精品解析：四川省绵阳市平武县四校联考2025-2026学年上学期开学考试数学练习卷

2025-2026学年四川省绵阳市平武县四校联考九年级上学期开学考试数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时，平分 D. 当时，是正方形 2. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜﹣2 C. x≥2 D. x≤2 3. 学校足球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清12岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 1 8 4 下列统计量中，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 4. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在平行四边形ABCD中，，一组对边之间的距离为4，则另一组对边之间的距离为（ ） A. 8 B. 2 C. 8或2 D. 无法确定 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点所表示的数为（    ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. 45 C. 50 D. 9. 周末小海从家出发，步行前往距家900米社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（ ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 10. 如果，且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（　　） A. B. 2 C. 2 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若最简二次根式和是同类二次根式，则_______． 14. 如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于_____． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，则的长为______． 16. 如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是______． 17. 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，把绕点旋转后得到，则点的坐标是_____． 18. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是______万元． 年薪/万元 40 28 15 10 9 7 6 员工数/人 1 2 4 7 8 9 3 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 计算 （1） （2） 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求，的长． 21. 灞桥樱桃是陕西省西安市特产，因其颗粒饱满，色泽艳丽，果肉质地细腻，富含多种矿物元素，有“中华名果”之称号．近日樱桃进入了销售旺季，某水果商计划从果农蒋大爷樱桃园购进一批樱桃进行销售，从已采摘好的、两个品种的樱桃中各随机抽取颗，称量了单果重量（单位：），现将称量结果记录如下： 【信息一】两个品种樱桃单果重量统计表： 果类 一等果 二等果 三等果 单果重量／ 品种颗数／颗 品种颗数／颗 【信息二】两个品种樱桃单果重量的众数、中位数、平均数和方差如下： 众数 中位数 平均数 方差 品种 品种 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中__________，__________，__________； （2）根据该水果商的要求，从、两个品种中选择一个单果重量较均匀的品种购进，则该水果商应该购进__________品种的樱桃；（选填“”或“”） （3）若本次已采摘好的品种樱桃共有颗，请你估计这颗中一等果有多少颗？ 22. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 23. 已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ （2）填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． （3）当李华离开家时，他爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离． 初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程； 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值； 【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省绵阳市平武县四校联考九年级上学期开学考试数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时，平分 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线定理，当时，可证明垂直平分，则，再结合平行四边形的性质得到，据此可判断A；当时，则可证明，再结合平行四边形的性质可推出为的中位线，则，即可证明，据此可判断B；根据矩形对角线互相平分得到，由三线合一定理即可判断C；当时，无法证明是正方形，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴是矩形，故A说法正确，不符合题意； 当时，∵E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴是菱形，故B说法正确，不符合题意； C、当是矩形时，则， ∵E是的中点， ∴平分，故C说法正确，不符合题意； D、当时，无法证明是正方形，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 2. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜﹣2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，再解不等式，即可得到答案． 【详解】解：由有意义可得：， 解得：， 要使有意义，必须使， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握使分式和二次根式有意义的条件． 3. 学校足球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清12岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 1 8 4 下列统计量中，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C 平均数，中位数 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，方差，平均数和中位数，由于15岁和16岁的人数之和为12人，则可确定中位数，再由12岁的人数和14岁的人数之和为7人，可确定众数，平均数与其他年龄的人数有关，则方差也会受影响，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴把这20名队员的年龄按照从高到低的顺序排列，处在第10名和第11名的年龄分别为15岁，15岁， ∴中位数为岁， ∵， ∴12岁的人数和14岁的人数之和为7人， ∴15岁的人数最多， ∴众数为15岁， ∵平均数与其他年龄的人数有关， ∴平均数受影响， ∴方差受影响， 故选：D． 4. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键． 5. 在平行四边形ABCD中，，一组对边之间的距离为4，则另一组对边之间的距离为（ ） A. 8 B. 2 C. 8或2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：分两种情况： 如图，一种是：设对边AB和CD间的距离是xcm， 不合题意，舍去， 另一种是：如图，设对边AD和CB间的距离是xcm，如图， 根据平行四边形的面积公式可得：6x=3×4，可得x=2， 故选 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积，“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系． 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：①被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；②.被开方数不含分母． 【详解】解：、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，数轴上的点所表示的数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意可得：，， ∵， ∴， 即， ∴点表示的数为． 故选：C． 8. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. 45 C. 50 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：C． 9. 周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（ ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，先根据图象计算出小海去超市前的速度，再计算出小海出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小海在超市购物用的时间． 【详解】解：小海从家出发，到达集合地，则总用时， 由图象可知，小海去超市前的速度为， 小海出超市后到社区所用时间为， ∴小海在超市购物用的时间为， 故选：D． 10. 如果，且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据，且，得出，，再结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴m与n异号，m与同号；或，． 