北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

G23级试卷数学 2025.8 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知表示复数的共轭复数，且满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 3. 若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（ ） A B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 32 5. 为得到函数的图象，只需（ ） A. 把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B. 把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 6. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ） A. （单位：） B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C. 如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 8. 设函数在上有零点且有唯一极大值点，同时存在，使得且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知，，，且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知且，写出满足条件的一组_____________． 12. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为______． 13. 如图，三棱柱中，平面，，，则三棱柱体积为_____． 14. 已知函数，其中． （1）当时，_____． （2）若有最大值，则的取值范围为_____． 15. 设无穷数列的前项和为，且，．给出下列四个结论： ①若，； ②若，则； ③当时，是等比数列； ④对任意，总存在直线，使得点到的距离随着的变大而变小． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且． （1）求角B的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长， 条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知四棱锥，，，，于点E，． （1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 20. 已知函数． （1）当时，若直线过原点，且是曲线的切线，求的斜率； （2）当时，求证：存在唯一极值点且为极大值点； （3）若直线与曲线有且仅有两个交点，请直接写出的取值范围． 21. 对给定的，已知A为（n行n列）数表，记数表A的第i行第j列元素为，其中，，，数表A所有元素构成的集合为．若数表A的任意行及任意列的n个元素都至多只有两种取值，称数表A满足性质P． （1）当时，对满足性质P3×3数表A， ①若数表A有如下形式，请直接写出的所有可能取值． 1 2 2 3 4 2 ②请判断是否存在数表A，使得？若存在，求出满足的数表A的个数；若不存在，请说明理由． （2）对给定的，对满足性质P的数表A，求的最大值． 注：用表示有限集合的元素个数，特别地． G23级试卷数学 2025.8 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##0.5 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析； （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2），证明见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【21题答案】 【答案】（1）①；②不存在，理由见解析； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $