上是减函数．又因为0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1. (3) 考察对数函数y＝log7x.因为7>1，所以y＝log7x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为0＜5＜7，所以log75<log77＝1.同理log67＞log66＝1，所以log75＜log67. 跟踪训练　(1) 因为函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2) 当a>1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上是增函数．又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上是减函数．又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. (3) 方法一：因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2<log40.2. 方法二：如图，由图可知log40.2>log30.2. (4) 因为函数y＝log3x在区间(0，＋∞)上是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 【检测反馈】 1. C　由题意，得A＝(0，＋∞)，B＝R，所以A∩B＝(0，＋∞). 2. C　因为f(x)＝ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，且0<2<3，所以ln 2<ln 3，即a<b.又因为 c＝log32＝<ln 2＝a，所以b>a>c. 3. BCD　由指数、对数运算可知，a2≠1，a≠1，logb1＝0≠2，所以函数y＝ax的图象不可能经过点(2，1)，(1，1)，函数y＝logbx的图象不可能经过点(1，2)，(1，1)，函数y＝()x与y＝logx的图象交于点(2，2).故选BCD. 4. 1　由题意，得解得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞).因为y＝log5x，y＝在区间[5，＋∞)上都单调递增，所以f(x)在区间[5，＋∞)上是增函数，所以f(x)的最小值为f(5)＝1. 5. 由题意知，2x2－8x＋m>0在R上恒成立， 所以Δ＝(－8)2－4×2m<0，解得m>8， 所以实数m的取值范围为(8，＋∞). 6．3.2　对数函数(2) 【活动方案】 思考1：对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越小越靠近x轴． 思考2：由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1.因为y＝logbx的图象在区间(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b<c，所以a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a. 例1　(1) ①因为log3＜log31＝0，log5＞log51＝0，所以log3＜log5. ②因为0＜0.7＜1，1.1＜1.2，所以0＞log0.71.1＞log0.71.2，所以＜.由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. (2) 因为y＝x为减函数，且b<a<c，所以b＞a＞c. 因为y＝2x是增函数，所以2b＞2a＞2c. 跟踪训练　(1) b<c<a　因为函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，且3.6>2，所以log23.6>log22＝1.因为函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2<log43.6<log44＝1，所以log43.2<log43.6<log23.6，即b<c<a. (2) 0<n<m<1　根据题意，作出函数y＝logmx，y＝lognx的图象如图所示，由图象可知0<n<m<1. 例2　(1) 由loga>1，得loga>logaa. ①当a>1时，有a<，此时无解； ②当0<a<1时，有<a，从而<a<1， 所以a的取值范围是. (2) 因为函数y＝log0.7x在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以由log0.72x<log0.7(x－1)，得 解得x>1，故x的取值范围是(1，＋∞). 跟踪训练　(1) 由题意可得解得0<x<2， 所以原不等式的解集为(0，2). (2) 当x>1时，logx3>1＝logxx，解得x<3， 所以1<x<3； 当0<x<1时，logx3>1＝logxx，解得x>3， 此时不等式无解． 综上所述，原不等式的解集为(1，3). (3) 当a>1时，原不等式等价于 解得x>4； 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4. 综上，当a>1时，原不等式的解集为(4，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为. 例3　比较函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的取值关系，列表如下： x y＝log3x y＝log3(x＋2) … … … －1 / 0 －0.5 / log31.5 0 / log32 1 0 1 1.5 log31.5 log33.5 2 log32 log34 3 1 log35 … … … 一般地，函数y＝log3(x＋2)中x＝a－2对应的y值与函数y＝log3x中x＝a对应的y值相等，则将对数函数y＝log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝log3(x＋2)的图象．这两个函数的图象如下图所示． 跟踪训练　y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋1)的图象，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0，0). 【检测反馈】 1. C　当0<a<1时，loga<logaa，可得a<，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa，可得a>，所以a>1.综上，实数a的取值范围为∪(1，＋∞). 2. C　因为对数函数y＝lg x，y＝log2x，y＝log3x都是区间(0，＋∞)上的增函数，所以lg 2<1，log23>1，log34>1.又log32·log34<＝(log32)2<1，且log32>0，所以log34<＝log23，故a<c<b. 3. ACD　由题意，得函数f(x)＝loga的定义域为.当a>1时，函数f(x)单调递增，且0<<1.又f(0)＝loga＝loga＝－1，故A正确，B错误；当0<a<1时，函数f(x)单调递减，且>1.又f(－1)＝loga，当1<<2时，f(－1)＝loga(－1＋)>loga1＝0，故C正确；当＝2时，f(－1)＝loga(－1＋2)＝loga1＝0，故D正确．故选ACD. 4. 2　因为函数y＝loga(x＋1)的反函数y＝f(x)经过点(2，3)，则函数y＝loga(x＋1)经过点(3，2)，所以loga(3＋1)＝2，所以a2＝4.又a>0且a≠1，所以a＝2. 5. (1) 由题意，得解得－2<x<2， 所以f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称． f(x)为奇函数．理由如下： ∀x∈(－2，2)，都有－x∈(－2，2)， 则f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2) 因为f(x)为奇函数，所以f(m)－f(－m)＝2f(m). 又f(m)－f(－m)<2，所以2f(m)<2，所以f(m)<1， 即log3<1，所以0<<3. 由<3，得m<1或m>2； 由>0，得－2<m<2， 综上，实数m的取值范围是(－2，1). 6．3.3　对数函数(3) 【活动方案】 例1　当x≠0时，因为函数y＝f(x)＝log2|x|满足f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)， 所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称． 当x>0时，log2|x|＝log2x. 因此，先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图所示．由图象可知函数y＝log2|x|的增区间是(0，＋∞)，减区间是(－∞，0). 跟踪训练　(1) 保留y＝log2x的x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折上去，得到y＝|log2x|的图象，图象如图所示． 由图象知，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1]. (2) y＝log2(－x)的图象与y＝log2x的图象关于y轴对称，图象如图所示． 由图象知，减区间为(－∞，0)，没有增区间． (3) y＝－log2x的图象与y＝log2x的图象关于x轴对称，图象如图所示． 由图象知，减区间为(0，＋∞)，没有增区间． 例2　B　由题意，得，，2不属于同一个单调区间．因为f(x)＝|logax|＝|－logax|＝f，所以f＝f(4)>f(3)＝f>f(2). 跟踪训练　D　作出y＝10x与y＝|lg (－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg (－x1)，10x2＝－lg (－x2)，此时10x1＜10x2，即lg (－x1)＜－lg (－x2)，则 lg (x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1. 例3　(1) 由4x－1>0，解得x>0， 所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞). (2) 设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1， 所以log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． (3) 由(2)，得函数f(x)在区间上单调递增， 又f＝0，f(2)＝log415， 所以函数f(x)在区间上的值域为[0，log415]. 跟踪训练　(1) 为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a. 因为a＞1，所以x＜1，故定义域为(－∞，1). 又因为loga(a－ax)＜logaa＝1，所以f(x)＜1， 即函数的值域为(－∞，1). (2) 函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减．证明如下： 在区间(－∞，1)上任取x1，x2，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝loga. 因为a＞1，x1＜x2＜1，所以ax1＜ax2＜a， 所以0＜a－ax2＜a－ax1， 所以＞1，所以loga＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减． 例4　(1) 因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即＝－＝， 解得a＝－1或a＝1. 当a＝1时，f(x)＝＝(－1)，舍去； 当a＝－1时，f(x)＝. 综上所述，实数a的值为－1. (2) 因为f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)＝(1＋x)， 所以当x>1时，(1＋x)<－1. 因为当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立，所以m≥－1. 故实数m的取值范围是[－1，＋∞). 跟踪训练　(1) 因为f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)，即log2(4－x＋1)－kx＝log2(4x＋1)＋kx， 即log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝2kx. 又log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝log2＝log24－x＝－2x， 所以2kx＝－2x，解得k＝－1. (2) ∀x1∈[1，3]，∀x2∈[0，2]，都有h(x1)≤f(x2)＋x2成立， 只需h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上的最大值小于等于f(x)＋x在x∈[0，2]上的最小值， 其中f(x)＋x＝log2(4x＋1)－x＋x＝log2(4x＋1). 由复合函数的性质，得f(x)＋x＝log2(4x＋1)在x∈[0，2]上单调递增， 则最小值为log2(40＋1)＝1. 易得h(x)＝－x2＋2tx－1的图象开口向下，对称轴为直线x＝t， 当t≤1时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上单调递减，最大值为h(1)＝2t－2， 所以2t－2≤1，解得t≤， 所以t≤1； 当1<t<3时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，t]上单调递增，在x∈(t，3]上单调递减， 则最大值为h(t)＝t2－1， 所以t2－1≤1，解得－≤t≤， 所以1<t≤； 当t≥3时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上单调递增， 则最大值为h(3)＝6t－10， 所以6t－10≤1，解得t≤，此时无解． 综上，实数t的取值范围为(－∞，]. 【检测反馈】 1. C　由题意，得函数f(x)＝log2(x2－4)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，函数y＝log2x在定义域上是增函数，函数y＝x2－4的图象开口向上，对称轴是y轴．当x>2时，y＝x2－4单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log2(x2－4)的单调增区间为(2，＋∞). 2. C　易得函数f(x)＝|log2(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，排除B，D；f(0)＝|log2(0＋1)|＝|log21|＝0，排除A，经检验，C选项符合题意，故C正确． 3. AC　对于A，因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，定义域关于原点对称．由>0，得(x＋a)(x－1)<0，令(x＋a)(x－1)＝0，得x＝1或x＝－a，所以－a＝－1，解得a＝1，故A正确；对于B，f(x)＝ln ＝ln ，则f(0)＝0.因为t＝－1＋在区间(0，1)上单调递增，y＝ln t在定义域上单调递增，所以y＝ln 在区间(0，1)上单调递增．又y＝f(x)为奇函数，所以函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，故B错误；对于C，由A可得f(x)＝ln ，f(x)的定义域为(－1，1)，当x→－1时，－1＋→0，f(x)→－∞；当x→1时，－1＋→＋∞，f(x)→＋∞，所以函数f(x)的值域为R，故C正确；对于D，由f(x)>ln 2，得ln >ln 2，所以>2，解得<x<1.又－1<x<1，所以<x<1，故D错误．故选AC. 4. (4，＋∞)　由|log5m|＝|log5n|，得－log5n＝log5m，所以m＝. 又 0<n<m, 所以0<n<1<m，所以 n＋3m＝n＋.令 g(n)＝n＋，n∈(0，1)，由对勾函数的性质可得g(n)＝n＋在区间(0，1)上单调递减，所以 g(n)>g(1)＝4，所以n＋3m的取值范围是(4，＋∞). 5. (1) 设t＝2x－1，则x＝， 所以f(t)＝＝， 所以f(x)＝. (2) f(x)在区间(－4，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(－4，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1，x2∈(－4，＋∞)，且x1<x2， 所以4＋x1>0，4＋x2>0，x2－x1>0， 所以>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在区间(－4，＋∞)上单调递减． (3) 当0<a<1时，y＝logax是区间(0，＋∞)上的减函数， 由(2)可知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减， 则g(x)在区间[－1，2]上单调递增， 所以g(x)min＝g(－1)＝loga＝－1，解得a＝； 当a>1时，y＝logax是区间(0，＋∞)上的增函数， 由(2)可知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减， 则g(x)在区间[－1，2]上单调递减， 所以g(x)min＝g(2)＝loga＝－1，解得a＝3. 综上，实数a的值为或3. 学科网（北京）股份有限公司 $