又∵， ∴，， ∴经过第一、二、四象限或经过第二、四象限，即不经过第三象限， 故选：C． 11. 如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：∵把沿的方向平移到的位置，，， ∴， ，故选项AC正确，不符合题意； ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 长度不能确定；故选项D错误，符合题意； 故选：D． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（　　） A. B. 2 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先解直角三角形求出DE，再利用相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵AD＝BD，E为AB的中点， ∴DE⊥AB，AE＝BE＝ AB＝3， ∴DE＝， ∵S△FDG：S△EDG＝2：3， ∴FG：EG＝2：3， ∵AB∥CD， ∴△DFG∽△BEG， ∴， ∴DF＝2， ∵AB∥CD，DE⊥AB， ∴DE⊥CD， ∴EF＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若最简二次根式和是同类二次根式，则_______． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 14. 如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系得到，再根据二次根式的性质得原式，然后根据m的取值范围去绝对值后合并即可． 【详解】解：∵2、5、m为三角形三边， ∴， ∴原式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，二次根式的性质与化简：及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的中与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，可证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，则当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故当有最小值时，点P与点重合，证明，推出；证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴当有最小值时，点P与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，把绕点旋转后得到，则点的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．先根据坐标轴上点的坐标特征求出点和点坐标，得到和的长，再根据旋转的性质得到，，，，则轴，然后根据第一象限点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 如下图所示，当绕点顺时针旋转后得到， 则，，，， 轴， 点到轴的距离为， 点坐标为． 如图2所示，当绕点逆时针旋转后得到， 则，，，， 轴， 点到轴的距离为， 又点在轴左侧， 点坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 18. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是______万元． 年薪/万元 40 28 15 10 9 7 6 员工数/人 1 2 4 7 8 9 3 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：员工人数为：（人）， 该公司全体员工年薪的第17和第18个数，都是9， 则中位数为：（万元）， 故答案为：9． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： · ； 【小问2详解】 解： · 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求，的长． 【答案】（1）证明见解析 （2），的长为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明: ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵ ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即长为． 21. 灞桥樱桃是陕西省西安市特产，因其颗粒饱满，色泽艳丽，果肉质地细腻，富含多种矿物元素，有“中华名果”之称号．近日樱桃进入了销售旺季，某水果商计划从果农蒋大爷的樱桃园购进一批樱桃进行销售，从已采摘好的、两个品种的樱桃中各随机抽取颗，称量了单果重量（单位：），现将称量结果记录如下： 【信息一】两个品种樱桃单果重量统计表： 果类 一等果 二等果 三等果 单果重量／ 品种颗数／颗 品种颗数／颗 【信息二】两个品种樱桃单果重量的众数、中位数、平均数和方差如下： 众数 中位数 平均数 方差 品种 品种 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中__________，__________，__________； （2）根据该水果商的要求，从、两个品种中选择一个单果重量较均匀的品种购进，则该水果商应该购进__________品种的樱桃；（选填“”或“”） （3）若本次已采摘好的品种樱桃共有颗，请你估计这颗中一等果有多少颗？ 【答案】（1），， （2） （3）颗 【解析】 【分析】（）根据表格数据及中位数、加权平均数的定义解答即可求解； （）根据众数、中位数、平均数和方差的意义判断即可求解； （）用乘以品种一等果的占比即可求解； 本题考查了众数、中位数、平均数和方差，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表得，，， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：两种水果的中位数和平均数相同，众数相近，但品种方差较品种方差小，即品种重量较均匀，所以该水果商应该购进品种的樱桃， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计这颗中一等果有颗． 22. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是，见解析；（2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 23. 已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ （2）填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． （3）当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）6，14.4，20； （2）①28；②3；③8；④ （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③直接根据函数图象即可得出答案； ④分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）先求出爸爸的速度为，进而求出关系式，联立组成方程组求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：当时，， 李华从家到书店提速后的速度为， 当时，则； 当时，李华停留在书店，则； 故答案为：6，14.4，20； 【小问2详解】 解：①李华从家到书店提速后的速度为； 故答案为：28； ②李华在书店学习的时间为， 故答案为：3； ③书店到公园的距离为， 故答案为：8； ④当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：当时爸爸到达公园， 当时爸爸离开公园返回， 当时爸爸返回家中， 则爸爸离家距离y与李华离开家的时间x之间的图象如下图所示： 当时，爸爸的速度为：， ， 途中两人相遇时，得 解得， ∴途中两人相遇时离家的距离是． 24. 【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离． 【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程； 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值； 【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值． 【答案】【初步探究】见解析；【直接运用】长度的最小值为；【构造运用】线段的最小值为． 【解析】 【分析】初步探究：本题考查连点间线短距离最短，根据两点间线短距离最短结合半径相等即可得到答案； 直接运用：本题考查圆外一点与圆上点最小距离问题，连接圆心与圆外点交圆于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 构造运用：先证明得到定角，即可得到点P的路径是一段以为直径的弧，结合最短距离问题及勾股定理即可得到答案； 【详解】初步探究： 证明：∵，，， ∴； 直接运用： 解：取的中点E，连接，交半圆于，在半圆上任取P1，连接，，可见，，即是的最小值． 在中，，，， ∴， ∵， ∴； 即长度的最小值为． 构造运用： 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴； 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为Q，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∴． 答：线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上点最小距离问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是找到最小距离点及定直角得到动点在圆上． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为 （2） （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先求出点Q的坐标为：，得出，求出，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q， ∴点Q的坐标为：， ， ∴， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $