5.3函数的单调性 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

5．3　函数的单调性 5.3.1　函数的单调性(1) 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义． 2. 掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3. 能利用函数图象划分函数的单调区间. 活动一 探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在日常生活中，我们有过这样的体验：在阶梯教室从前向后走，逐步上升；从后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性． 思考1►►► 如图，气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的，在哪些时间段内是逐渐下降的？ 思考2►►► 怎样用数学语言刻画上述某一时间段内“随时间的增加气温逐渐升高”这一特征？ 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)， 那么称y＝f(x)在区间I上单调递增，I称为y＝f(x)的增区间． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数． 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)， 那么称y＝f(x)在区间I上单调递减，I称为y＝f(x)的减区间． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．增区间与减区间统称为单调区间． 活动二 探究函数单调区间的求法 例1　画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1) y＝－x2＋2； (2) y＝(x≠0). 画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间． 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有． 活动三　探究函数单调性的证明方法　 例2　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增． 思考3►►► 记y2－y1＝Δy，x2－x1＝Δx，那么函数的单调性与的符号有什么关系？ 试讨论函数f(x)＝的单调性． 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间D上任意取x1，x2，且在x1<x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：(1) 取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；(2) 作差：f(x1)－f(x2)；(3) 变形：通常通过因式分解、配方或通分等途径将结果化为积或商的形式；(4) 定号：判断f(x1)－f(x2)的正负；(5) 小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性． 活动四 探究函数单调性的应用 例3　设a为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围． 例4　若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都单调递减，求实数a的取值范围． 若函数f(x)＝x2－3mx＋n在区间[－2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 由函数的单调性求参数取值范围的两种方法： (1) 利用单调性的定义：例如，由f(x1)>f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系． (2) 利用函数的特征：例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围． 活动五　抽象函数的单调性的证明　 例5　已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数． 若f(x)的定义域为(0，＋∞)，当0<x<1时，f(x)<0，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y). (1) 求证：函数f(x)是增函数； (2) 若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2. 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)与f(x2)的大小，这时就要根据解题需要对抽象函数进行赋值． 1. 定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有(　　) A. 函数f(x)先增后减 B. 函数f(x)先减后增 C. 函数f(x)是R上的增函数 D. 函数f(x)是R上的减函数 2. (2025怀化期末)若函数f(x)＝x2＋(a＋3)x＋1在区间(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. (3，＋∞) B. (－∞，3] C. (－∞，－9] D. (－9，＋∞) 3. (多选)(2024海口月考)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递减的是(　　) A. y＝ B. y＝|x| C. y＝x2＋x＋1 D. y＝2x－1 4. 若函数y＝f(x)是R上的减函数，且f(m－2)>f(－m)，则实数m的取值范围是________． 5. (2025绍兴期末)已知函数f(x)＝. (1) 求f(x)的定义域； (2) 求证：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 5．3.2　函数的单调性(2) 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一. 活动一 探究函数的最大(小)值的概念 同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？ 思考1►►► 如图，气温θ关于时间t的函数记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出函数的最大值、最小值在函数图象的什么位置取得？函数的最大值、最小值各是什么？ 函数最大值、最小值的定义： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A. 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0). 如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). 活动二 利用图象求函数最值 例1　下图是函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值，并写出值域． 1. 函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标． 2. 图象法求最值的一般步骤：(1) 作图象；(2) 找单调区间；(3) 确定最值． 活动三　利用单调性求函数最值　 例2　求出下列函数的最小值： (1) y＝x2－2x； (2) y＝，x∈[1，3]. 思考2►►► 例2中的两个函数有无最大值？ 求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值． 当函数的图象不知或不易作出时，常利用单调性求其最值． 活动四 探究函数最值与单调性的关系 例3　已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b，且f(x)在区间[a，c]上单调递增，在区间[c，b]上单调递减．求证：f(x)在x＝c时取得最大值． 已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b，且f(x)在区间[a，c]上单调递减，在区间[c，b]上单调递增．试证明f(x)在x＝c时取得最小值． 1. 函数的最值与单调性的关系： 若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). 2. 要证明函数在给定的闭区间上的最大值是M(最小值是N)，就是要证明在给定的区间上任意一点的函数值都小于或等于M(大于或等于N). 活动五 探究二次函数在闭区间上的最值 例4　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[2，4]上的最小值． 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]. (1) 当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2) 用a表示出函数f(x)在区间[－5，5]上的最值． 对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值有如下结论： 对称轴直线x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值 h<m f(n) f(m) h>n f(m) f(n) m≤h< f(n) f(h) h＝ f(m)或f(n) f(h) <h≤n f(m) f(h) 1. 若函数y＝ax＋1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为(　　) A. 0 B. ±2 C. 2 D. －2 2. 当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. (0，＋∞) B. (1，＋∞) C. (－∞，0) D. (－∞，1) 3. (多选)(2024哈尔滨阿城一中期中)定义min{a，b}＝设f(x)＝min{|x|，x＋1}，则下列说法中正确的是(　　) A. f(x)有最大值，无最小值 B. 当x≤0时，f(x)的最大值为 C. 不等式f(x)≤的解集为 D. f(x)的单调增区间为(0，1) 4. 已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在区间[1，3]上的最大值为－12，则实数k的值为________． 5. 已知函数f(x)＝，且f(1)＝2. (1) 求实数a的值； (2) 用定义证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； (3) 求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值和最小值． 5．3　函数的单调性 5．3.1　函数的单调性(1) 【活动方案】 思考1：在[0，4]及[14，24]时间段内，随时间的增加，气温逐渐下降；在[4，14]时间段内，随时间的增加， 气温逐渐升高． 思考2：由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高，也就是说，对于这段图象上的任意两点P(t1，θ1)，Q(t2，θ2)，当 t1＜t2时，都有θ1＜θ2.类似地，对于区间(14，24)内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有θ1＞θ2. 例1　(1) 函数图象如图1，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞). (2) 函数图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间． 图1 图2 跟踪训练　函数y＝|－x2＋2|的图象如图所示，观察图象，增区间为[－，0]，[，＋∞)；减区间为(－∞，－]，[0，]. 例2　设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1<x2，则x1－x2<0，x1x2>0. 因为f(x1)－f(x2)＝－＝－＝， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增． 思考3：设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. 对于区间I内的任意两个值x1，x2， 如果＞0，那么y＝f(x)在区间I上单调递增； 如果＜0，那么y＝f(x)在区间I上单调递减． 跟踪训练　由题意，得f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1，x2，且 x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 其中x1－x2<0，x＋1>0，x＋1>0. ①当x1，x2∈(－1，1)，即|x1|<1，|x2|<1时， 有|x1x2|<1，所以x1x2<1，即1－x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)单调递增． ②当x1，x2∈(－∞，－1]或x1，x2∈[1，＋∞)时， 1－x1x2<0， 所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)单调递减． 综上所述，f(x)在区间(－1，1)上单调递增，在区间(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递减． 例3　因为y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，所以1－a>2a－1，解得a<，所以实数a的取值范围为. 例4　f(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在区间[1，2]上单调递减． g(x)＝，当a>0时，g(x)在区间[1，2]上单调递减． 故实数a的取值范围是(0，1]. 跟踪训练　　因为f(x)＝x2－3mx＋n的图象开口向上，对称轴为直线x＝，且函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增，所以≤－2，解得m≤－，所以实数m的取值范围是(－∞，－]. 例5　设∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0， 所以f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0. 因为f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)， 所以f(x)在R上是增函数． 跟踪训练　(1) 因为当0<x<1时，f(x)<0， 设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则0<<1， 所以f(x1)－f(x2)＝f<0， 所以f(x1)＜f(x2)，　 所以函数f(x)是增函数． (2) 因为f(6)＝1，所以2＝1＋1＝f(6)＋f(6)， 所以不等式f(x＋3)－f<2， 等价于不等式f(x＋3)－f<f(6)＋f(6)， 所以f(3x＋9)－f(6)<f(6)，即f<f(6).　 因为f(x)是增函数，且定义域为(0，＋∞)， 所以＞0，且＜6， 解得－3<x<9，即不等式的解集为(－3，9). 【检测反馈】 1. C　由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数． 2. C　由题意，得f(x)＝x2＋(a＋3)x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－.因为f(x)在区间(－∞，3]上单调递减，所以－≥3，解得a∈(－∞，－9]. 3. AB　对于A，反比例函数y＝在区间(－∞，0)上单调递减，故A正确；对于B，函数y＝|x|＝的图象在区间(－∞，0)上单调递减，故B正确；对于C，二次函数y＝x2＋x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，其在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间(－∞，0)上不单调，故C错误；对于D，一次函数y＝2x－1为R上的增函数，故D错误．