1.1 探索勾股定理 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

1　探索勾股定理(1) 第一章　勾股定理 1 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 学习目标 1.用数格子的办法体验勾股定理的探索过程. 2.理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用. 2 思考1：《周髀算经》 引入新课 3 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 引入新课 思考2：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.右图称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 勾 股 弦 A C B 4 引入新课 思考3：相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ 5 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 (1)观察图1-1 正方形A中含有 个小方格， 即A的面积是 个单位面积； 正方形B中含有 个小方格， 即B的面积是 个单位面积； 正方形C中含有 个小方格， 即C的面积是 个单位面积； 你是怎样得到上面的结果的？与同学交流. 9 9 9 9 18 18 讲授新课 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1-1 图1-2 (2)在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ (3)你能发现两图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC. 4，4，8. 9，9，18；4，4，8. 讲授新课 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1-1 图1-2 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 A B C A B C 在这幅图中，边长的平方如何刻画？ 用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC. 我们的猜想如何验证？ c b a 讲授新课 请想办法计算左边图形中A，B，C的面积. 你用什么办法计算C的面积呢？ 数格子. 讲授新课 A B C A B C SA=9， SB=9， SC=18. 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 验证法1 方法：可把正方形 C分成两个全等的 等腰直角三角形， 可求得正方形C的 面积为18. 割 C B A 还可以用什么办法计算C的面积呢？ 讲授新课 验证法2 方法：可把正方形 C分成四个全等的 等腰直角三角形， 可求得正方形C的 面积为18. 割 C B A 还可以用什么办法计算C的面积呢？ 讲授新课 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 验证法3 方法：可在正方形C 外边圈一个大正方形 用大正方形的面积减 去4个直角三角形的 面积，即可求得正方 形C的面积为18. 补 C B A 还可以用什么办法计算C的面积呢？ 讲授新课 C B A 由以上计算A，B，C三 个图形的面积，我们能 得到什么结论？ SA+SB=SC c a 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. SA=9 SB=9 SC=18 讲授新课 a2+b2=c2. 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2(勾股定理). a A B C b c ∟ 定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. 讲授新课 练一练：求下列直角三角形中未知边的长： 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+x2=172， 即：x2=172-82， x=15. 解：由勾股定理可得： 52+122=x2， 即：x2=52+122， x=13. 讲授新课 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即AB=5. 根据三角形面积公式， ∴AC×BC=AB×CD. ∴CD=. A D B C 3 4 典例精析 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用. 方法总结 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 例2.如图，已知AD是△ABC的中线. 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2). 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， ∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB). 又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD， ∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2). E 典例精析 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来.一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题. 方法总结 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16； 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 例3.在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长. 典例精析 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60. 方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形. 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 【解析】因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝. 例4.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________. 典例精析 方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系. 教师讲解一次函数时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地截取。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习极坐标方程不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解组合体体积时，通常会强调相切的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 知识： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么 方法： 1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； 2.“割、补、拼、接”法. 思想： 1.特殊—一般—特殊； 2.数形结合思想. 课堂小结 谢谢观看！ $