故选AB. 4. (－∞，1)　由函数y＝f(x)是R上的减函数，且f(m－2)>f(－m)，得m－2<－m，解得m<1，所以实数m的取值范围是(－∞，1). 5. (1) 由题意，得x2－1≠0，解得x≠±1， 所以f(x)的定义域为{x|x≠±1，且x∈R}． (2) 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x2>x1>1， 所以x2－x1>0，x－1>0，x－1>0，x1x2＋1>0， 所以>0，即f(x1)－f(x2)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 5．3.2　函数的单调性(2) 【活动方案】 思考1：曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9，此时t＝14；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2，此时t＝4. 例1　观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，4)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝4；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2. 函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－4，－1.5]，[3，5]，[6，7]. 跟踪训练　y＝－|x－1|＋2＝的图象如图所示，由图知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]. 例2　(1) 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且当 x＝1时，y＝－1， 所以函数在x＝1时取得最小值－1，即ymin＝－1. (2) 因为对于任意实数x∈[1，3]，都有≥，且当x＝3时，＝， 所以函数在x＝3时取得最小值，即ymin＝. 思考2：(1) 函数y＝x2－2x没有最大值． (2) 因为对于任意实数x∈[1，3]，都有≤1，且当 x＝1时，＝1，所以函数在x＝1时取得最大值1，即ymax＝1. 跟踪训练　任取x1，x2∈[2，5]，且x1<x2， 则 f(x1)＝，f(x2)＝， 所以f(x2)－f(x1)＝－＝. 因为2≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，所以f(x2)－f(x1)<0， 所以f(x2)<f(x1)， 所以f(x)＝在区间[2，5]上单调递减， 所以f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝. 例3　因为f(x)在区间[a，c]上单调递增， 所以对于任意x∈[a，c]，都有f(x)≤f(c). 又因为f(x)在区间[c，b]上单调递减， 所以对于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c)， 所以对于任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(c)， 即f(x)在x＝c时取得最大值． 跟踪训练　因为f(x)在区间[a，c]上单调递减， 所以对于任意x∈[a，c]，都有f(x)≥f(c). 又因为f(x)在区间[c，b]上单调递增， 所以对于任意x∈[c，b]，都有f(x)≥f(c)， 所以对于任意x∈[a，b]，都有f(x)≥f(c)， 即f(x)在x＝c时取得最小值． 例4　易知函数f(x)图象的对称轴是直线x＝a， 所以当a<2时，f(x)在区间[2，4]上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝6－4a； 当a>4时，f(x)在区间[2，4]上单调递减， 所以f(x)min＝f(4)＝18－8a； 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 综上所述，f(x)min＝ 跟踪训练　(1) 因为a＝－1， 所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 所以f(x)在区间[－5，1]上单调递减，在区间[1，5]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37. (2) 函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－a. ①当－a≤－5，即a≥5时，函数f(x)在区间[－5，5]上单调递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a； ②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图象如图1所示， 由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a； ③当0<－a<5，即－5<a<0时，函数图象如图2所示， 由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a， f(x)min＝f(－a)＝2－a2； ④当－a≥5，即a≤－5时，函数f(x)在区间[－5，5]上单调递减，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a. 综上，当a≤－5时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a；当－5<a<0时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝2－a2；当0≤a<5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝2－a2；当a≥5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝27－10a. 图1 图2 【检测反馈】 1. B　由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上，实数a的值为±2. 2. C　画出f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)的图象，如图所示，所以f(x)的最小值为 f(0)＝f(2)＝0.又a<－x2＋2x在区间[0，2]上恒成立，所以a<0. 3. BC　作出函数f(x)＝min{|x|，x＋1}的图象如图所示．对于A，由图可得f(x)既无最大值，也无最小值，故A错误；对于B，由图可知当x≤0时，f(x)的最大值为，故B正确；对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，并结合图象可得不等式f(x)≤的解集为，故C正确；对于D，由图象可得f(x)的单调增区间为，(0，＋∞)，故D错误．故选BC. 4. 　函数f(x)＝x2－2kx＋4的图象开口向上，对称轴为直线x＝k，x∈[1，3]，当k≤2时，f(x)max＝f(3)＝13－6k＝－12，解得k＝(舍去)；当k>2时，f(x)max＝f(1)＝5－2k＝－12，解得k＝.综上，实数k的值为. 5. (1) 因为函数f(x)＝，且f(1)＝2， 所以1＋a＝2，解得a＝1. (2) 由(1)知，f(x)＝＝x＋. 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2). 因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，0<<1，则 1－>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． (3) 由(2)知，函数f(x)在区间[2，5]上单调递增， 所以f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(2)＝， 所以函数f(x)在区间[2，5]上的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $